连乘积哥猜公式误差分析

yangchuanju

愚工688 发表于 2021-10-26 23:58
谈谈连乘积哥猜公式误差

可以使用连乘积的公式来计算偶数M的素数对的数量。

愚工688老师给出的误差分析贴，学生还没有来得及细研究，待学生认真研究、探索后再做评论。
相信愚工688老师已对哥猜误差进行了透彻地研究，并取得了相应的成果，学生一定要好好学习。
欢迎老师继续发布一些误差分析贴，
希望对此用兴趣的网友首先拜读愚工老师的分析贴，
希望网友们对笔者的不对之处给予指正，至此先行表示致谢！

yangchuanju

前曾论及仅用素数3筛分以后，产生的误差分别为0.667、0、-0.667；
各个误差循环出现，但用素数3和5共同筛分后的误差，不再简单的循环出现。
那么，单用素数5或7筛分以后怎么样？

单用素数5筛分后
∏_1=∏(p-2)/p=(5-2)/5=3/5=0.6；
当2m=10,20,30……120时，∏_2=∏(p-1)/(p-2)=(5-1)/(4-2)=1.333；其余2m偶数不出现p，∏(p-1)/(p-2)取作1。
经逐个计算，误差0，-0.4，-0.8，0.8，0.4，……也是循环出现的，循环节长等于5。
偶数        ∏_1        ∏_2        计算剩余        实际剩余        误差
10        0.6        1.333         4        4        0
12        0.6        1        3.6        4        -0.4
14        0.6        1        4.2        5        -0.8
16        0.6        1        4.8        4        0.8
18        0.6        1        5.4        5        0.4
20        0.6        1.333         8        8        0
22        0.6        1        6.6        7        -0.4
24        0.6        1        7.2        8        -0.8
26        0.6        1        7.8        7        0.8
28        0.6        1        8.4        8        0.4
30        0.6        1.333         12        12        0
32        0.6        1        9.6        10        -0.4
34        0.6        1        10.2        11        -0.8
36        0.6        1        10.8        10        0.8
38        0.6        1        11.4        11        0.4
40        0.6        1.333         16        16        0
42        0.6        1        12.6        13        -0.4
44        0.6        1        13.2        14        -0.8
46        0.6        1        13.8        13        0.8
48        0.6        1        14.4        14        0.4
50        0.6        1.333         20        20        0
52        0.6        1        15.6        16        -0.4
54        0.6        1        16.2        17        -0.8
56        0.6        1        16.8        16        0.8
58        0.6        1        17.4        17        0.4
60        0.6        1.333         24        24        0
62        0.6        1        18.6        19        -0.4
64        0.6        1        19.2        20        -0.8
66        0.6        1        19.8        19        0.8
68        0.6        1        20.4        20        0.4
70        0.6        1.333         28        28        0
72        0.6        1        21.6        22        -0.4
74        0.6        1        22.2        23        -0.8
76        0.6        1        22.8        22        0.8
78        0.6        1        23.4        23        0.4
80        0.6        1.333         32        32        0
82        0.6        1        24.6        25        -0.4
84        0.6        1        25.2        26        -0.8
86        0.6        1        25.8        25        0.8
88        0.6        1        26.4        26        0.4
90        0.6        1.333         36        36        0
92        0.6        1        27.6        28        -0.4
94        0.6        1        28.2        29        -0.8
96        0.6        1        28.8        28        0.8
98        0.6        1        29.4        29        0.4
100        0.6        1.333         40        40        0
102        0.6        1        30.6        31        -0.4
104        0.6        1        31.2        32        -0.8
106        0.6        1        31.8        31        0.8
108        0.6        1        32.4        32        0.4
110        0.6        1.333         44        44        0
112        0.6        1        33.6        34        -0.4
114        0.6        1        34.2        35        -0.8
116        0.6        1        34.8        34        0.8
118        0.6        1        35.4        35        0.4
120        0.6        1.333         48        48        0

