连乘积哥猜公式误差分析

yangchuanju · 发表于 2021-10-27 09:07

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-27 13:59 编辑

愚工688 发表于 2021-10-26 23:58
谈谈连乘积哥猜公式误差

可以使用连乘积的公式来计算偶数M的素数对的数量。

愚工688老师给出的误差分析贴，学生还没有来得及细研究，待学生认真研究、探索后再做评论。
相信愚工688老师已对哥猜误差进行了透彻地研究，并取得了相应的成果，学生一定要好好学习。
欢迎老师继续发布一些误差分析贴，
希望对此用兴趣的网友首先拜读愚工老师的分析贴，
希望网友们对笔者的不对之处给予指正，至此先行表示致谢！

yangchuanju · 发表于 2021-10-27 09:09

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-27 09:13 编辑

前曾论及仅用素数3筛分以后，产生的误差分别为0.667、0、-0.667；
各个误差循环出现，但用素数3和5共同筛分后的误差，不再简单的循环出现。
那么，单用素数5或7筛分以后怎么样？

单用素数5筛分后
∏_1=∏(p-2)/p=(5-2)/5=3/5=0.6；
当2m=10,20,30……120时，∏_2=∏(p-1)/(p-2)=(5-1)/(4-2)=1.333；其余2m偶数不出现p，∏(p-1)/(p-2)取作1。
经逐个计算，误差0，-0.4，-0.8，0.8，0.4，……也是循环出现的，循环节长等于5。
偶数 ∏_1 ∏_2 计算剩余实际剩余误差
10 0.6 1.333 4 4 0
12 0.6 1 3.6 4 -0.4
14 0.6 1 4.2 5 -0.8
16 0.6 1 4.8 4 0.8
18 0.6 1 5.4 5 0.4
20 0.6 1.333 8 8 0
22 0.6 1 6.6 7 -0.4
24 0.6 1 7.2 8 -0.8
26 0.6 1 7.8 7 0.8
28 0.6 1 8.4 8 0.4
30 0.6 1.333 12 12 0
32 0.6 1 9.6 10 -0.4
34 0.6 1 10.2 11 -0.8
36 0.6 1 10.8 10 0.8
38 0.6 1 11.4 11 0.4
40 0.6 1.333 16 16 0
42 0.6 1 12.6 13 -0.4
44 0.6 1 13.2 14 -0.8
46 0.6 1 13.8 13 0.8
48 0.6 1 14.4 14 0.4
50 0.6 1.333 20 20 0
52 0.6 1 15.6 16 -0.4
54 0.6 1 16.2 17 -0.8
56 0.6 1 16.8 16 0.8
58 0.6 1 17.4 17 0.4
60 0.6 1.333 24 24 0
62 0.6 1 18.6 19 -0.4
64 0.6 1 19.2 20 -0.8
66 0.6 1 19.8 19 0.8
68 0.6 1 20.4 20 0.4
70 0.6 1.333 28 28 0
72 0.6 1 21.6 22 -0.4
74 0.6 1 22.2 23 -0.8
76 0.6 1 22.8 22 0.8
78 0.6 1 23.4 23 0.4
80 0.6 1.333 32 32 0
82 0.6 1 24.6 25 -0.4
84 0.6 1 25.2 26 -0.8
86 0.6 1 25.8 25 0.8
88 0.6 1 26.4 26 0.4
90 0.6 1.333 36 36 0
92 0.6 1 27.6 28 -0.4
94 0.6 1 28.2 29 -0.8
96 0.6 1 28.8 28 0.8
98 0.6 1 29.4 29 0.4
100 0.6 1.333 40 40 0
102 0.6 1 30.6 31 -0.4
104 0.6 1 31.2 32 -0.8
106 0.6 1 31.8 31 0.8
108 0.6 1 32.4 32 0.4
110 0.6 1.333 44 44 0
112 0.6 1 33.6 34 -0.4
114 0.6 1 34.2 35 -0.8
116 0.6 1 34.8 34 0.8
118 0.6 1 35.4 35 0.4
120 0.6 1.333 48 48 0

