变化一下赛题的条件

yangchuanju

四、试解以下不定方程
3X^(11*41)+5Y^(13*37)=7Z^(17*31), 3X^451+5Y^481=7Z^527
三系数分解式
3=1*3
5=1*5
7=1*7
三系数之中各1个素因子，但没有一个公因子，共3个素因子：3,5,7。

不定方程的系数必须全部转入解的相关素因子之中；
假定不定方程解的结构是
X=3^c1*5^d1*7^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=3^c2*5^d2*7^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=3^c3*5^d3*7^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
3的指数不定方程：451*c1-1=481*c2=527*c3
5的指数不定方程：451*d1=481*d2-1=527*d3
7的指数不定方程：451*e1=481*e2=527*e3-1

设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
451*s1=481*s2=527*s3-2
451*t1=481*t2+2=527*t3
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

在求出以上5组指数不定方程后，XYZ项的各个指数均相等了，系数都是1了，
提取公因式后，X项剩一a^u*b^u，Y项剩一[(a^u-b^u)/2]^2，Z项剩一[(a^u+b^u)/2]^2，
取u=451
a^u*b^u+[(a^u-b^u)/2]^2=a^u*b^u+a^2u/4-2*a^u*b^u/4+b^u/4=a^2u/4+2*a^u*b^u/4+b^2u/4=[(a^u+b^u)/2]^2


3个素因子的3组指数不定方程组如下：
451*c1+1=481*c2=527*c3, c2=527*c3/481, c1=(527*c3-1)/451
481*d2+1=527*d3=451*d1, d3=451*d1/527, d2=(451*d1-1)/481
527*e3+1=451*e1=481*e2, e1=481*e2/451, e3=(481*e2-1)/527

解之（最小解）
c3=208273, c2=228191, c1=243370
d1= 44268, d3= 37884, d2= 41507
e2=205656, e1=219336, e3=187705

验证指数
3X^451=3^(451*c1+1)*5^(451*d1)*7^(451*e1)*…=3^109759871*5^19964868*7^98920536*…
5Y^481=3^(481*c2)*5^(481*d2+1)*7^(481*e2)*…=3^109759871*5^19964868*7^98920536*…
7Z^527=3^(527*c3)*5^(527*d3)*7^(527*e3+1)*…=3^109759871*5^199648686*7^98920536*…

解(a^u±b^u)/2的指数不定方程组：
451*s1=481*s2=527*s3-2，给定s1，s2=451*s1/481，s3=(451*s1+2)/527
451*t1=481*t2+2=527*t3，给定t1，t3=451*t1/527，t2=(451*t1-2)/481
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

已求出两组最小解
s1=68302,s2=64042,s3=58452
t1=88536,t2=83014,t3=75768
验证
451*s1=451*68302=30804202,481*s2=481*64042=30804202,527*s3-2=527*58452-2=30804202
451*t1=451*88536=39929736, 481*t2+2=481*83014+2=39929736,  527*t3=527*75768=39929736

综合到一起，不定方程
3X^451+5Y^481=7Z^527的一组最小解是
X=3^243370*5^44268*7^219336*a*b*[(a^451+b^451)/2]^68302*[(a^451-b^451)/2]^88536
Y=3^228191*5^41507*7^205656*[(a^451+b^451)/2]^64042*[(a^451-b^451)/2]^83014
Z=3^219336*5^37884*7^187705*[(a^451+b^451)/2]^58452*[(a^451-b^451)/2]^75768
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。

yangchuanju

五、试解以下不定方程
3*19X^(11*41)+5*23Y^(13*37)=7*29Z^(17*31), 57X^451+115Y^481=203Z^527
三系数分解式
57=3*19
115=5*23
203=7*29
三系数之中各1个素因子，但没有一个公因子，共6个素因子：3,5,7；19,23,29。

