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(九) 将(七)中57X^13871+115Y^38743=203Z^78269中的3个大指数分别更换一个素因子,看一看如何?
13871=11*13*97
38743=17*43*53
78269=23*41*83
已用素数:3,5,7,11,13,17,23,29,41,43,53,59,61,67,71,83,89,97
未用素数:19,31,37,47,73,79,
将3个指数中的97,53,83分别更换成79,47,73,
XYZ项指数分别取11*13*79=11297,17*43*47=34357,23*41*73=68839
三系数分解式
57=3*19
115=5*23
203=7*29
三系数之中各1个素因子,但没有一个公因子,共6个素因子:3,5,7;19,23,29。
假定不定方程解的结构是
X=57^c1*115^d1*203^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u-b^u ) /2]^t1
Y=57^c2*115^d2*203^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u-b^u ) /2]^t2
Z=57^c3*115^d3*203^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u-b^u ) /2]^t3
其中,a、b为正整数,a>b,a、b同奇或同偶。
57的指数不定方程:11297*c1+1=34357*c2=68839*c3
115的指数不定方程:11297*d1=34357*d2+1=68839*d3
203的指数不定方程:11297*e1=34357*e2=68839*e3+1
设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式:
11297*s1=34357*s2=68839*s3-2
11297*t1=34357*t2+2=68839*t3
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。
在求出以上5组指数不定方程后,XYZ项的各个指数均相等了,系数都是1了,
提取公因式后,X项剩一a^u*b^u,Y项剩一[(a^u-b^u)/2]^2,Z项剩一[(a^u+b^u)/2]^2,
取u=11297
a^u*b^u+[(a^u-b^u)/2]^2=a^u*b^u+a^2u/4-2*a^u*b^u/4+b^u/4=a^2u/4+2*a^u*b^u/4+b^2u/4=[(a^u+b^u)/2]^2
3个素因子的3组指数不定方程组如下:
11297*c1+1=34357*c2=68839*c3, c2=68839*c3/34357, c1=(68839*c3-1)/11297
34357*d2+1=68839*d3=11297*d1, d3=11297*d1/68839, d2=(11297*d1-1)/34357
68839*e3+1=11297*e1=34357*e2, e1=34357*e2/11297, e3=(34357*e2-1)/68839
解前3组不定方程得(最小解):都有解(略)
解(a^u±b^u)/2的指数不定方程组:
11297*s1=34357*s2=68839*s3-2,给定s1,s2=11297*s1/34357,s3=(11297*s1+2)/68839
11297*t1=34357*t2+2=68839*t3,给定t1,t3=11297*t1/68839,t2=(11297*t1-2)/34357
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。
解后2组不定方程得(最小解):都有解(略)
整个不定方程有解。
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