一元三次方程 ax^3+bx^2+cx+d=0 总可以写成 x^3+px+q=0 的形式么？

wufaxian

波斯猫猫 发表于 2021-11-3 09:02
是三个根，1是二重根。高代！

请问应该如何理解1这个二重根呢？比如在工程或其他应用领域求出方程两个相同的根与求出一个根相比有什么不同的现实意义么？

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-11-4 03:35
求特征值，求高次方程的解，数学上早已有了一套方法，可以用数值方法求近似的数值解。

即使在过去没有计 ...

那么针对方程\(-x^3+x^2+x-1=0\) 如果不用复杂的求根公式，也不用计算量比较大的数值逼近，有什么比较快捷容易记的求解方法么？

luyuanhong

可以作因式分解：

-x^3+x^2+x-1 = -x^2(x-1)+(x-1) = -(x^2-1)(x-1) = -(x+1)(x-1)(x-1) =0 。

可以看出，这个三次方程的三个根为 x1=-1 ，x2=1 ，x3=1（ x2,x3 是重根）。

天山草

当判别式为负时，方程有三个实根，这时能否用传统公式求根？ 我认为仍然是可以的。使用三角函数和反三角函数是另一条出路，但不是非走这条路不可。

luyuanhong

天山草 发表于 2021-11-5 13:28
当判别式为负时，方程有三个实根，这时能否用传统公式求根？ 我认为仍然是可以的。使用三角函数和反三角函 ...

你写出的 u,v ，漏掉了开三次方。

ysr

用鲍丰武的公式计算可能精确度更高一点，原因不太清楚，可能是鲍丰武的公式中间过程全部是整数或分数仅仅最后计算数值时用到三角函数及开立方等。如下时利用鲍丰武公式计算的程序结果：
输入1:  a=-1,  b=1,  c=1,  d=-1;  输出结果1:    x1=-1,  x2=1,  x3=1 m=-64 n=0i

天山草

下面是用卡丹公式解，在判别式为负时，不能直接得到三个实根。要得到准确的实数根表达式，还得利用三角函数。


下面是用飘飘的公式来解，依然有同样的问题，不能直接得到三个实根。



精确解的表达式如下，它们全是实数，含有虚数的公式只能算半成品。

ysr

ysr 发表于 2021-11-5 08:21
用鲍丰武的公式计算可能精确度更高一点，原因不太清楚，可能是鲍丰武的公式中间过程全部是整数或分数仅仅最 ...

回复老师的点评！
我也是经过验证，两种方法的数值解中好象是鲍丰武的方法得到的结果精确度高一点，算是一个优点，从特殊值入手，用到各种情况中的简单的典型的数值(主要分实数解和虚数解两类)，就发现鲍丰武的公式是方便的，容易判断和分类，可以使输出结果更简单些(在不算出最后数值解前)。

wufaxian

ysr 发表于 2021-11-5 20:43
回复老师的点评！
我也是经过验证，两种方法的数值解中好象是鲍丰武的方法得到的结果精确度高一点，算是 ...

弱弱问一句，现实工作中是否还有人用手工解比较复杂的三次方式以及三次以上的方程？

ysr

wufaxian 发表于 2021-11-5 13:11
弱弱问一句，现实工作中是否还有人用手工解比较复杂的三次方式以及三次以上的方程？

那是肯定的，肯定是有的，我知道的有很多人，但在爱好者和学生中占的比例可能是很小。年轻人中是否有很多人手工计算不知道。

如下这两个方程可以得到根式解(这个可以证明的)，其他还有几个种类的方程可以得到准确的根式解不一一列举了：
标准方程：x^3+ax^2+bx+c=0,当a*b*c ≠0,且b<0,b=-√c-a*√c-c时，则方程有根式解：x1=√c,x2,3=(a+√c)+-((a+√c)^2+4*√c)/2.
标准方程：x^3+ax^2+bx+c=0,当a*b*c ≠0,且a<0,b<0,c<0,当b=-√|c|-|a|*√|c|-|c|时，则方程有根式解：x1=-√|c|,x2,3=(a+√|c|)+-((a+√|c|)^2+4*√|c|)/2.