数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
楼主: 费尔马1

n^2+a^2+b^2=C^2;通式全部解公式

[复制链接]
 楼主| 发表于 2021-11-29 06:54 | 显示全部楼层
creasson 发表于 2021-11-28 21:13
一般地,方程:
\[x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = {y^2}\]

老师的这个公式,思路很好!方程本身是成立的,如果不考虑负数。赞!
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-29 10:49 | 显示全部楼层
那就再来一个解:

对于\( x^2 + y^2 + z^2 = w^2\),它的整数通解是:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = (u - {s^2} - {t^2})(u + {s^2} + {t^2}) \\
y = 2u(s - t)(s + t) \\
z = 4ust \\
w = {u^2} + {s^4} + 2{s^2}{t^2} + {t^4} \\
\end{array} \right.  \text{或 }\left\{ \begin{array}{l}
x = ({s^2} + {t^2} - u)({s^2} + {t^2} + u) \\
y = 2u(s - t)(s + t) \\
z = 4ust \\
w =  - ({u^2} + {s^4} + 2{s^2}{t^2} + {t^4}) \\
\end{array} \right.\]






回复 支持 1 反对 0

使用道具 举报

发表于 2021-11-29 11:15 | 显示全部楼层
对于\(x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = s^2\), 它的整数通解是:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x =  - ({a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2} - d)({a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2} + d) \\
y = 2({a^2} + {b^2} - c)({a^2} + {b^2} + c)d \\
z = 4(a - b)(a + b)cd \\
w = 8abcd \\
s = {a^8} + 4{a^6}{b^2} + 6{a^4}{b^4} + 4{a^2}{b^6} + {b^8} + 2{a^4}{c^2} + 4{a^2}{b^2}{c^2} + 2{b^4}{c^2} + {c^4} + {d^2} \\
\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = ({a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2} - d)({a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2} + d) \\
y = 2({a^2} + {b^2} - c)({a^2} + {b^2} + c)d \\
z = 4(a - b)(a + b)cd \\
w = 8abcd \\
s =  - ({a^8} + 4{a^6}{b^2} + 6{a^4}{b^4} + 4{a^2}{b^6} + {b^8} + 2{a^4}{c^2} + 4{a^2}{b^2}{c^2} + 2{b^4}{c^2} + {c^4} + {d^2}) \\
\end{array} \right.\]




点评

看来creasson先生对这个问题研究地很透彻,我也要给您一个赞!  发表于 2021-11-29 13:03
回复 支持 1 反对 0

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-29 12:25 | 显示全部楼层
creasson 发表于 2021-11-29 11:15
对于\(x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = s^2\), 它的整数通解是:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x =  - ({a^4} +  ...

感谢老师关注。老师的通解公式很好!(若不考虑负数)。总之,您的解题方法很好啊。负整数也是整数。赞!
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-29 13:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-29 14:16 编辑

对程中永的通式公式条件进行了一点粗略探讨,草拟一稿,献丑了!