不定方程的系数必须全部转入解的相关素因子之中；
假定不定方程解的结构是
X=57^c1*115^d1*203^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=57^c2*115^d2*203^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=57^c3*115^d3*203^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
57的指数不定方程：451*c1+1=481*c2=527*c3
115的指数不定方程：451*d1=481*d2+1=527*d3
203的指数不定方程：451*e1=481*e2=527*e3+1

设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
451*s1=481*s2=527*s3-2
451*t1=481*t2+2=527*t3
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

在求出以上5组指数不定方程后，XYZ项的各个指数均相等了，系数都是1了，
提取公因式后，X项剩一a^u*b^u，Y项剩一[(a^u-b^u)/2]^2，Z项剩一[(a^u+b^u)/2]^2，
取u=451
a^u*b^u+[(a^u-b^u)/2]^2=a^u*b^u+a^2u/4-2*a^u*b^u/4+b^u/4=a^2u/4+2*a^u*b^u/4+b^2u/4=[(a^u+b^u)/2]^2


3个素因子的3组指数不定方程组如下：
451*c1+1=481*c2=527*c3, c2=527*c3/481, c1=(527*c3-1)/451
481*d2+1=527*d3=451*d1, d3=451*d1/527, d2=(451*d1-1)/481
527*e3+1=451*e1=481*e2, e1=481*e2/451, e3=(481*e2-1)/527

解之（最小解）
c3=208273, c2=228191, c1=243370
d1= 44268, d3= 37884, d2= 41507
e2=205656, e1=219336, e3=187705

验证指数
57X^451=57^(451*c1+1)*115^(451*d1)*203^(451*e1)*…=57^109759871*115^19964868*203^98920536*…
115Y^481=57^(481*c2)*115^(481*d2+1)*203^(481*e2)*…=57^109759871*115^19964868*203^98920536*…
203Z^527=57^(527*c3)*115^(527*d3)*203^(527*e3+1)*…=57^109759871*115^199648686*203^98920536*…

解(a^u±b^u)/2的指数不定方程组：
451*s1=481*s2=527*s3-2，给定s1，s2=451*s1/481，s3=(451*s1+2)/527
451*t1=481*t2+2=527*t3，给定t1，t3=451*t1/527，t2=(451*t1-2)/481
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

已求出两组最小解
s1=68302,s2=64042,s3=58452
t1=88536,t2=83014,t3=75768
验证
451*s1=451*68302=30804202,481*s2=481*64042=30804202,527*s3-2=527*58452-2=30804202
451*t1=451*88536=39929736, 481*t2+2=481*83014+2=39929736,  527*t3=527*75768=39929736

综合到一起，不定方程
57X^451+115Y^481=203Z^527的一组最小解是
X=3^243370*5^44268*7^219336*19^243370*23^44268*29^219336*a*b*[(a^451+b^451)/2]^68302*[(a^451-b^451)/2]^88536
Y=3^228191*5^41507*7^205656*19^228191*23^41507*29^205656*[(a^451+b^451)/2]^64042*[(a^451-b^451)/2]^83014
Z=3^219336*5^37884*7^187705*19^219336*23^37884*29^187705*[(a^451+b^451)/2]^58452*[(a^451-b^451)/2]^75768
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。

yangchuanju

上述5个类型不定方程分别是
（一）  X^11+Y^13=z^17
（二）  3X^11+5Y^13=7z^17
（三）  3*19X^11+5*23Y^13=7*29z^17
（四）  3X^(11*41)+5Y^(13*37)=7Z^(17*31)
（五）  3*19X^(11*41)+5*23Y^(13*37)=7*29Z^(17*31)
这里的指数和系数都是一些互素的1个素数或2个素数的积，3,6,9,12个素数各不相同，
为的是想解费尔马擂台中的不定方程，那个不定方程的指数、系数都是3素数之积，18个素数互不相同。
上述5个不定方程都有解，擂台中的不定方程有解吗？
直接解擂台方程，没有找到，退一步将（五）中的系数换成擂台方程中的系数怎么样？
将（五）中的指数换成擂台方程中的指数怎么样？
（六）  15753X^451+23785Y^481=12383Z^527
（七）  57X^13871+115Y^38743=203Z^78269

