ΔABC 中，CA=CB，P,M,N 分别在 AB,AC,CB 延长线上，NPM⊥ACM，PM=BC，求证：CM=BN+PN

波斯猫猫

一孔之见：这道题没有问题！也无需讨论。因为数学有三种语言-----图形语言，符号语言，通常用语等。题目首

先强调了“如图”二字，就没有了歧义（怎么不讨论α=45°？）。如图，等腰三角形△CAB中，CA=CB，P是AB

延长线上的一点，PM⊥AC于M且PM=BC，PM交BC的延长线于N，求证：CM=BN+PN。

另一思路：作NM⊥AB的延长线于M，令∠A=α，AC=a，CM=b，BN=x，PN=y（x＞y），MN=z，

由条件易知∠MBN=∠MNP=α。

在Rt△AMP中，有（a+b）/a=cotα，

在Rt△BMN中，有z/x=sinα，在Rt△PMN中，有z/y=cosα，即x/y=cotα。

故，（a+b）/a=x/y。（1）

又在Rt△CMN中，有（y+a）∧2+b∧2=(x+a)∧2。（2）

由（1）（2）消去a，并整理化简得x+y=b（x＞y）。

uk702

也是一孔之见。

严谨是个无底洞，只能到那山唱那歌。

欧几里德几何不严谨，那希尔伯特的几何基础，几何严谨了吗？法国布尔巴基学派重写数学基础，数学严谨了吗？

中学的平面几何不严谨，那中学说的实数（甚至整数、自然数），就严谨了吗？除了搞公理化、形式化的那些人，谁敢说他将实数搞懂了？搞严谨了？

denglongshan

吴文俊先生说欧式几何不可能严谨！
http://www.360doc.com/content/17/0508/11/37288455_652070394.shtml
关于几何图形退化，吴文俊有一段精彩说明：

在Euclid几何中，公理与定理的叙述往往隐含了一种没有明白说出的假设一所考虑的图形必须处在某种正常的、一般性的、而非异常的、带有特殊性的退化情况。例如，在说到两直线平行时，就隐含着它们是不同的两条直线而不是退化为两条重合的直线。同样在说到两条直线相交时，也隐含着它们并没有退化为两条平行的或重合的直线。又如在说到三角形时，总是隐含了这是一个正常的真正三角形，它的三个顶点互不相同且不退化为顶点在同一直线上的一个“扁”三角形，如此等等。虽然我们可在定义或定理的叙述中加上种种非退化的限制，但那样叙述显得极为冗沓。究竟给出什么样的非退化的限制才算合适并不清楚。退化一词也没有确切的定义，所以等腰三角形或直角三角形算不算是一个退化的三角形，就很难确定了。尤其严重的是，定理的证明往往只适用于某种正常的、一般的、而非异常的或退化的情形。对于退化的情形，往往对证明作必要的修改才能适用。或者需要改变全部证明。有时对于退化情形定理本身甚至完全失去意义以至根本不成立。

楼主老师：
        你大约是中学老师，如果遇到初中学术造反，恭喜你，遇到天才了！好好培养。本论坛不只是做题，而是研究，所以有时间尽量做到严谨，对大家都是提高。谢谢你提供了好素材，大家可以对严谨充分认识。建议认真读读链接中的文章。

denglongshan

可能不严密

uk702

首先答复一下，我不是老师，更不是中学老师，纯粹的闲人一个。

正如你转发的吴老师所说，几何有其一定的特殊性，比如说同样是线段，有正向的，有逆向的，有在延长线上的，角有顺时针、逆时针，甚至还可以是补角，位置不同，结果确实往往不一样，那怕是有时加有时减，但总的来说大同小异，所采用一图一证不失是一个办法。

