n^2+a^2+b^2=C^2；通式全部解公式

费尔马1 · 发表于 2021-11-29 06:54

creasson 发表于 2021-11-28 21:13
一般地，方程：
\[x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = {y^2}\]

老师的这个公式，思路很好！方程本身是成立的，如果不考虑负数。赞！

creasson · 发表于 2021-11-29 10:49

那就再来一个解：

对于\( x^2 + y^2 + z^2 = w^2\)，它的整数通解是：
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = (u - {s^2} - {t^2})(u + {s^2} + {t^2}) \\
y = 2u(s - t)(s + t) \\
z = 4ust \\
w = {u^2} + {s^4} + 2{s^2}{t^2} + {t^4} \\
\end{array} \right. \text{或 }\left\{ \begin{array}{l}
x = ({s^2} + {t^2} - u)({s^2} + {t^2} + u) \\
y = 2u(s - t)(s + t) \\
z = 4ust \\
w = - ({u^2} + {s^4} + 2{s^2}{t^2} + {t^4}) \\
\end{array} \right.\]

creasson · 发表于 2021-11-29 11:15

对于\(x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = s^2\), 它的整数通解是：
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = - ({a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2} - d)({a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2} + d) \\
y = 2({a^2} + {b^2} - c)({a^2} + {b^2} + c)d \\
z = 4(a - b)(a + b)cd \\
w = 8abcd \\
s = {a^8} + 4{a^6}{b^2} + 6{a^4}{b^4} + 4{a^2}{b^6} + {b^8} + 2{a^4}{c^2} + 4{a^2}{b^2}{c^2} + 2{b^4}{c^2} + {c^4} + {d^2} \\
\end{array} \right.\]
或
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = ({a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2} - d)({a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2} + d) \\
y = 2({a^2} + {b^2} - c)({a^2} + {b^2} + c)d \\
z = 4(a - b)(a + b)cd \\
w = 8abcd \\
s = - ({a^8} + 4{a^6}{b^2} + 6{a^4}{b^4} + 4{a^2}{b^6} + {b^8} + 2{a^4}{c^2} + 4{a^2}{b^2}{c^2} + 2{b^4}{c^2} + {c^4} + {d^2}) \\
\end{array} \right.\]

费尔马1 · 发表于 2021-11-29 12:25

creasson 发表于 2021-11-29 11:15
对于\(x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = s^2\), 它的整数通解是：
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = - ({a^4} + ...