对于不定方程（六）可仿不定方程（五）的解，只需将系数确定的解的有关底数换一下即可；
3*19=57换成15753,5*23=115换成23785,7*29=203换成12383即可。
15753=3*59*89
23785=5*67*71
12383=7*29*61
15753X^451+23785Y^481=12383Z^527的一组最小解是
X=15753^243370*23785^44268*12383^219336*a*b*[(a^451+b^451)/2]^68302*[(a^451-b^451)/2]^88536
Y=15753^228191*23785^41507*12383^205656*[(a^451+b^451)/2]^64042*[(a^451-b^451)/2]^83014
Z=15753^219336*23785^37884*12383^187705*[(a^451+b^451)/2]^58452*[(a^451-b^451)/2]^75768
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
当然也可将3*3个大底数拆分成各自的3个素因子做底数，指数均不变且相同。

yangchuanju

对于不定方程（七）可仿不定方程（五）的解，将指数确定的解的有关指数换一下，
假定不定方程解的结构是
X=57^c1*115^d1*203^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=57^c2*115^d2*203^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=57^c3*115^d3*203^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
57的指数不定方程：13871*c1+1=38743*c2=78269*c3
115的指数不定方程：13871*d1=38743*d2+1=78269*d3
203的指数不定方程：13871*e1=38743*e2=78269*e3+1

设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
取u等于13871
13871*s1=38743*s2=78269*s3-2
13871*t1=38743*t2+2=78269*t3
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

然而前3个不定方程无解，不管后2个不定方程有没有正整数解，不定方程（七）无上述类型的正整数解。

再将不定方程（七）的系数替换为擂台不定方程的系数，擂台不定方程也不会有解！

修改附注：上两行的结论不正确，5个不定方程都有解，不定方程（七）有解，擂台不定方程也有解。
          错误产生原因是在计算中将38743错误地输成37843！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-22 14:37
对于不定方程（七）可仿不定方程（五）的解，将指数确定的解的有关指数换一下，
假定不定方程解的结构是
...

感谢杨老师关注并解题！您真是数圣啊！太厉害了！竟然能解出几年来论坛里没有人能解答的题，学生佩服啊！
学生我肯定，擂台赛题是有解的，望老师们再探索一下。
其实，您解的答案中的指数是最小解，不错，我的例题的答案指数也是最小解，但是这种题的答案指数也可以是含周期数的更通解，学生以为那样的答案难度大，就没有发布例题。
谢谢杨老师！学生期望您以后多多关注并指点。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-11-22 14:37
对于不定方程（七）可仿不定方程（五）的解，将指数确定的解的有关指数换一下，
假定不定方程解的结构是
...

经重新计算，不定方程（七）57X^13871+115Y^38743=203Z^78269最小解的5组参变数分别是                                       
c1        2503989127        d1        78425538        e1        449961202
c2        896493126        d2        28078379        e2        161097794
c3        443762322        d3        13898742        e3        79743089
s1        2132453463        t1        156851076               
s2        763473711        t2        56156758               
s3        377917975        t3        27797484               
代换从略。                                       

yangchuanju

（八）  将（七）中57X^13871+115Y^38743=203Z^78269中的3个大指数分别去掉一个素因子，看一看如何？
XYZ项指数分别取11*97=1067，17*53=901，23*41=943
三系数分解式
57=3*19
115=5*23
203=7*29
三系数之中各1个素因子，但没有一个公因子，共6个素因子：3,5,7；19,23,29。

不定方程的系数必须全部转入解的相关素因子之中；
假定不定方程解的结构是
X=57^c1*115^d1*203^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=57^c2*115^d2*203^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=57^c3*115^d3*203^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
57的指数不定方程：1067*c1+1=901*c2=943*c3
115的指数不定方程：1067*d1=901*d2+1=943*d3
203的指数不定方程：1067*e1=901*e2=943*e3+1