yangchuanju · 发表于 2021-10-27 09:10

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-27 09:14 编辑

单用素数7筛分后
∏_1=∏(p-2)/p=(7-2)/7=5/7=0.714；
当2m=14,28,42……112时，∏_2=∏(p-1)/(p-2)=(7-1)/(7-2)=1.2；其余2m偶数不出现p，∏(p-1)/(p-2)取作1。
经逐个计算，误差0.571、0.276、0、-0.286、-0.571、-0.857、0.857、0.571、0.286、0……也是循环出现的，循环节长等于7。
偶数 ∏_1 ∏_2 计算剩余实际剩余误差
10 0.714 1 3.571 3 0.571
12 0.714 1 4.286 4 0.286
14 0.714 1.2 6.000 6 0.000
16 0.714 1 5.714 6 -0.286
18 0.714 1 6.429 7 -0.571
20 0.714 1 7.143 8 -0.857
22 0.714 1 7.857 7 0.857
24 0.714 1 8.571 8 0.571
26 0.714 1 9.286 9 0.286
28 0.714 1.2 12.000 12 0.000
30 0.714 1 10.714 11 -0.286
32 0.714 1 11.429 12 -0.571
34 0.714 1 12.143 13 -0.857
36 0.714 1 12.857 12 0.857
38 0.714 1 13.571 13 0.571
40 0.714 1 14.286 14 0.286
42 0.714 1.2 18.000 18 0.000
44 0.714 1 15.714 16 -0.286
46 0.714 1 16.429 17 -0.571
48 0.714 1 17.143 18 -0.857
50 0.714 1 17.857 17 0.857
52 0.714 1 18.571 18 0.571
54 0.714 1 19.286 19 0.286
56 0.714 1.2 24.000 24 0.000
58 0.714 1 20.714 21 -0.286
60 0.714 1 21.429 22 -0.571
62 0.714 1 22.143 23 -0.857
64 0.714 1 22.857 22 0.857
66 0.714 1 23.571 23 0.571
68 0.714 1 24.286 24 0.286
70 0.714 1.2 30.000 30 0.000
72 0.714 1 25.714 26 -0.286
74 0.714 1 26.429 27 -0.571
76 0.714 1 27.143 28 -0.857
78 0.714 1 27.857 27 0.857
80 0.714 1 28.571 28 0.571
82 0.714 1 29.286 29 0.286
84 0.714 1.2 36.000 36 0.000
86 0.714 1 30.714 31 -0.286
88 0.714 1 31.429 32 -0.571
90 0.714 1 32.143 33 -0.857
92 0.714 1 32.857 32 0.857
94 0.714 1 33.571 33 0.571
96 0.714 1 34.286 34 0.286
98 0.714 1.2 42.000 42 0.000
100 0.714 1 35.714 36 -0.286
102 0.714 1 36.429 37 -0.571
104 0.714 1 37.143 38 -0.857
106 0.714 1 37.857 37 0.857
108 0.714 1 38.571 38 0.571
110 0.714 1 39.286 39 0.286
112 0.714 1.2 48.000 48 0.000
114 0.714 1 40.714 41 -0.286
116 0.714 1 41.429 42 -0.571
118 0.714 1 42.143 43 -0.857
120 0.714 1 42.857 42 0.857

