奇数双筛证哥猜

cuikun-186

崔坤给出的:r2(N^2)≥N

感谢杨老师的讨论，大道至简亘古不变！

lusishun

按奇数筛，出现重复筛，筛完了3的倍数，再按9筛，就重复筛了

lusishun

lusishun 发表于 2021-12-1 02:57
按奇数筛，出现重复筛，筛完了3的倍数，再按9筛，就重复筛了

杨先生，对我的倍数含量筛法，还存在疑虑，自起炉灶，创新研究奇数筛法，可喜可贺。

cuikun-186

运用双筛法证明：每个大于等于6的偶数都是2个奇素数之和

摘要：根据古老的埃氏筛法推出双筛法，对所得真值公式：r2(N)=(N/2)∏mr进行下限值估计，从而证明了r2(N)≧[N/(lnN)^2],即证明了每个大于等于6的偶数都是2个奇素数之和。
关键词：埃氏筛法，双筛法，素数定理，共轭数列,真实剩余比
The double screen method is used to prove that:
Every even number greater than or equal to 6 is the sum of two odd primes
Abstract: the double sieve method is derived from the ancient Ehrlich sieve method, and the lower limit of the truth formula: r2 (N) = (N / 2) Πmr is estimated. It is proved that r2 (N) ≥ [N / (lnN) ^ 2],
That is, it is proved that every even number greater than or equal to 6 is the sum of two odd primes
Key words: Ehrlich sieve method, double sieve method, prime theorem, conjugate sequence,True residual ratio
证明：
对于共轭互逆数列A、B:
A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝
B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝
双筛法的步骤：
首先给出：偶数N=2n+4，建立如下互逆数列：
首项为1，末项为N-1,公差为2的等差数列A
再给出首项为N-1,末项为1，公差为-2的等差数列B
显然N=A+B
根据埃氏筛法获得奇素数集合P：
｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<N^1/2
为了获得偶数N的(1+1)表法数，按照双筛法进行分步操作：
第1步：将互逆数列用3双筛后得到真实剩余比m1
第2步：将余下的互逆数列用5双筛后得到真实剩余比m2
第3步：将余下的互逆数列用7双筛后得到真实剩余比m3
…
依次类推到：
第r步：将余下的互逆数列用Pr双筛后得到真实剩余比mr
这样就完成了对偶数N的求双筛法（1+1）表法数，根据乘法原理有：
r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr
即r2(N)=(N/2)∏mr
例如：
[√70]=8，｛Pr｝={1,3,5,7},
3|/70，m1=13/35
5|70, m2=10/13
7|70, m3=10/10
根据真值公式得：
r2(70)
=(70/2)*m1*m2*m3
=35*13/35*10/13*10/10
=10
r2(70)=10

数学分析：双筛法的逻辑和r2(N)下限值：双筛法本质上：
第一步:先对A数列筛选，根据素数定理，A中至少有[N/lnN]个奇素数，筛子是1/lnN，
即此时的共轭互逆数列AB中至少有[N/lnN]个奇素数
第二步:再对B数列进行筛选，筛子是相同的1/lnN，
根据乘法原理：推得共轭数列AB中至少有:r2（N）≥[N/（lnN）^2]个奇素数。
例如：70
第一步:先对A数列筛选，A中至少有[N/lnN]=[70/ln70]=16个奇素数,π(70)=19,
即此时的共轭互逆数列AB中至少有[N/lnN]=[70/ln70]=16个奇素数。
（见图8）

第二步:再对B数列进行筛选，筛子是相同的1/ln70,由此推得共轭数列AB中至少有:
r2（70）≥[70/（ln70）^2]=3个奇素数,r2(70)=10
（见图9）
结论:r2（N）≥[N/（lnN）^2]个奇素数。
参考文献：
[1]华罗庚，《数论导引》，科学出版社，1957-07
[2]王元，《谈谈素数》，哈尔滨工业大学出版社，2011-3
[3]李文林，《数学瑰宝——历史文献精选》，科学出版社，1998 年，第 368 页
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cuikun-186