设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
1067*s1=901*s2=943*s3-2
1067*t1=901*t2+2=943*t3
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

在求出以上5组指数不定方程后，XYZ项的各个指数均相等了，系数都是1了，
提取公因式后，X项剩一a^u*b^u，Y项剩一[(a^u-b^u)/2]^2，Z项剩一[(a^u+b^u)/2]^2，
取u=1067
a^u*b^u+[(a^u-b^u)/2]^2=a^u*b^u+a^2u/4-2*a^u*b^u/4+b^u/4=a^2u/4+2*a^u*b^u/4+b^2u/4=[(a^u+b^u)/2]^2


3个素因子的3组指数不定方程组如下：
1067*c1+1=901*c2=943*c3, c2=943*c3/901, c1=(943*c3-1)/1067
901*d2+1=943*d3=1067*d1, d3=1067*d1/943, d2=(1067*d1-1)/901
943*e3+1=1067*e1=901*e2, e1=901*e2/1067, e3=(901*e2-1)/943

解前3组不定方程得（最小解）
c1=336035    c2=397946    c3=380222
d1=810037    d2=959278    d3=916553
e1=553214    e2=655138    e3=625959

验证指数
57X^1067=57^(1067*c1+1)*115^(1067*d1)*203^(1067*e1)*…=57^358549346*115^864309479*203^590279338*…
115Y^901=57^(901*c2)*115^(901*d2+1)*203^(901*e2)*…=57^358549346*115^864309479*203^590279338*…
203Z^943=57^(943*c3)*115^(943*d3)*203^(943*e3+1)*…=57^358549346*115^864309479*203^590279338*…

解(a^u±b^u)/2的指数不定方程组：
1067*s1=901*s2=943*s3-2，给定s1，s2=1067*s1/901，s3=(1067*s1+2)/943
1067*t1=901*t2+2=943*t3，给定t1，t3=1067*t1/943，t2=(1067*t1-2)/901
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

已求出两组最小解
s1=592858,s2=702068,s3=670816
t1=770431,t2=912735,t3=871739
验证
1067*s1=1067*592858=632579486,901*s2=901*702086=632579486,943*s3-2=943*670816-2=632579486
1067*t1=1067*770431=822049877, 901*t2+2=901*912375+2=822049877,  943*t3=943*871739=822049877

综合到一起，不定方程
57X^1067+115Y^901=203Z^943的一组最小解是
X=57^336035*115^810037*203^553214*a*b*[(a^1067+b^1067)/2]^592858*[(a^1067-b^1067)/2]^770431
Y=57^397948*115^959278*203^655138*[(a^1067+b^1067)/2]^702068*[(a^1067-b^1067)/2]^912735
Z=57^380222*115^916553*203^625959*[(a^1067+b^1067)/2]^670816*[(a^1067-b^1067)/2]^871739
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。

yangchuanju

（九）  将（七）中57X^13871+115Y^38743=203Z^78269中的3个大指数分别更换一个素因子，看一看如何？
13871=11*13*97
38743=17*43*53
78269=23*41*83
已用素数：3,5,7,11,13,17,23,29,41,43,53,59,61,67,71,83,89,97
未用素数：19,31,37,47,73,79,
将3个指数中的97,53,83分别更换成79,47,73，
XYZ项指数分别取11*13*79=11297，17*43*47=34357，23*41*73=68839

三系数分解式
57=3*19
115=5*23
203=7*29
三系数之中各1个素因子，但没有一个公因子，共6个素因子：3,5,7；19,23,29。

假定不定方程解的结构是
X=57^c1*115^d1*203^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=57^c2*115^d2*203^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=57^c3*115^d3*203^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
57的指数不定方程：11297*c1+1=34357*c2=68839*c3
115的指数不定方程：11297*d1=34357*d2+1=68839*d3
203的指数不定方程：11297*e1=34357*e2=68839*e3+1