令n=1-5,a=m=2-6,k是m^2和n^2+m^2的约数,b、c代入相应公式求出,
再求出n^2+a^2+b^2和c^2-nab平方和(皆等于0,帖子中不再显示),穷举计算表如下:
n        a=m        m^2        n^2+m^2        k        b        c=b+k        n^2+a^2+b^2
1        2        4        5        1        2        3        9
1        2        4        5        2        0.25         2.25         5.06
1        2        4        5        4        -1.38         2.63         6.89
1        2        4        5        5        -2        3        9
1        3        9        10        1        4.50         5.50         30.25
1        3        9        10        3        0.17         3.17         10.03
1        3        9        10        9        -3.94         5.06         25.56
1        3        9        10        2        1.50         3.50         12.25
1        3        9        10        5        -1.50         3.50         12.25
1        3        9        10        10        -4.50         5.50         30.25
2        3        9        13        1        6        7        49
2        3        9        13        3        0.67         3.67         13.44
2        3        9        13        9        -3.78         5.22         27.27
2        3        9        13        13        -6        7        49
1        4        16        17        1        8        9        81
1        4        16        17        2        3.25         5.25         27.56
1        4        16        17        4        0.13         4.13         17.02
1        4        16        17        8        -2.94         5.06         25.63
1        4        16        17        16        -7.47         8.53         72.78
1        4        16        17        17        -8        9        81
2        4        16        20        1        9.5        10.5        110.25
2        4        16        20        2        4        6        36
2        4        16        20        4        0.50         4.50         20.25
2        4        16        20        8        -2.75         5.25         27.56
2        4        16        20        16        -7.38         8.63         74.39
2        4        16        20        5        -0.50         4.50         20.25
2        4        16        20        10        -4        6        36
2        4        16        20        20        -9.50         10.50         110.25
3        4        16        25        1        12        13        169
3        4        16        25        2        5.25         7.25         52.56
3        4        16        25        4        1.13         5.13         26.27
3        4        16        25        8        -2.44         5.56         30.94
3        4        16        25        16        -7.22         8.78         77.11
3        4        16        25        5        0        5        25
3        4        16        25        25        -12        13        169
1        5        25        26        1        12.50         13.50         182.25
1        5        25        26        2        5.50         7.50         56.25
1        5        25        26        5        0.10         5.10         26.01
1        5        25        26        25        -11.98         13.02         169.52
1        5        25        26        13        -5.50         7.50         56.25
1        5        25        26        26        -12.50         13.50         182.25
2        5        25        29        1        14        15        225
2        5        25        29        5        0.40         5.40         29.16
2        5        25        29        25        -11.92         13.08         171.09
2        5        25        29        29        -14        15        225
3        5        25        34        1        16.50         17.50         306.25
3        5        25        34        5        0.90         5.90         34.81
3        5        25        34        25        -11.82         13.18         173.71
3        5        25        34        2        7.50         9.50         90.25
3        5        25        34        17        -7.50         9.50         90.25
3        5        25        34        34        -16.50         17.50         306.25
4        5        25        41        1        20        21        441
4        5        25        41        5        1.60         6.60         43.56
4        5        25        41        25        -11.68         13.32         177.42
4        5        25        41        41        -20        21        441
1        6        36        37        1        18        19        361
1        6        36        37        2        8.25         10.25         105.06
1        6        36        37        3        4.67         7.67         58.78
1        6        36        37        4        2.63         6.63         43.89
1        6        36        37        6        0.08         6.08         37.01
1        6        36        37        9        -2.44         6.56         42.98
1        6        36        37        12        -4.46         7.54         56.88
1        6        36        37        18        -7.97         10.03         100.56
1        6        36        37        36        -17.49         18.51         342.76
1        6        36        37        37        -18        19        361
2        6        36        40        1        19.50         20.50         420.25
2        6        36        40        2        9        11        121
2        6        36        40        3        5.17         8.17         66.69
2        6        36        40        4        3        7        49
2        6        36        40        6        0.33         6.33         40.11
2        6        36        40        9        -2.28         6.72         45.19
2        6        36        40        12        -4.33         7.67         58.78
2        6        36        40        18        -7.89         10.11         102.23
2        6        36        40        36        -17.44         18.56         344.31
3        6        36        45        1        22        23        529
3        6        36        45        2        10.25         12.25         150.06
3        6        36        45        3        6        9        81
3        6        36        45        4        3.63         7.63         58.14
3        6        36        45        6        0.75         6.75         45.56
3        6        36        45        9        -2        7        49
3        6        36        45        12        -4.13         7.88         62.02
3        6        36        45        18        -7.75         10.25         105.06
3        6        36        45        36        -17.38         18.63         346.89
3        6        36        45        5        2        7        49
3        6        36        45        15        -6        9        81
3        6        36        45        45        -22        23        529
4        6        36        52        1        25.50         26.50         702.25
4        6        36        52        2        12        14        196
4        6        36        52        3        7.17         10.17         103.36
4        6        36        52        4        4.50         8.50         72.25
4        6        36        52        6        1.33         7.33         53.78
4        6        36        52        9        -1.61         7.39         54.60
4        6        36        52        12        -3.83         8.17         66.69
4        6        36        52        18        -7.56         10.44         109.09
4        6        36        52        36        -17.28         18.72         350.52
4        6        36        52        13        -4.50         8.50         72.25
4        6        36        52        26        -12        14        196
4        6        36        52        52        -25.50         26.50         702.25
5        6        36        61        1        30        31        961
5        6        36        61        2        14.25         16.25         264.06
5        6        36        61        3        8.67         11.67         136.11
5        6        36        61        4        5.63         9.63         92.64
5        6        36        61        6        2.08         8.08         65.34
5        6        36        61        9        -1.11         7.89         62.23
5        6        36        61        12        -3.46         8.54         72.96
5        6        36        61        18        -7.31         10.69         114.37
5        6        36        61        36        -17.15         18.85         355.22
5        6        36        61        61        -30        31        961
……
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-29 13:17 | 显示全部楼层
只要其中b、c都是正整数的穷举表变为:
n        a=m        m^2        n^2+m^2        k        b        c=b+k        n^2+a^2+b^2
1        2        4        5        1        2        3        9
2        3        9        13        1        6        7        49
1        4        16        17        1        8        9        81
2        4        16        20        2        4        6        36
3        4        16        25        1        12        13        169
2        5        25        29        1        14        15        225
4        5        25        41        1        20        21        441
1        6        36        37        1        18        19        361
2        6        36        40        2        9        11        121
2        6        36        40        4        3        7        49
3        6        36        45        1        22        23        529
3        6        36        45        3        6        9        81
3        6        36        45        5        2        7        49
4        6        36        52        2        12        14        196
5        6        36        61        1        30        31        961
从表中可以看的:k必须同时是m^2和n^2+m^2的约数才可以;
但k同时是m^2和n^2+m^2的约数并不是四元数组形成的充分条件,以下各行的k同时是m^2和n^2+m^2的约数,都行不成四元数组:
n        a=m        m^2        n^2+m^2        k        b        c=b+k        n^2+a^2+b^2
1        3        9        10        1        4.50         5.50         30.25
2        4        16        20        1        9.50         10.50         110.25
1        5        25        26        1        12.50         13.50         182.25
3        5        25        34        1        16.50         17.50         306.25
2        6        36        40        1        19.50         20.50         420.25
4        6        36        52        1        25.50         26.50         702.25
4        6        36        52        4        4.50         8.50         72.25

