此题立个小擂台，望大家踊跃参赛

yangchuanju

此类题没有一个可下口的地方，快撤快撤！

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-11-18 14:42
好题
1楼  费尔马  发表于 2021-10-31 20:51
解不定方程:X^12+Y^13=Z^14

试解不定方程X^14+Y^15=Z^16
首先对不定方程例题X^12+Y^13=Z^14的指数关系进一步分析。
剖析例题各指数之间的相互关系：                                                               
12*m1=936        12*m2=912                                                       
13*n1=936        13*n2=910                                                       
14*s1=938        14*s2=910                                                       
第1组因子指数关系：12*m1=13*n1=14*s1-2                                                               
假定n1=——        n1        12        24        36        48        60        72        84
m1=13*n1/12        m1        13        26        39        52        65        78        65
s1=(13n1+2)/14        s1        11.29        22.43        33.57        44.71        55.86        67        78.14
m1=78，n1=72，s1=67是一组正整数解；                                                               
第2组因子指数关系：12*m2-2=13*n2=14*s2                                                               
假定n2=——        n2        14        28        42        56        70        84        98
s2=13*n2/14        s2        13        26        39        52        65        78        91
m2=(13n2+2)/12        m2        15.33        30.5        45.67        60.83        76        91.17        106.33
m2=76，n2=70，s2=65是一组正整数解。                                                               

yangchuanju

（接上楼）
拟解不定方程的第1组因子指数关系：14m1=15n1=16s1-2                                                               
假定n1=——        n1        14        28        42        56        70        84        98
m1=15*n1/14        m1        15        30        45        60        75        90        105
s1=(15n1+2)/16        s1        13.25        26.375        39.5        52.625        65.75        78.875        92
m1=105，n1=98，s1=92是一组正整数解；                                                               
拟解不定方程的第2组因子指数关系：14m2-2=15n2=16s2                                                               
假定n2=——        n2        16        32        48        64        80        96        112
s2=15*n2/16        s2        15        30        45        60        75        90        105
m2=(15n2+2)/14        m2        17.29        34.43        51.57        68.71        85.86        103        120.14
m2=103，n2=96，s2=90是一组正整数解。                                                               

yangchuanju

（接上楼）
解不定方程:X^14+Y^15=Z^16
其中一个答案是:
X=[(a^15+b^15)/2]^105 * [(a^15－b^15)/2]^103
Y=ab[(a^15+b^15)/2]^98 * [(a^15－b^15)/2]^96
Z=[(a^15+b^15)/2]^92 * [(a^15－b^15)/2]^90
其中，a、b同为奇数或同为偶数，a＞b

验证：
X=[(a^15+b^15)/2]^105 * [(a^15－b^15)/2]^103
X^14=[(a^15+b^15)/2]^1470 * [(a^15－b^15)/2]^1442
Y=ab[(a^15+b^15)/2]^98 * [(a^15－b^15)/2]^96
Y^15=a^15*b^15*[(a^15+b^15)/2]^1470 * [(a^15－b^15)/2]^1440
Z=[(a^15+b^15)/2]^92 * [(a^15－b^15)/2]^90
Z^16=[(a^15+b^15)/2]^1472 * [(a^15－b^15)/2]^1440
X^14+Y^15=[(a^15+b^15)/2]^1470 * [(a^15－b^15)/2]^1440*{[(a^15－b^15)/2]^2+a^15*b^15}
=[(a^15+b^15)/2]^1470 * [(a^15－b^15)/2]^1440*{a^30/4-2*a^15*b^15/4+b^30/4+a^15*b^153}
=[(a^15+b^15)/2]^1470 * [(a^15－b^15)/2]^1440*{a^30/4+a^15*b^15/2+b^30/4}
Z^16=[(a^15+b^15)/2]^1470 * [(a^15－b^15)/2]^1440*[(a^15+b^15)/2]^2
=[(a^15+b^15)/2]^1470 * [(a^15－b^15)/2]^1440*[a^30/4+a^15*b^15/2+b^30/4]
X^14+Y^15=Z^16

yangchuanju

请程老师审查这个最简单的不定方程的解是否正确！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-18 16:36
（接上楼）
解不定方程:X^14+Y^15=Z^16
其中一个答案是:

杨老师解的对，答案正确！学生我非常钦佩您的才华啊！您真是数圣，数界老剑客。
老师千万别累着，保重身体啊！
现在您只有含系数的不定方程还没有拿出来一个答案，以后还请老师指点，谢谢老师！

yangchuanju

再比作葫芦画个瓢，处处留神，不敢走样。
仿不定方程:2X^12+3Y^13=5Z^14解的结构和解法，
解不定方程:8X^14+3Y^15=12Z^16。

解不定方程:2X^12+3Y^13=5Z^14
其中一个答案是:
X=3^77a^7m^14
Y=3^71m^13
Z=3^66c^6m^12
其中，m=5c^84－2a^84
a、c为正整数，且满足m＞0

验证：
X=3^77a^7m^14
X^12=3^924*a^84*m^168
Y=3^71m^13
Y^13=3^923*m^169
Z=3^66c^6m^12
Z^14=3^924*c^84*m^168
2X^12+3Y^13=2*3^924*a^84*m^168+3^924*m^169=3^924*m^168*(2*a^84+m)
因为  m=5c^84－2a^84
5Z^14=5*3^924*c^84*m^168=3^924*m^168*(5*c^84)=3^924*m^168*(2*a^84+m)
2X^12+3Y^13=5z^14

yangchuanju

（接上楼）
首先剖析例题各指数之间的相互关系：       
12*m1=924        12*m2=168
13*n1=923        13*n2=169
14*s1=924        14*s2=168
第1组因子指数关系：12*m1=13*n1+1=14*s1       
假定m1=        m1        7        14        21        70        77
n1=(12m1-1)/13        n1        6.38        12.85        19.31        64.54        71
s1=12*m1/14        s1        6        12        18        60        66
m1=77，n1=71，s1=66是一组正整数解；

第2组因子指数关系：12*m2=13*n2-1=14*s2
假定m2=        m2        7        14        21        28        35
n2=(12m2+1)/13        n2        6.538461538        13        19.46153846        25.92307692        32.38461538
s2=12*m2/14        s2        6        12        18        24        30
m2=14，n2=13，s2=24是一组正整数解。                                               

yangchuanju

拟解不定方程的第1组因子指数关系：14m1=15n1+1=16s1                                               
假定m1=        m1        8        16        24        96        104
n1=(14m1-1)/15        n1        7.40         14.87         22.33         89.53         97
s1=14*m1/16        s1        7        14        21        84        91
m1=104，n1=97，s1=91是一组正整数解；                                               
拟解不定方程的第2组因子指数关系：14m2=15n2-1=16s2                                               
假定m2=        m2        8        16        24        32        40
n2=(14m2+1)/15        n2        7.53         15        22.47         29.93         37.40
s2=14*m2/16        s2        7        14        21        28        35
m2=16，n2=15，s2=14是一组正整数解。                                               

第3组因子指数关系：14m3=16s3
暂定a指数m3取作8，c指数s3取作7。

yangchuanju

据此不定方程8X^14+3Y^15=12Z^16有一组解：
X=3^104*a^8*m^16
Y=3^97*m^15
Z=3^91*c^7*m^14
其中：m=12*c^112-8*a^112，a、c为正整数，且满足m＞0。

验算：
X=3^104*a^8*m^16
Y=3^97*m^15
Z=3^91*c^7*m^14
8X^14=8*3^1456*a^112*m^224
3Y^15=3^1456*c^112*m^225
12z^16=12*3^1456*c^112*m^224
8X^14+3Y^15=3^1456*m^224*[8*a^112+m]
12z^16=12*3^1456*c^112*m^224=3^1456*m^224*[12*c^112]
如果8*a^112+m=12*c^112， 或m=12*c^112-8*a^112，则不定方程有解。