感谢老师关注。老师的通解公式很好！(若不考虑负数)。总之，您的解题方法很好啊。负整数也是整数。赞！

yangchuanju · 发表于 2021-11-29 13:15

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-29 14:16 编辑

对程中永的通式公式条件进行了一点粗略探讨，草拟一稿，献丑了！

令n=1-5，a=m=2-6，k是m^2和n^2+m^2的约数，b、c代入相应公式求出，
再求出n^2+a^2+b^2和c^2-nab平方和（皆等于0，帖子中不再显示），穷举计算表如下：
n a=m m^2 n^2+m^2 k b c=b+k n^2+a^2+b^2
1 2 4 5 1 2 3 9
1 2 4 5 2 0.25 2.25 5.06
1 2 4 5 4 -1.38 2.63 6.89
1 2 4 5 5 -2 3 9
1 3 9 10 1 4.50 5.50 30.25
1 3 9 10 3 0.17 3.17 10.03
1 3 9 10 9 -3.94 5.06 25.56
1 3 9 10 2 1.50 3.50 12.25
1 3 9 10 5 -1.50 3.50 12.25
1 3 9 10 10 -4.50 5.50 30.25
2 3 9 13 1 6 7 49
2 3 9 13 3 0.67 3.67 13.44
2 3 9 13 9 -3.78 5.22 27.27
2 3 9 13 13 -6 7 49
1 4 16 17 1 8 9 81
1 4 16 17 2 3.25 5.25 27.56
1 4 16 17 4 0.13 4.13 17.02
1 4 16 17 8 -2.94 5.06 25.63
1 4 16 17 16 -7.47 8.53 72.78
1 4 16 17 17 -8 9 81
2 4 16 20 1 9.5 10.5 110.25
2 4 16 20 2 4 6 36
2 4 16 20 4 0.50 4.50 20.25
2 4 16 20 8 -2.75 5.25 27.56
2 4 16 20 16 -7.38 8.63 74.39
2 4 16 20 5 -0.50 4.50 20.25
2 4 16 20 10 -4 6 36
2 4 16 20 20 -9.50 10.50 110.25
3 4 16 25 1 12 13 169
3 4 16 25 2 5.25 7.25 52.56
3 4 16 25 4 1.13 5.13 26.27
3 4 16 25 8 -2.44 5.56 30.94
3 4 16 25 16 -7.22 8.78 77.11
3 4 16 25 5 0 5 25
3 4 16 25 25 -12 13 169
1 5 25 26 1 12.50 13.50 182.25
1 5 25 26 2 5.50 7.50 56.25
1 5 25 26 5 0.10 5.10 26.01
1 5 25 26 25 -11.98 13.02 169.52
1 5 25 26 13 -5.50 7.50 56.25
1 5 25 26 26 -12.50 13.50 182.25
2 5 25 29 1 14 15 225
2 5 25 29 5 0.40 5.40 29.16
2 5 25 29 25 -11.92 13.08 171.09
2 5 25 29 29 -14 15 225
3 5 25 34 1 16.50 17.50 306.25
3 5 25 34 5 0.90 5.90 34.81
3 5 25 34 25 -11.82 13.18 173.71
3 5 25 34 2 7.50 9.50 90.25
3 5 25 34 17 -7.50 9.50 90.25
3 5 25 34 34 -16.50 17.50 306.25
4 5 25 41 1 20 21 441
4 5 25 41 5 1.60 6.60 43.56
4 5 25 41 25 -11.68 13.32 177.42
4 5 25 41 41 -20 21 441
1 6 36 37 1 18 19 361
1 6 36 37 2 8.25 10.25 105.06
1 6 36 37 3 4.67 7.67 58.78
1 6 36 37 4 2.63 6.63 43.89
1 6 36 37 6 0.08 6.08 37.01
1 6 36 37 9 -2.44 6.56 42.98
1 6 36 37 12 -4.46 7.54 56.88
1 6 36 37 18 -7.97 10.03 100.56
1 6 36 37 36 -17.49 18.51 342.76
1 6 36 37 37 -18 19 361
2 6 36 40 1 19.50 20.50 420.25
2 6 36 40 2 9 11 121
2 6 36 40 3 5.17 8.17 66.69
2 6 36 40 4 3 7 49
2 6 36 40 6 0.33 6.33 40.11
2 6 36 40 9 -2.28 6.72 45.19
2 6 36 40 12 -4.33 7.67 58.78
2 6 36 40 18 -7.89 10.11 102.23
2 6 36 40 36 -17.44 18.56 344.31
3 6 36 45 1 22 23 529
3 6 36 45 2 10.25 12.25 150.06
3 6 36 45 3 6 9 81
3 6 36 45 4 3.63 7.63 58.14
3 6 36 45 6 0.75 6.75 45.56
3 6 36 45 9 -2 7 49
3 6 36 45 12 -4.13 7.88 62.02
3 6 36 45 18 -7.75 10.25 105.06
3 6 36 45 36 -17.38 18.63 346.89
3 6 36 45 5 2 7 49
3 6 36 45 15 -6 9 81
3 6 36 45 45 -22 23 529
4 6 36 52 1 25.50 26.50 702.25
4 6 36 52 2 12 14 196
4 6 36 52 3 7.17 10.17 103.36
4 6 36 52 4 4.50 8.50 72.25
4 6 36 52 6 1.33 7.33 53.78
4 6 36 52 9 -1.61 7.39 54.60
4 6 36 52 12 -3.83 8.17 66.69
4 6 36 52 18 -7.56 10.44 109.09
4 6 36 52 36 -17.28 18.72 350.52
4 6 36 52 13 -4.50 8.50 72.25
4 6 36 52 26 -12 14 196
4 6 36 52 52 -25.50 26.50 702.25
5 6 36 61 1 30 31 961
5 6 36 61 2 14.25 16.25 264.06
5 6 36 61 3 8.67 11.67 136.11
5 6 36 61 4 5.63 9.63 92.64
5 6 36 61 6 2.08 8.08 65.34
5 6 36 61 9 -1.11 7.89 62.23
5 6 36 61 12 -3.46 8.54 72.96
5 6 36 61 18 -7.31 10.69 114.37
5 6 36 61 36 -17.15 18.85 355.22
5 6 36 61 61 -30 31 961
……