再考虑n=m-k或k=m-n的限制条件,能够形成四元数组的不一定满足这一条件,该条件好似多余:
n        a=m        m^2        n^2+m^2        k        b        c=b+k        n^2+a^2+b^2
1        4        16        17        1        8        9        81
2        5        25        29        1        14        15        225
4        5        25        41        1        20        21        441
1        6        36        37        1        18        19        361
2        6        36        40        2        9        11        121
3        6        36        45        1        22        23        529
3        6        36        45        5        2        7        49

若只限定①k是m^2的约数,n=m-k,又无形中漏掉相当多四元数组(穷举表中的25组只剩9组了):
n        a=m        m^2        n^2+m^2        k        b        c=b+k        n^2+a^2+b^2
1        2        4        5        1        2        3        9
2        3        9        13        1        6        7        49
2        4        16        20        2        4        6        36
3        4        16        25        1        12        13        169
4        5        25        41        1        20        21        441
2        6        36        40        4        3        7        49
3        6        36        45        3        6        9        81
4        6        36        52        2        12        14        196
5        6        36        61        1        30        31        961
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-29 20:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-30 05:19 编辑
creasson 发表于 2021-11-29 10:49
那就再来一个解:

对于\( x^2 + y^2 + z^2 = w^2\),它的整数通解是:


令12楼四元数组中的t=0,变成三元通式:
对于x2+y2=w2,它的整数通解是:
x=(u-s^2)*(u+s^2)=u^2-s^4
y=2u*s^2
w=u^2+s^4

x=(s^2-u)*(s^2+u)=s^4-u^2
y=2u*s^2
w=-(u^2+s^4)

x^2=(u^2-s^4)^2=u^4-2u^2*s^4+s^8
y^2=4u^2*s^4
x^2+y^2=u^4-2u^2*s^4+s^8+4u^2*s^4=u^4+2u^2*s^4+s^8
w^2=u^4+2u^2*s^4+s^8
x^2+y^2=w^2
或后式子与此完全相同。

若令s^2=t,则三元通式变成
x=t^2-u^2
y=2u*t
w=u^2+t^2
该三元通式就是勾股数通项公式。

三元通式
x=u^2-s^4
y=2u*s^2
w=u^2+s^4
因限定x是一个平方数与一个四次方数之差,价值不大。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-29 21:05 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2021-11-29 20:23
令12楼四元数组中的t=0,变成三元通式:
对于x2+y2=w2,它的整数通解是:
x=(u-s^2)*(u+s^2)=u^2-s^4

n^2+a^2+b^2=C^2;通式全部解公式
n=n,
a=m,
b=[1/(2K)](m^2-K^2+n^2)
C=b+k;
其中m、n、K、均为正整数,2k能被m^2+n^2-K^2整除。
请老师审核一下,谢谢老师!

点评

请注意:这里的k与K不再是同一个变量了!  发表于 2021-11-30 05:05
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-30 06:10 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2021-11-29 20:23
令12楼四元数组中的t=0,变成三元通式:
对于x2+y2=w2,它的整数通解是:
x=(u-s^2)*(u+s^2)=u^2-s^4 ...


n^2+a^2+b^2=C^2;通式全部解公式
n=n,
a=m,
b=[1/(2K)](m^2-K^2+n^2)
C=b+k;
其中m、n、K、均为正整数,2k能被m^2+n^2-K^2整除。
请老师审核一下,谢谢老师!
杨老师,早上好!
我今天早上检验了一下程中永的公式,k就是同一个变量,这个公式是全部解。

点评

该式包括不了2,3,6,7和2,5,14,15等四元毕达哥拉斯数组, 因为用b=[1/(2K)](m^2-K^2+n^2)求不出6和14等数字。  发表于 2021-11-30 08:59
这么说“2k能被m^2+n^2-K^2整除”又是一个不定方程?  发表于 2021-11-30 07:57
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-30 07:58 | 显示全部楼层
3,4 5是一组人人皆知的勾股数,下一组是5,12,13;
能不能将勾股数中的3数作为四元毕达哥拉斯数的abc,求d呢?

查四元数组表,仅有3,4,12,13;5,12,84,85这样的数组。
3^2+4^2=5^2;5^2+5^2=50不是完全平方数,故不存在四元毕达哥拉斯数d^2=3^2+4^2+5^2;
同理5^2+12^2+13^2=2*13^2不是完全平方数,不存在四元毕达哥拉斯数d^2=5^2+12^2+13^2;……

然而以两直角边分别等于3和4的直角三角形的斜边(长5)为另一个直角三角形的一条直角边,
以长度等于12的一条垂线为另一直角边,可得到第2个斜边长度是整数13的直角三角形;
再以13和84为两直角边,可得到第3个斜边长是整数(85)的直角三角形;
继以85和132为两直角边,可得到第4个斜边长是整数(157)的直角三角形;
续以157和12324为两直角边,可得到第4个斜边长是整数(12325)的直角三角形;……
(第4步也可以85和3612位两直角边得到一个斜边长3613的直角三角形)

如此延伸下去,可得到一颗毕达哥拉斯树;
第2个直角三角形的第2条直角边可放在第1个直角三角形斜边的左端或右端,因而可得2个不同的树形(图形);
第3个直角三角形的第2条直角边可放在第2个直角三角形斜边的左端或右端,因而可得4个不同的树形(图形);
第4个直角三角形的第2条直角边可放在第3个直角三角形斜边的左端或右端,因而可得8个不同的树形(图形);
……
再加上第1个直角三角形也有几种不同的摆放方式,因而可得一系列不同的毕达哥拉斯树。
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-11 11:59 , Processed in 0.104883 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表