求下列三元丢番都方程的正整数解：a／(b+c)+b／(a+c)+c／(a+b)=4

天山草

Bremmer 和 MacLeod 还研究了如果我们把等式右边的4换成其它的东西会怎么样。如果你觉得我们的解太大了，那是因为你还没见识到把4换成178的结果。那就不仅仅是80位了，你需要398,605,460位数。对，你没看错，那个解就是这么大。如果你试试 896，位数就飙升到数万亿位了。没错，数万亿位的解，属于这个看上去人畜无害的方程 \(a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b)=896 \)。

       上述的丢番图方程就是一个系数很小但整数解位数巨大的骇人案例。它不仅仅是令人生畏的符号，而是一项意义深远的研究。
希尔伯特第十大问题的否定结论意味着，随着系数逐渐增大，解的增长将变为一个不可计算的方程——因为如果它是可计算的，那我们就能得到一个解开丢番图方程的简单算法，而事实上并没有，无论是简单的还是复杂的。
这项研究展现了与那个问题的某种联系：4->80位，178->数亿位，896->数万亿位，让我们瞥见那个怪异的、不可计算的函数的一貌。稍稍把我们的方程改动一下，解就会迅速增长到盖过我们这个“可怜的”、“渺小的”宇宙的任何事物。
何其美妙、何其揶揄的小小方程！

天山草

我的问题是，第 2 轮迭代怎么做法？(每迭代一次  的绝对值都会增大) 网上那篇文章对此没有讲清楚。不知哪位大侠知道？

天山草

【数学研发网站】里的 mathe 大师给出了迭代的方法，见下图。

首先求出椭圆曲线上的一个整点 \(P (-100, 260)\)，这算是第 1 次迭代。 \(P\) 点关于实轴的镜像点为  \( \overline{P}\)。

从 \(P\) 点作椭圆曲线的切线交椭圆曲线右上支于 \(P1\) 点。 \(P1\) 点关于实轴的镜像点为 \( \overline{P1}\)，这是第 2 次迭代。

连接  \( \overline{P}\) 与  \(P1\) 点交椭圆曲线于  \(P2\) 点， \(P2\) 点的镜像是 \( \overline{P2}\)，这是第 3 次迭代。

连接  \(P\) 与  \(P2\) 点交椭圆曲线于  \(P3\) 点， \(P3\) 点的镜像是 \( \overline{P3}\)，这是第 4 次迭代。

天山草

九次迭代方法：



将 \(P8\) 点的镜像坐标
\( x =\frac{-66202368404229585264842409883878874707453676645038225}{13514400292716288512070907945002943352692578000406921}\);
\(  y =\frac{-58800835157308083307376751727347181330085672850296730351871748713307988700611210}{1571068668597978434556364707291896268838086945430031322196754390420280407346469}\)。
代入 \( a = (56 - x - y)/(56 - 14 x)\);
  \( b = (56 - x+ y)/(56 - 14 x)\);
\( c = (-28 - 6 x)/(28 - 7 x) \) 中，得到
\( a = \frac{652194680638776317370751188686261401138670498641722947}{826345176768069653846031682295795260307016241032351542}\);
\( b =\frac{72627067629030455550043880234643101653454184810448427}{385489402115598358968822193146517732601759618776822382}\);
\( c = \frac{18811002229321433251069036843190834369329875858835562}{841819787025663175191882291647234536827567920526661363}\)。
它们分母的最小公倍数为 \(195725546580804863527010379187516702463973843196699016314931210363268850137105614\)。
把 \(a, \enspace  b, \enspace  c \) 分别乘以最小公倍数，就得到最终的结果：
\( a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999;\)
\(b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579;\)
\(c = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036。\)

天山草

用 mathematica 写一个计算原方程所有解的程序如下。只算了从小到大的前三组正整数解。

1. Clear["Global`*"];
   
2. px = 8836/25; py = 950716/125;
   
3. Do[w = Solve[{(y + (-1)^n 260)/(x + 100) == (y - py)/(x - px),
   
4.     y^2 == x^3 + 109 x^2 + 224 x}, {x, y}];
   
5. m = Part[w, 1];
   
6. px = Part[Part[m, 1], 2]; py = Part[Part[m, 2], 2];
   
7. a = (56 - px + py)/(56 - 14 px); b = (56 - px - py)/(56 - 14 px);
   
8. c = (-28 - 6 px)/(28 - 7 px);
   
9. k = LCM[Denominator[a], Denominator[b], Denominator[c]];
   
10. a = k a; b = k b; c = k c;
    
11. If[a > 0 && b > 0 && c > 0, Print["n = ", n]; Print["a = ", a];
    
12.    Print["b = ", b]; Print["c = ", c];] Clear[x, y];, {n, 2, 42}]

复制代码

运行结果如下：

1. n = 8
   
2. 
   
3. a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
   
4. b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
   
5. c = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036
   
6. 
   
7. n = 16
   
8. 
   
9. a = 1440354387400113353318275132419054375891245413681864837390427511212805748408072838847944629793120889446685643108530381465382074956451566809039119353657601240377236701038904980199109550001860607309184336719930229935342817546146083848277758428344831968440238907935894338978800768226766379
   
10. 
    