yangchuanju · 发表于 2021-11-29 13:17

只要其中b、c都是正整数的穷举表变为：
n a=m m^2 n^2+m^2 k b c=b+k n^2+a^2+b^2
1 2 4 5 1 2 3 9
2 3 9 13 1 6 7 49
1 4 16 17 1 8 9 81
2 4 16 20 2 4 6 36
3 4 16 25 1 12 13 169
2 5 25 29 1 14 15 225
4 5 25 41 1 20 21 441
1 6 36 37 1 18 19 361
2 6 36 40 2 9 11 121
2 6 36 40 4 3 7 49
3 6 36 45 1 22 23 529
3 6 36 45 3 6 9 81
3 6 36 45 5 2 7 49
4 6 36 52 2 12 14 196
5 6 36 61 1 30 31 961
从表中可以看的：k必须同时是m^2和n^2+m^2的约数才可以；
但k同时是m^2和n^2+m^2的约数并不是四元数组形成的充分条件，以下各行的k同时是m^2和n^2+m^2的约数，都行不成四元数组：
n a=m m^2 n^2+m^2 k b c=b+k n^2+a^2+b^2
1 3 9 10 1 4.50 5.50 30.25
2 4 16 20 1 9.50 10.50 110.25
1 5 25 26 1 12.50 13.50 182.25
3 5 25 34 1 16.50 17.50 306.25
2 6 36 40 1 19.50 20.50 420.25
4 6 36 52 1 25.50 26.50 702.25
4 6 36 52 4 4.50 8.50 72.25

再考虑n=m-k或k=m-n的限制条件，能够形成四元数组的不一定满足这一条件，该条件好似多余：
n a=m m^2 n^2+m^2 k b c=b+k n^2+a^2+b^2
1 4 16 17 1 8 9 81
2 5 25 29 1 14 15 225
4 5 25 41 1 20 21 441
1 6 36 37 1 18 19 361
2 6 36 40 2 9 11 121
3 6 36 45 1 22 23 529
3 6 36 45 5 2 7 49

若只限定①k是m^2的约数，n=m-k，又无形中漏掉相当多四元数组（穷举表中的25组只剩9组了）：
n a=m m^2 n^2+m^2 k b c=b+k n^2+a^2+b^2
1 2 4 5 1 2 3 9
2 3 9 13 1 6 7 49
2 4 16 20 2 4 6 36
3 4 16 25 1 12 13 169
4 5 25 41 1 20 21 441
2 6 36 40 4 3 7 49
3 6 36 45 3 6 9 81
4 6 36 52 2 12 14 196
5 6 36 61 1 30 31 961

yangchuanju · 发表于 2021-11-29 20:23

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-30 05:19 编辑

creasson 发表于 2021-11-29 10:49
那就再来一个解：

对于\( x^2 + y^2 + z^2 = w^2\)，它的整数通解是：

令12楼四元数组中的t=0，变成三元通式：
对于x2+y2=w2，它的整数通解是：
x=(u-s^2)*(u+s^2)=u^2-s^4
y=2u*s^2
w=u^2+s^4
或
x=(s^2-u)*(s^2+u)=s^4-u^2
y=2u*s^2
w=-(u^2+s^4)

x^2=(u^2-s^4)^2=u^4-2u^2*s^4+s^8
y^2=4u^2*s^4
x^2+y^2=u^4-2u^2*s^4+s^8+4u^2*s^4=u^4+2u^2*s^4+s^8
w^2=u^4+2u^2*s^4+s^8
x^2+y^2=w^2
或后式子与此完全相同。