根据高斯的原创思想，偶数越大，素数的个数越准确。

所以当偶数N越大时，其下限值肯定越大。

崔坤给出的2个下限值公式：

【1】公式：r2（N^2）≥N，公式简洁，无需计算，一目了然！其来源于r2（N^x）是增函数定理的推论。

【2】公式：r2（N）≥[N/（lnN）^2]，理论上可以计算任意大的偶数的（1+1）表法数下限值。

其来源于双筛法的真实剩余比真值公式r2(N)=(N/2)∏mr，通过数学分析根据素数定理得到的。

14楼给出了详尽的论证与验证。

比较【1】、【2】式我们可以发现两者各有利弊，

从数据上回答哥猜问题，其显然足以，【2】式比【1】式数据更接近真值。

cuikun-186

【1】公式：r2（N^2）≥N简洁，无需计算，一目了然！其来源于r2（N^x）是增函数定理的推论。

例如：

  r2（10^2）=12≥10

r2（10^4）=254≥10^2

r2（10^6）=10804≥10^3

r2（10^8）=582800≥10^4

r2（10^10）=36400976≥10^5

r2（10^12）=2487444740≥10^6

r2（10^14）=180701260776≥10^7


【2】公式：r2（N）≥[N/（lnN）^2]，理论上可以计算任意大的偶数的（1+1）表法数下限值。


例如：

  r2（10^2）=12≥[10^2/（ln10^2）^2]=4

r2（10^4）=254≥[10^4/（ln10^4）^2]=117

r2（10^6）=10804≥[10^6/（ln10^6）^2]=5239

r2（10^8）=582800≥[10^8/（ln10^8）^2]=294705

r2（10^10）=36400976≥[10^10/（ln10^10）^2]=819130

r2（10^12）=2487444740≥[10^12/（ln10^12）^2]=1309803451


r2（10^14）=180701260776≥[10^14/（ln10^14）^2]=96230457659


通过具体实例我们不难发现：

【2】公式：r2（N）≥[N/（lnN）^2]更接近于真值

【1】公式：r2（N^2）≥N简洁，无需计算

yangchuanju

前曾通过对连续偶数数列分别用各个素数筛分时产生的误差进行过分析，得出：
单用素数3进行筛分，误差循环节长3，误差范围-0.667到0.667，误差最大值是2/3；
单用素数5进行筛分，误差循环节长5，误差范围-0.8到0.8，误差最大值是4/5；
单用素数7进行筛分，误差循环节长7，误差范围-0.857143到0.857143，误差最大值是6/7，(循环节857142)；
……
推知单用素数p进行筛分，误差循环节长p，误差范围-(p-1)/p到(p-1)/p，误差最大值是(p-1)/p。

同用素数3和5进行筛分，误差循环节长15，误差范围-1.6到1.6；
同用素数3和7进行筛分，误差循环节长21，误差范围-0.952381到0.952381；
同用素数5和7进行筛分，误差循环节长35，误差范围-1.7142857到1.7142857；
同用素数3,5和7进行筛分，误差循环节长105，误差范围-2.285714到2.285714；……

用单一素数筛分，最大误差不超过1，可按1估算；
用两个素数共同筛分，最大误差不超过2，可按2估算；
用三个素数共同筛分，最大误差不超过3，可按3估算；
……
用2N平方根以内所有素数共同筛分，最终误差不会超过2N平方根内的素数个数，可按2N平方根内素数个数（2N）^0.5/ln((2N)^0.5)估算；