yangchuanju · 发表于 2021-10-27 09:11

再用素数3和5对偶数10-120进行共同筛分怎么样：
尽管偶数10-24不必用5筛分，50-120还需用7进行筛分。
∏_1=∏(p-2)/p=(3-2)/3*(5-2)/5=1/5=0.2；
当2m=6,12,18,24,36,42……114时，∏_2=∏(p-1)/(p-2)=(3-1)/(3-2)=2；当2m=10,20,40,50,70……110时，∏_2=∏(p-1)/(p-2)=(5-1)/(5-2)=1.333；
当2m=30,60,90,120时，∏_2=∏(p-1)/(p-2)=(3-1)/(3-2)*(5-1)/(5-2)=2.667；其余2m偶数不出现p，∏(p-1)/(p-2)取作1。
偶数 ∏_1 ∏_2 计算剩余实际剩余误差
10 0.2 1.333 1.333 0 1.333
12 0.2 2 2.4 2 0.4
14 0.2 1 1.4 3 -1.6
16 0.2 1 1.6 0 1.6
18 0.2 2 3.6 4 -0.4
20 0.2 1.333 2.667 4 -1.333
22 0.2 1 2.2 1 1.2
24 0.2 2 4.8 6 -1.2
26 0.2 1 2.6 3 -0.4
28 0.2 1 2.8 2 0.8
30 0.2 2.667 8.000 8 0
32 0.2 1 3.2 4 -0.8
34 0.2 1 3.4 3 0.4
36 0.2 2 7.2 6 1.2
38 0.2 1 3.8 5 -1.2
40 0.2 1.333 5.333 4 1.333
42 0.2 2 8.4 8 0.4
44 0.2 1 4.4 6 -1.6
46 0.2 1 4.6 3 1.6
48 0.2 2 9.6 10 -0.4
50 0.2 1.333 6.667 8 -1.333
52 0.2 1 5.2 4 1.2
54 0.2 2 10.8 12 -1.2
56 0.2 1 5.6 6 -0.4
58 0.2 1 5.8 5 0.8
60 0.2 2.667 16.000 16 0
62 0.2 1 6.2 7 -0.8
64 0.2 1 6.4 6 0.4
66 0.2 2 13.2 12 1.2
68 0.2 1 6.8 8 -1.2
70 0.2 1.333 9.333 8 1.333
72 0.2 2 14.4 14 0.4
74 0.2 1 7.4 9 -1.6
76 0.2 1 7.6 6 1.6
78 0.2 2 15.6 16 -0.4
80 0.2 1.333 10.667 12 -1.333
82 0.2 1 8.2 7 1.2
84 0.2 2 16.8 18 -1.2
86 0.2 1 8.6 9 -0.4
88 0.2 1 8.8 8 0.8
90 0.2 2.667 24.000 24 0
92 0.2 1 9.2 10 -0.8
94 0.2 1 9.4 9 0.4
96 0.2 2 19.2 18 1.2
98 0.2 1 9.8 11 -1.2
100 0.2 1.333 13.333 12 1.333
102 0.2 2 20.4 20 0.4
104 0.2 1 10.4 12 -1.6
106 0.2 1 10.6 9 1.6
108 0.2 2 21.6 22 -0.4
110 0.2 1.333 14.667 16 -1.333
112 0.2 1 11.2 10 1.2
114 0.2 2 22.8 24 -1.2
116 0.2 1 11.6 12 -0.4
118 0.2 1 11.8 11 0.8
120 0.2 2.667 32.000 32 0

yangchuanju · 发表于 2021-10-27 09:12

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-27 13:59 编辑

单用素数3筛分时，误差循环出现，循环节长等于3；单用素数5筛分时，误差也循环出现，循环节长等于5；
经逐个计算，共同用3和5筛分后的误差也是循环出现的，循环节长等于15，且在一个循环节内误差成反对称分布：
例偶数30-60-90-120的误差都是0、-0.8、0.4、1.2、-1.2、1.333、0.4、-1.6、1.6、-0.4、-1.333、1.2、-1.2、-0.4、0.8、0。

上述各个误差均未考虑减含1的奇数对，也未加含3和5的素数对。
然而只用素数3对偶数10-24进行筛分，对偶数50-120除用3和5筛分后再用7进行筛分，上述循环出现的误差就不再存在了。
总体上看，误差的绝对值随着偶数的增大，在逐渐增大；正负交错无明显规律，故很难用一个系数进行校正，分段也不行。
如果还要考虑减去含1的奇数对，加上含3,5,7……的素数对，以便得到真正的误差，就更难找到一个或分段的数个校正系数啦！