设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
11297*s1=34357*s2=68839*s3-2
11297*t1=34357*t2+2=68839*t3
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

在求出以上5组指数不定方程后，XYZ项的各个指数均相等了，系数都是1了，
提取公因式后，X项剩一a^u*b^u，Y项剩一[(a^u-b^u)/2]^2，Z项剩一[(a^u+b^u)/2]^2，
取u=11297
a^u*b^u+[(a^u-b^u)/2]^2=a^u*b^u+a^2u/4-2*a^u*b^u/4+b^u/4=a^2u/4+2*a^u*b^u/4+b^2u/4=[(a^u+b^u)/2]^2


3个素因子的3组指数不定方程组如下：
11297*c1+1=34357*c2=68839*c3, c2=68839*c3/34357, c1=(68839*c3-1)/11297
34357*d2+1=68839*d3=11297*d1, d3=11297*d1/68839, d2=(11297*d1-1)/34357
68839*e3+1=11297*e1=34357*e2, e1=34357*e2/11297, e3=(34357*e2-1)/68839

解前3组不定方程得（最小解）:都有解（略）

解(a^u±b^u)/2的指数不定方程组：
11297*s1=34357*s2=68839*s3-2，给定s1，s2=11297*s1/34357，s3=(11297*s1+2)/68839
11297*t1=34357*t2+2=68839*t3，给定t1，t3=11297*t1/68839，t2=(11297*t1-2)/34357
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

解后2组不定方程得（最小解）:都有解（略）
整个不定方程有解。

yangchuanju

（十）  将（七）中57X^13871+115Y^38743=203Z^78269中的3个大指数恢复成擂台方程的指数，看一看如何？
13871=11*13*97
38743=17*43*53
78269=23*41*83

三系数分解式
57=3*19
115=5*23
203=7*29
三系数之中各1个素因子，但没有一个公因子，共6个素因子：3,5,7；19,23,29。

假定不定方程解的结构是
X=57^c1*115^d1*203^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=57^c2*115^d2*203^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=57^c3*115^d3*203^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
57的指数不定方程：13871*c1+1=38743*c2=78269*c3
115的指数不定方程：13871*d1=38743*d2+1=78269*d3
203的指数不定方程：13871*e1=38743*e2=78269*e3+1

设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
13871*s1=38743*s2=78269*s3-2
13871*t1=38743*t2+2=78269*t3
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

在求出以上5组指数不定方程后，XYZ项的各个指数均相等了，系数都是1了，
提取公因式后，X项剩一a^u*b^u，Y项剩一[(a^u-b^u)/2]^2，Z项剩一[(a^u+b^u)/2]^2，
取u=13871
a^u*b^u+[(a^u-b^u)/2]^2=a^u*b^u+a^2u/4-2*a^u*b^u/4+b^u/4=a^2u/4+2*a^u*b^u/4+b^2u/4=[(a^u+b^u)/2]^2


3个素因子的3组指数不定方程组如下：
13871*c1+1=38743*c2=78269*c3, c3=38743*c2/78269, c1=(38743*c2-1)/13871
38743*d2+1=78269*d3=13871*d1, d1=78269*d3/13871, d2=(78269*d3-1)/38743
78269*e3+1=13871*e1=38743*e2, e2=13871*e1/38743, e3=(13871*e1-1)/78269

解前3组不定方程得（最小解）:应该都有解（略）

解(a^u±b^u)/2的指数不定方程组：
13871*s1=38743*s2=78269*s3-2，给定s1，s2=13871*s1/38743，s3=(13871*s1+2)/78269
13871*t1=38743*t2+2=78269*t3，给定t1，t3=13871*t1/78269，t2=(13871*t1-2)/38743
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

解后2组不定方程得（最小解）:应该都有解（略）
整个不定方程应该有解。

lusishun

这一个方程的提出，足以让您被称为民工数学家，民工是您的正式的，养家糊口的工作，数学家是您的晚上休息时的真实身份，这才是您的内心，初心。