yangchuanju

2N        2N平方根内素数个数        2N平方根除2减2
10        3        0
100        4        3
1000        9        14
10000        22        48
100000        55        156
1000000        145        498
10000000        392        1579
100000000        1086        4998
1000000000        3052        15809
10000000000        8686        49998
1E+11        24970        158112
1E+12        72382        499998
1E+13        211286        1581137
1E+14        620421        4999998
1E+15        1831146        15811386
1E+16        5428681        49999998
……
当2N大于1000时，“2N平方根内素数个数”小于“2N平方根除2减2”甚多，
即便用奇数双筛不能抵补筛分过程中的负偏差，从“2N平方根除2减2”之中再减去数值等于“2N内素数个数”之差，仍然是大于1的，哥德巴赫猜想成立是一定成立的。
对于1000以内偶数可逐个验证，当偶数大于等于6时，它们的哥猜数都是大于等于1的。

yangchuanju

特别声明：
这里给出的哥猜估算值，不是用于计算哥猜数精确值的，给出的计算式也不是哥猜数下限值计算式，只是说明这些计算结果总是大于1的，即哥猜是成立的！

yangchuanju

误差大小再分析
用素数2进行第一步筛分，不产生误差；
用素数3进行第二步筛分，出现误差，误差在±0.667之间；
接着用素数5进行第三步筛分，误差增大到±1.60；
再用素数7进行第四步筛分，误差增大到±2.286；
今又用素数11进行第五步筛分，经计算误差增大到了±5.662，比3,5,7的总误差±2.286大到约2.5倍；
而先前的预计误差是不超过4，继续筛下去误差不好估计。

前曾对偶数19944在各次筛分过程中的误差做过详细计算，
19944用2筛，筛掉一半，仅剩奇数对；
19944是3的倍数，用3筛，只筛掉1/3，余6648对，不产生误差；
19944不是5的倍数，用5筛，筛掉2/5，剩余计算值3988.8，实剩余3990，误差（计算值-实际值）-1.2；
19944不是7的倍数，用7筛，筛掉2/7，剩余计算值2849.143，实剩余2850，误差（计算值-实际值）-0.857；
19944不是11的倍数，用11筛，筛掉2/11，剩余计算值2331.117，实剩余2330，误差（计算值-实际值）+1.117；
19944不是13的倍数，用13筛，筛掉2/13，剩余计算值1972.484，实剩余1972，误差（计算值-实际值）+0.484；
19944不是17的倍数，用17筛，筛掉2/17，剩余计算值1740.427，实剩余1744，误差（计算值-实际值）-3.573；
19944不是19的倍数，用19筛，筛掉2/19，剩余计算值1557.224，实剩余1766，误差（计算值-实际值）+1.244；
19944不是23的倍数，用23筛，筛掉2/23，剩余计算值1421.813，实剩余1428，误差（计算值-实际值）-6.187；
19944不是29的倍数，用29筛，筛掉2/29，剩余计算值1323.757，实剩余1320，误差（计算值-实际值）+3.757；
19944不是31的倍数，用31筛，筛掉2/31，剩余计算值1238.353，实剩余1226，误差（计算值-实际值）+12.353；
19944不是37的倍数，用37筛，筛掉2/37，剩余计算值1171.415，实剩余1154，误差（计算值-实际值）+17.415；
……
筛分至最后一个素数139（第33个奇素数）时误差是-24.077。

其中用第10号奇素数31筛分时的误差突然增大许多（由3.757增大到+12.353），至第11号奇素数37筛分时再次增大到+17.415；
37以后误差可能有所减少（未具体计算），最终到达139时误差变成-24.077。

这里的误差是针对偶数19944的，不是用3-193的33个连续奇素数筛对139# = 10^55以内全部偶数进行筛分产生的最大误差，
最大误差有可能达到139。
不妨假定所用的最大奇素数筛是p的话，筛分p#以内偶数产生的最大误差就是p，不再是素数p的编号了，
若如此，偶数2N平方根内的最大素数接近于2N的平方根，误差将与用连续奇数筛分后的连乘积“2N平方根除2减2”平起平坐，大致相当，前面的误差估算不正确。