yangchuanju

单用素数7筛分后
∏_1=∏(p-2)/p=(7-2)/7=5/7=0.714；
当2m=14,28,42……112时，∏_2=∏(p-1)/(p-2)=(7-1)/(7-2)=1.2；其余2m偶数不出现p，∏(p-1)/(p-2)取作1。
经逐个计算，误差0.571、0.276、0、-0.286、-0.571、-0.857、0.857、0.571、0.286、0……也是循环出现的，循环节长等于7。
偶数        ∏_1        ∏_2        计算剩余        实际剩余        误差
10        0.714         1        3.571         3        0.571
12        0.714         1        4.286         4        0.286
14        0.714         1.2        6.000         6        0.000
16        0.714         1        5.714         6        -0.286
18        0.714         1        6.429         7        -0.571
20        0.714         1        7.143         8        -0.857
22        0.714         1        7.857         7        0.857
24        0.714         1        8.571         8        0.571
26        0.714         1        9.286         9        0.286
28        0.714         1.2        12.000         12        0.000
30        0.714         1        10.714         11        -0.286
32        0.714         1        11.429         12        -0.571
34        0.714         1        12.143         13        -0.857
36        0.714         1        12.857         12        0.857
38        0.714         1        13.571         13        0.571
40        0.714         1        14.286         14        0.286
42        0.714         1.2        18.000         18        0.000
44        0.714         1        15.714         16        -0.286
46        0.714         1        16.429         17        -0.571
48        0.714         1        17.143         18        -0.857
50        0.714         1        17.857         17        0.857
52        0.714         1        18.571         18        0.571
54        0.714         1        19.286         19        0.286
56        0.714         1.2        24.000         24        0.000
58        0.714         1        20.714         21        -0.286
60        0.714         1        21.429         22        -0.571
62        0.714         1        22.143         23        -0.857
64        0.714         1        22.857         22        0.857
66        0.714         1        23.571         23        0.571
68        0.714         1        24.286         24        0.286
70        0.714         1.2        30.000         30        0.000
72        0.714         1        25.714         26        -0.286
74        0.714         1        26.429         27        -0.571
76        0.714         1        27.143         28        -0.857
78        0.714         1        27.857         27        0.857
80        0.714         1        28.571         28        0.571
82        0.714         1        29.286         29        0.286
84        0.714         1.2        36.000         36        0.000
86        0.714         1        30.714         31        -0.286
88        0.714         1        31.429         32        -0.571
90        0.714         1        32.143         33        -0.857
92        0.714         1        32.857         32        0.857
94        0.714         1        33.571         33        0.571
96        0.714         1        34.286         34        0.286
98        0.714         1.2        42.000         42        0.000
100        0.714         1        35.714         36        -0.286
102        0.714         1        36.429         37        -0.571
104        0.714         1        37.143         38        -0.857
106        0.714         1        37.857         37        0.857
108        0.714         1        38.571         38        0.571
110        0.714         1        39.286         39        0.286
112        0.714         1.2        48.000         48        0.000
114        0.714         1        40.714         41        -0.286
116        0.714         1        41.429         42        -0.571
118        0.714         1        42.143         43        -0.857
120        0.714         1        42.857         42        0.857

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再用素数3和5对偶数10-120进行共同筛分怎么样：
尽管偶数10-24不必用5筛分，50-120还需用7进行筛分。
∏_1=∏(p-2)/p=(3-2)/3*(5-2)/5=1/5=0.2；
当2m=6,12,18,24,36,42……114时，∏_2=∏(p-1)/(p-2)=(3-1)/(3-2)=2；当2m=10,20,40,50,70……110时，∏_2=∏(p-1)/(p-2)=(5-1)/(5-2)=1.333；
当2m=30,60,90,120时，∏_2=∏(p-1)/(p-2)=(3-1)/(3-2)*(5-1)/(5-2)=2.667；其余2m偶数不出现p，∏(p-1)/(p-2)取作1。
偶数        ∏_1        ∏_2        计算剩余        实际剩余        误差
10        0.2        1.333         1.333         0        1.333
12        0.2        2        2.4        2        0.4
14        0.2        1        1.4        3        -1.6
16        0.2        1        1.6        0        1.6
18        0.2        2        3.6        4        -0.4
20        0.2        1.333         2.667         4        -1.333
22        0.2        1        2.2        1        1.2
24        0.2        2        4.8        6        -1.2
26        0.2        1        2.6        3        -0.4
28        0.2        1        2.8        2        0.8
30        0.2        2.667         8.000         8        0
32        0.2        1        3.2        4        -0.8
34        0.2        1        3.4        3        0.4
36        0.2        2        7.2        6        1.2
38        0.2        1        3.8        5        -1.2
40        0.2        1.333         5.333         4        1.333
42        0.2        2        8.4        8        0.4
44        0.2        1        4.4        6        -1.6
46        0.2        1        4.6        3        1.6
48        0.2        2        9.6        10        -0.4
50        0.2        1.333         6.667         8        -1.333
52        0.2        1        5.2        4        1.2
54        0.2        2        10.8        12        -1.2
56        0.2        1        5.6        6        -0.4
58        0.2        1        5.8        5        0.8
60        0.2        2.667         16.000         16        0
62        0.2        1        6.2        7        -0.8
64        0.2        1        6.4        6        0.4
66        0.2        2        13.2        12        1.2
68        0.2        1        6.8        8        -1.2
70        0.2        1.333         9.333         8        1.333
72        0.2        2        14.4        14        0.4
74        0.2        1        7.4        9        -1.6
76        0.2        1        7.6        6        1.6
78        0.2        2        15.6        16        -0.4
80        0.2        1.333         10.667         12        -1.333
82        0.2        1        8.2        7        1.2
84        0.2        2        16.8        18        -1.2
86        0.2        1        8.6        9        -0.4
88        0.2        1        8.8        8        0.8
90        0.2        2.667         24.000         24        0
92        0.2        1        9.2        10        -0.8
94        0.2        1        9.4        9        0.4
96        0.2        2        19.2        18        1.2
98        0.2        1        9.8        11        -1.2
100        0.2        1.333         13.333         12        1.333
102        0.2        2        20.4        20        0.4
104        0.2        1        10.4        12        -1.6
106        0.2        1        10.6        9        1.6
108        0.2        2        21.6        22        -0.4
110        0.2        1.333         14.667         16        -1.333
112        0.2        1        11.2        10        1.2
114        0.2        2        22.8        24        -1.2
116        0.2        1        11.6        12        -0.4
118        0.2        1        11.8        11        0.8
120        0.2        2.667         32.000         32        0