愚工688老师给出的误差分析贴，学生还没有来得及细研究，待学生认真研究、探索后再做评论。
相信愚工688老师已对哥猜误差进行了透彻地研究，并取得了相应的成果，学生一定要好好学习。
欢迎老师继续发布一些误差分析贴，
希望对此用兴趣的网友首先拜读愚工老师的分析贴，
希望网友们对笔者的不对之处给予指正，至此先行表示致谢！

愚工688 · 发表于 2021-10-27 09:15

素数连乘式的各个步骤的含义举例：

例：偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分成两个素数对A±x的变量x的取值区间[0，A-3]中含有的整数为( 908/2- 2)个，
因此，其构成素对的x值的计算式是：
Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15

具体每一步的含义：
1/2——[0，A-3]中满足除以2的余数不等于j2的数的发生概率；
( 1/ 3)—— [0，A-3]中满足除以3的余数不等于j3与（3-j3）的数的发生概率；
( 3/ 5)—— [0，A-3]中满足除以5的余数不等于j5与（5-j5）的数的发生概率；
( 5/ 7)—— [0，A-3]中满足除以7的余数不等于j7与（7-j7）的数的发生概率；
……
这里的j2,j3,…,jn,…，jr系偶数半值A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。

因此依据概率的独立事件的乘法定理：
在自然数[0，A-3]区域中除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r-jr)的x值的分布概率P(m)，
有P(m)=P(2·3·…·n·…·r)
=P(2)P(3)…P(n)…P(r).
即有
Sp( 908)=( 908/2- 2)*P(m)
=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15
A= 454 ,x= : 33 , 45 , 87 , 117 , 123 , 147 , 177 , 255 , 273 , 297 , 303 , 315 , 357 , 375 , 423 ,
M= 908 S(m)= 15 S1(m)= 15 Sp(m)≈ 15 δ(m)≈ 0 K(m)= 1 r= 29

当然在自然数中，在筛选素对的素数因子的乘积内，除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、…、jn及(n－jn)、…、jr及(r -jr)的数的个数是成比例的，但是这样的x值处于[0，A-3]中间的数量则不是按照计算值的数量分布的，存在着轧进轧出的现象，因此按照概率的乘法法则进行计算是必然的。

yangchuanju · 发表于 2021-10-27 09:41

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-27 09:53 编辑

愚工688 发表于 2021-10-27 09:15
素数连乘式的各个步骤的含义举例：

例：偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分 ...

请问：愚工老师，您的计算式中的A-3，是不是直接排除了1+p和p+1这样的应该删除掉的含1奇数对？

yangchuanju · 发表于 2021-10-27 09:45

lusishun 发表于 2021-10-27 06:09
好友注意，一定避开概率，

鲁思顺老师：
欢迎关注，在误差分析方面，愚工是老师，你我都是学生，请认真读一读愚工老师的帖子，再做评论不迟！

yangchuanju · 发表于 2021-10-27 09:50

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-27 11:08 编辑

鲁思顺老师的加强比例筛法，可用于哥猜证明，但不能用于哥猜数的精确计算；
从另一方面说，您的比例筛法，与愚工老师所用的“概率”实际上是一回事呀！

yangchuanju · 发表于 2021-10-27 10:07

愚工688 发表于 2021-10-27 09:15
素数连乘式的各个步骤的含义举例：

例：偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分 ...

请问：愚工老师
Sp(908)=((908/2-2)/2)*(1/3)*(3/5)*(5/7)*(9/11)*(11/13)*(15/17)*(17/19)*(21/23)*(27/29)=15.0004552379681
Sp(908)=((908/2)/2)*(1/3)*(3/5)*(5/7)*(9/11)*(11/13)*(15/17)*(17/19)*(21/23)*(27/29)=15.0668289337113
下一步是取整，都是15，为什么要减2？

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