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楼主: 费尔马1

求证n与n+1互质

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发表于 2021-10-31 12:40 | 显示全部楼层
费尔马1 发表于 2021-10-31 12:16
pk2-pk1=1,p(k2-k1)=1
这个证明方法是巧合,因为p(k2-k1)=1
p=1,(k2-k1)=1是因为两个正整数的乘积等于1 ...

牛头不对马嘴
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 楼主| 发表于 2021-10-31 12:44 | 显示全部楼层

本题还有其它的证明方法。老师您研究素数公式那么在行,证明这个题还是游刃有余的。
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发表于 2021-10-31 22:14 | 显示全部楼层
试证一下:

假设n与n+1有公因子X,并用P表示正整数;

那么,n=XP1 ; n+1=XP2

(n+1)-n=XP2-XP1=X(P2-P1)

即:1=X(P2-P1)

因此,X=1/(P2-P1)

要使这个公因子X为正整数,只能是在P2-P1=1的情况下,唯一得到X=1的解。

所以,n与n+1是互质的。即:它们之间除了共有1以外,没有共同素因子。

点评

学生我认为您的证明是对的。  发表于 2021-11-1 06:27
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发表于 2021-10-31 23:08 | 显示全部楼层
相临两个正整数是互质数,这个命题无法证明
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发表于 2021-10-31 23:18 | 显示全部楼层
被遗弃的草根 发表于 2021-10-31 22:14
试证一下:

假设n与n+1有公因子X,并用P表示正整数;

P2-P1=1,这是什么意思?P1和P2为互质数与P2-P1=1,没有任何关系

点评

张老师说的有道理。其实,X(p2-p1)=1,只有1*1=1,也可以证明该题。因为两个正整数的乘积是1,必有1*1=1。 其实,这个题的证明归根到底还是从素数的来源去证明比较好,那就是整除、倍数的理论了。  发表于 2021-11-1 13:15
P2-P1=1,表示两个正整数之差等于1; 题证没有说“P1和P2为互质数”啊; 只能在P2-P1=1的前提下,才能得到X的正整数解,而且,这个解也是唯一的,即: X=1.  发表于 2021-11-1 09:20
因为已假设P表示正整数,这里的P1和P2就表示两个不相等的正整数,1和2是下标,因这里打不出下标来。 至于P1和P2什么关系?与题的要求无关,不管它们互质不互质,我们仅仅需要求出n与n+1只有公因子1,即可。  发表于 2021-11-1 09:06
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发表于 2021-11-2 00:04 | 显示全部楼层
(n+1)-n=XP2-XP1=X(P2-P1)
X=1有等式关系存在,1*(P2-P1)=1,P2-P1=1,这样无法能判断P1和P2互质数
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发表于 2021-11-2 00:13 | 显示全部楼层
(n+1)-n=XP2-XP1=X(P2-P1)
X=1有等式关系存在,1*(P2-P1)=1,P2-P1=1,P1/k=m,(k,m,y取大于1正整数),无法判断P2/k≠y
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发表于 2021-11-2 00:22 | 显示全部楼层
太阳 发表于 2021-10-31 23:08
相临两个正整数是互质数,这个命题无法证明

不是无法证明,而是证明这种基本的问题无法用一般的定理。证明一个命题必须要用组成该命题的基本要素。以这个问题为例,只需要用到加法或乘法就行了。越是基本,构思与逻辑就越具有普遍性和代表性,看似简单,实则不然。。。
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发表于 2021-11-2 00:33 | 显示全部楼层
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发表于 2021-11-2 01:14 | 显示全部楼层
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