yangchuanju

单用素数3筛分时，误差循环出现，循环节长等于3；单用素数5筛分时，误差也循环出现，循环节长等于5；
经逐个计算，共同用3和5筛分后的误差也是循环出现的，循环节长等于15，且在一个循环节内误差成反对称分布：
例偶数30-60-90-120的误差都是0、-0.8、0.4、1.2、-1.2、1.333、0.4、-1.6、1.6、-0.4、-1.333、1.2、-1.2、-0.4、0.8、0。

上述各个误差均未考虑减含1的奇数对，也未加含3和5的素数对。
然而只用素数3对偶数10-24进行筛分，对偶数50-120除用3和5筛分后再用7进行筛分，上述循环出现的误差就不再存在了。
总体上看，误差的绝对值随着偶数的增大，在逐渐增大；正负交错无明显规律，故很难用一个系数进行校正，分段也不行。
如果还要考虑减去含1的奇数对，加上含3,5,7……的素数对，以便得到真正的误差，就更难找到一个或分段的数个校正系数啦！

愚工688老师给出的误差分析贴，学生还没有来得及细研究，待学生认真研究、探索后再做评论。
相信愚工688老师已对哥猜误差进行了透彻地研究，并取得了相应的成果，学生一定要好好学习。
欢迎老师继续发布一些误差分析贴，
希望对此用兴趣的网友首先拜读愚工老师的分析贴，
希望网友们对笔者的不对之处给予指正，至此先行表示致谢！

愚工688

素数连乘式的各个步骤的含义举例：

例：偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分成两个素数对A±x的变量x的取值区间[0，A-3]中含有的整数为( 908/2- 2)个，
因此，其构成素对的x值的计算式是：
Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15

具体每一步的含义：
1/2——[0，A-3]中满足除以2的余数不等于j2的数的发生概率；
( 1/ 3)—— [0，A-3]中满足除以3的余数不等于j3与（3-j3）的数的发生概率；
( 3/ 5)—— [0，A-3]中满足除以5的余数不等于j5与（5-j5）的数的发生概率；
( 5/ 7)—— [0，A-3]中满足除以7的余数不等于j7与（7-j7）的数的发生概率；
……
这里的j2,j3,…,jn,…，jr系偶数半值A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。

因此依据概率的独立事件的乘法定理：
在自然数[0，A-3]区域中除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r-jr)的x值的分布概率P(m)，
有P(m)=P(2·3·…·n·…·r)
      =P(2)P(3)…P(n)…P(r).
即有
Sp( 908)=( 908/2- 2)*P(m)
        =[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15
A= 454 ,x= : 33 , 45 , 87 , 117 , 123 , 147 , 177 , 255 , 273 , 297 , 303 , 315 , 357 , 375 , 423 ,
M= 908 S(m)= 15 S1(m)= 15 Sp(m)≈ 15 δ(m)≈ 0 K(m)= 1 r= 29

当然在自然数中，在筛选素对的素数因子的乘积内，除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、…、jn及(n－jn)、…、jr及(r -jr)的数的个数是成比例的，但是这样的x值处于[0，A-3]中间的数量则不是按照计算值的数量分布的，存在着轧进轧出的现象，因此按照概率的乘法法则进行计算是必然的。

yangchuanju

愚工688 发表于 2021-10-27 09:15
素数连乘式的各个步骤的含义举例：

例：偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分 ...

请问：愚工老师，您的计算式中的A-3，是不是直接排除了1+p和p+1这样的应该删除掉的含1奇数对？

yangchuanju

lusishun 发表于 2021-10-27 06:09
好友注意，一定避开概率，

鲁思顺老师：
欢迎关注，在误差分析方面，愚工是老师，你我都是学生，请认真读一读愚工老师的帖子，再做评论不迟！

yangchuanju

鲁思顺老师的加强比例筛法，可用于哥猜证明，但不能用于哥猜数的精确计算；
从另一方面说，您的比例筛法，与愚工老师所用的“概率”实际上是一回事呀！

yangchuanju

愚工688 发表于 2021-10-27 09:15
素数连乘式的各个步骤的含义举例：

例：偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分 ...

请问：愚工老师
Sp(908)=((908/2-2)/2)*(1/3)*(3/5)*(5/7)*(9/11)*(11/13)*(15/17)*(17/19)*(21/23)*(27/29)=15.0004552379681
Sp(908)=((908/2)/2)*(1/3)*(3/5)*(5/7)*(9/11)*(11/13)*(15/17)*(17/19)*(21/23)*(27/29)=15.0668289337113
下一步是取整，都是15，为什么要减2？