若令s^2=t，则三元通式变成
x=t^2-u^2
y=2u*t
w=u^2+t^2
该三元通式就是勾股数通项公式。

三元通式
x=u^2-s^4
y=2u*s^2
w=u^2+s^4
因限定x是一个平方数与一个四次方数之差，价值不大。

费尔马1 · 发表于 2021-11-29 21:05

yangchuanju 发表于 2021-11-29 20:23
令12楼四元数组中的t=0，变成三元通式：
对于x2+y2=w2，它的整数通解是：
x=(u-s^2)*(u+s^2)=u^2-s^4

n^2+a^2+b^2=C^2；通式全部解公式
n=n，
a=m，
b=[1/(2K)](m^2-K^2+n^2)
C=b+k；
其中m、n、K、均为正整数，2k能被m^2+n^2-K^2整除。
请老师审核一下，谢谢老师！

费尔马1 · 发表于 2021-11-30 06:10

yangchuanju 发表于 2021-11-29 20:23
令12楼四元数组中的t=0，变成三元通式：
对于x2+y2=w2，它的整数通解是：
x=(u-s^2)*(u+s^2)=u^2-s^4 ...

n^2+a^2+b^2=C^2；通式全部解公式
n=n，
a=m，
b=[1/(2K)](m^2-K^2+n^2)
C=b+k；
其中m、n、K、均为正整数，2k能被m^2+n^2-K^2整除。
请老师审核一下，谢谢老师！
杨老师，早上好！
我今天早上检验了一下程中永的公式，k就是同一个变量，这个公式是全部解。

yangchuanju · 发表于 2021-11-30 07:58

3,4 5是一组人人皆知的勾股数，下一组是5,12,13；
能不能将勾股数中的3数作为四元毕达哥拉斯数的abc，求d呢？

查四元数组表，仅有3,4,12,13；5,12,84,85这样的数组。
3^2+4^2=5^2；5^2+5^2=50不是完全平方数，故不存在四元毕达哥拉斯数d^2=3^2+4^2+5^2；
同理5^2+12^2+13^2=2*13^2不是完全平方数，不存在四元毕达哥拉斯数d^2=5^2+12^2+13^2；……

然而以两直角边分别等于3和4的直角三角形的斜边（长5）为另一个直角三角形的一条直角边，
以长度等于12的一条垂线为另一直角边，可得到第2个斜边长度是整数13的直角三角形；
再以13和84为两直角边，可得到第3个斜边长是整数（85）的直角三角形；
继以85和132为两直角边，可得到第4个斜边长是整数（157）的直角三角形；
续以157和12324为两直角边，可得到第4个斜边长是整数（12325）的直角三角形；……
（第4步也可以85和3612位两直角边得到一个斜边长3613的直角三角形）

如此延伸下去，可得到一颗毕达哥拉斯树；
第2个直角三角形的第2条直角边可放在第1个直角三角形斜边的左端或右端，因而可得2个不同的树形（图形）；
第3个直角三角形的第2条直角边可放在第2个直角三角形斜边的左端或右端，因而可得4个不同的树形（图形）；
第4个直角三角形的第2条直角边可放在第3个直角三角形斜边的左端或右端，因而可得8个不同的树形（图形）；
……
再加上第1个直角三角形也有几种不同的摆放方式，因而可得一系列不同的毕达哥拉斯树。

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