采用有向线段、有向角的方法，是可以将命题做得严密、完整，但那还叫初中几何吗？

说到解题和做研究，如你所说，论坛不只是用来解题的，所以我很佩服您的创见和执着，但解题技巧也是数学研究的重要组成部分，某种意义上来说，是突破凡殼、走向创新的一部分。

cgl_74 其实很有点意思，他的解题过程尤如教科书般的那样严密、规整，以致于让我怀疑他是不是出版社或者杂志的编辑（如果是做安监或者是审计之类的工作，我想全国人民都会放心了），但说实在的，我个人对他的解答过程一般也就是看看而已，因为除了做对了、考试中结结实实地得个100分之外，没有更多价值，没有意外和惊喜，这也包括王守恩其它帖子里的大多三角证法（这里的三角证法还比较漂亮）。

denglongshan

王守恩

kanyikan 发表于 2021-11-13 17:46

谢谢 kanyikan！聪明的脑袋！5楼的图也是太好了！

主帖：ΔABC 中，CA=CB，P,M,N 分别在 AB,AC,CB 延长线上，NPM⊥ACM，PM=BC，求证：CM=BN+PN

\(主帖等同：S_{△AMD}=S_{△AMP}+S_{△APD}\)（通过5楼，把两者联系起来),

\(证：\frac{\cos(a)*\cos(a)*\sin(90^\circ)}{2}=\frac{\cos(a)*\sin(a)*\sin(90^\circ)}{2}+\frac{1*(\cos(a)-\sin(a))*\cos(a)}{2}\)

\(其中记∠BAC=a\ \ PM=\sin(a)\ \ CM=\cos(a)-\sin(a)\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-16 06:32
谢谢 kanyikan！聪明的脑袋！5楼的图也是太好了！

\(主帖等同：S_{△AMD}=S_{△AMP}+S_{△APD}\)

每个人都在走自己的路。

\(主帖等同：S_{△AMD}=S_{△CMP}+S_{\square ACPD}\)

\(S_{△AMD}=\frac{\cos a*\cos a*\sin90^\circ}{2}\)

\(S_{△CMP}=\frac{(\cos a-\sin a)*\sin a*\sin90^\circ}{2}\)

\(S_{\square ACPD}=\frac{\sin a*\cos a/\sin45^\circ*\sin45^\circ+\cos a/\sin45^\circ*(\cos a-\sin a)*\sin45^\circ-(\cos a-\sin a)*\sin a*\sin(45^\circ+45^\circ)}{2}\)

\(主帖等同：S_{△AMD}=S_{△CMN}+S_{\square ACND}\)

uk702

王守恩 发表于 2021-11-16 06:32
谢谢 kanyikan！聪明的脑袋！5楼的图也是太好了！

\(主帖等同：S_{△AMD}=S_{△AMP}+S_{△APD}\)

实在看不懂如何“主贴等同：S△AMD = S△AMP+S△APD”，我不知道究竟是我的智商离线，还是你根本就没说清楚。

你走你自己的路没问题，但你总要让人看懂你在说什么。就算你是借题发挥，至少要要交待一下相关背景，也得让人看懂你在说什么，是吧？

别人（我）不可能调到你那个频道才将能看懂，先瞎琢磨一通你在说什么。如果再出现这种我认为没头没尾、莫名其妙、自说自话的东西，不好意思，只好将你拉黑了。

我在我的地盘，就是要横行霸道，虽然我也没有什么地盘。

波斯猫猫

原题较简洁的思路：作NM⊥AB的延长线于M，令∠A=α，AC=a，CM=b，BN=x，PN=y（x＞y），

MN=z，由条件易知∠MBN=∠MNP=α。

在Rt△AMP中，有（a+b）/a=cotα，

在Rt△BMN中，有z/x=sinα，在Rt△PMN中，有z/y=cosα，即x/y=cotα。

故，（a+b）/a=x/y。（1）

又在Rt△CMN中，有（y+a）∧2+b∧2=(x+a)∧2。（2）

由（1）（2）消去a，并整理化简得x+y=b（x＞y）。

注：作辅助线少，仅限于初中知识和少量的运算。原题无需讨论。