11. b = 9391500403903773267688655787670246245493629218171544262747638036518222364768797479813561509116827252710188014736501391120827705790025300419608858224262849244058466770043809014864245428958116544162335497194996709759345801074510016208346248254582570123358164225821298549533282498545808644
    
12. 
    
13. c = 1054210182683112310528012408530531909717229064191793536540847847817849001214642792626066010344383473173101972948978951703027097154519698536728956323881063669558925110120619283730835864056709609662983759100063333396875182094245046315497525532634764115913236450532733839386139526489824351
    
14. 
    
15. n = 42
    
16. 
    
17. a = 15453593309218940846207255865132613310776450115166437161515541658413531828588400557772731420460987706137029491033863210399196130330252915932012779241010815778785617708264564651145867876354705406946306475540773730502496058183399570826119375802616171105147320839349868276291026219814007049506148461451918729250823169813534824306463095992345931904104233809391771272321121758929488549431212466959033216285349200436512471245987390967598499606007879122810276916229858800789436888707844488513846048097093129617120399903120411979821029685809349594462294547510741368010379579750176314970250699227364950578663581497239660843832768290467755219851688586180014257437413015374031218327004559570623906428315174821174817432179940485392234212575235848833874133378123124340523717795011331908535629779429924179483728214494662931883633274923491027906607029813527218055338276841070812234948365216914682845244464809754190578935802060897063627220846539383345067008605419721714348481477780882239249117691695851959002887566984490411774473831811761705795095939539443091458534999791722281380264634316172204309348184521227518524588448812687570643547540047621969693813066210281372496482924358381907617081200370347600166303777060675118145295062430152376767671509939096301299823072997973205853712232488334610148222602647419067205800571100144228924764012888478757110388735298477249882209822146284487796157891048751431528026390794728224109606752426574920880273700061125573881264680865796667046184720767513409523201173802115553319085433982458772137460109597504774375920669837897880121704523872178439818568348176740267055509634742517225702578785925465191101510356982178184057955288652356039341768098314169871196352558095644129134696113697500722129535500400502127531801316262914876243453673660723752938404965989057078733388153481825535043691867763887742109840002244
    
18. 
    
19. b = 225154016517112977781036948256008938300203178330423577363453821036394761107680057568745628209195248523620195782466426407985215307025921866600858990606927336174889537531018446580713112825302066623162355086869328417402211408953756565342027652872537253617826530330784837338571463734871996499108516583290648763496513489183745733576708877087047371189412505717014331826142406003884899681843364642819684522813601476303079790279856327656223776004815820327753159755901868587896719861213720266764460310032696256605354111160107295291128043538323200422916078193961183140616030812370630564256817377233433528789971841979658793737967114669186555377771237485226841269607323166922316761422199345865999104815884491622547014936234709052023067922775032191916270243862878508060657067021931486974723180046708070927036318162808729432879113786424376189970820861538373191411543578985216279783091118151432408248753288507964544978529017501384067917969689186500193235465170699554467854161734696375451401526147038132103497722712434237765240417469026003900141380094963887277536680663339473495404280832277956459721398409188832206502884147198106952208672070217739002221072079359396085559259663544288599091559005944227248534623542597623064520350379930304929965204170913653510169778542349039374910308027821337246852975840961727328228254763203060674895250350545695000298534504920902849054401337272333498054840472621350454001742892929660367675291497608434201219153565223416767494379418507493309105107702570247029601616824210304509090382274068128665595252704806444774305191463838801795214144808202626528629558344536206661056959565750095641772947809946832113656333105504888842201552297169696803219554009606770704895946366921580738948138601485916793613132084870296310272512606742366208816635957211558863396821219822591454440442729419986877429924523309238064797884908179
    
20. 
    
21. c = 44461335629672512492703765883175586604271617966959372579405246316312635749738199775109810178104708707457198051230615821377304871559074000742368039859421360451446219358428556912551613268447055577075546308705355207675432824857482711021718385130587463540493155013085535756860845750238851692639161021024517886524036212139762029236463245295105027391367451888348670870408741211719607504937094603439646815018182825901652580649742456614698847261022885595461685161887958381609802685598412986417636090987167575772949267424224684536724902932223944768712498398205815659899970956077837279038128530901008278668933556282812304203744819571765335023040626696922076594110969151730408695242584377910242288683981295738931371487272741006895663592260930378015591408275619819882393176736343144067616932519826148309713147158706988600051832028664922598148770934499584030154416061448540824660162738136970731773312764840190126210608974771414980007148816299467771768997419448765761330711875516987247407438356175714309118555904515740423840289623467624875815358180134367295671020825468513244755783145700103316905246329313325502943931733599223271651712239125845402984818877286590277802960982778863144323433358637469683688834360044267722771070351136547068178839171882142976989614417695114955102446303728641753175503913077759878507833430128395224826879934144069171265044502339887369200465840860583880007153663136783858497137105830822652366608673840534971495675993245882416626862118582558385659522811755932651109573554484186740090013071423293846683669742213991618807138000493782173547896957291088164647943782010145181582548768571970911242213342278622698955569338623947887256312073204761339436465560502438654375446399926542663356453629893811734755642591222705407745522813593398800289828045627917654884172247174896298662497901305098949979750083457327969810933896151

复制代码

denglongshan

https://zhuanlan.zhihu.com/p/148865387知乎对代数几何的介绍