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第一，王宪钧著 数理逻辑引论[M] ]中讲到“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的；潜无穷论者否定实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的[1]。”这个实无穷观点中的“完成的”定语，违背“无穷是无有穷尽、无有终了事实”。所以，康托尔的“数学必须肯定实无穷”的意见不成立，ZFC形式公理中的“无穷集合存在公理”需要改写为“无穷集合是其元素个数趋向于 ，但永远无法构造完毕的想象性非正常集合”。
第二，对于现行教科书称N=｛0，1，2，3，……｝为自然数无穷集合的论述，也需要根据实践讨论它的来源于有穷集合的本质及其性质。首先，根据自然数的十进计数法可以提出如下的三个以有穷集合为项的无穷序列 ：
{0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},…… （1）
或{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
或{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
然后使用广义极限的方法，得到这三个无穷序列的趋向性极限是想象性的元素个数为+∞的无穷集合。由于符号+∞是华东师大《数学分析》上册1980年版80 页中讲的“非正常（或称广义）极限[3]”性质的“非正常实数”。序列（1）中各个集合的元素个数为无穷数列{n+1}，序列（2）中各个集合的元素个数为无穷数列{10n}，序列（3）中各个集合的元素个数为无穷数列 ，这三元素个数列的广义极限也是+∞，根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式,定值法， 与 型不定式定值法计算中都可以使用∞与0的取极限之前变数计算不定式的值。上述三个+∞ 表示的多少是不相同的：（2）式表示的比（1）式表示的元素个数多，（3）式表示的元素个数比（1）（2）式都多。康托尔把无穷集合元素看做定数，提出的无穷基数的做法违背事实；造成了正整数集合1，2，3，……与其平方得到的它的真子集1,4,9,……元素个数相等的做法是错误的，事实上，这两个集合的元素个数分别为： 。使用《微积分学教程》一卷第一分册中，整序变量中的不定式定值法，可以得到两者的比为： 这说明正整数集合1，2，3，……比其真子集1,4,9,……的元素个数多得多；对无穷集合一一对应法则进行不到底，不能使用“一一对应法则”得到无穷集合元素个数相等的的集合论，根据这个讨论，应当提出无穷自然数集合如下定义。
定义3：元素个数为有限理想自然数的正常集合叫做有穷自然数集合；若以有穷自然数集合为项的无穷序列的元素个数序列的趋向为包含所有自然数的元素个为非正常实数+∞的想象性自然数集合，则称：这样的元素个数为非正常实数+∞的含有所有自然数的，不可构造完毕的想象性质的理想性无穷性质的自然数集合；且称它为非正常集合。
根据这个定义，从文献[4]叙述了罗素悖伦来看，由于罗素没有提出无穷集合为非正常集合的概念，它的表达式 中的集合x表示的仅仅是他认为的正常集合，所以文献[4]中说道“所有正常集合组成的集合是不是正常集合”是无法判断[3]的罗素悖伦[4]。现在，根据上述定义3与自然数集合的构造过程就说明：“正常集合有无穷多；以所有正常集合为元素组成的集合是元素个数为+∞的非正常集合”，因此，罗素悖论就不存在了。此外，根据无穷集合不能 完毕的事实，康托尔无穷基数的术语不能提出，文献[4]中说的“康托尔悖论”也是不存在的。我们不需要为消除这两个悖论去建立ZFC形式语言集合论。总之，康托尔的“数学必须肯定实无穷”、“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体”的观点是违背实践事实的，必须取消的观点。
笔者还发现：“对无穷集合数学归纳法具有失效的性质”，例如：对自然数集合，可以根据“当自然数n 能被写出时，推出n+1也能被写出的性质”，应用数学归纳法得到所有自然数都能被写出的结论，但这个结论违背了所有自然数无结法被写出的事实，所以“数学归纳法失效”。类似地讨论还说明：有理数集合、实数集合都是元素个数为非正常实数+∞的想象性不可构造完毕的想象性质的非正常集合。现行教科书中“有理数集合与其真子集的自然数集合的有共同基数的元素个数相等”的说法不成立。
无穷集合之间的一一对应法则”进行不到底，想象性无穷集合的元素个数不是自然数，所以对无穷集合不能提出可数与否的术语，它们都是不可数的集合；只有有限集合的元素个数是有限自然数，才可以说是可数集合。闭区间[0,1]表示的理想实数集合也是不可数、不可列的集合，现行实变函数论教科书对这个集合可列或可数的证明无效，例如文献[4]叙述的证明中使用的无尽小数表示实数的错误做法，它的证明中使用的 是不是等于5的判断是进行不到底的、不可判断问题，反证法不能用。无尽循环小数0.999……是理想实数1的近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，……的简写，它不等于1，它的趋向性极限才是1；在准确到两位小数近似的意义下，区间[0,1]可以是0.00，0.01，，0.02，……0.99，1.00，的101个有理数的这个真正的可数集合；在准确到四位小数近似的意义下，区间[0,1]可以是0.0000，0.0001，，0.0002，……0.9999，1.0000，的10001个有理数的真正可数集合，……，可以是任意多位有尽位十进小数促成的可数集合，其趋向性极限是无穷集合，但极限性无穷集合不能构造完毕。这样就消除了文献[4]叙述的“连续统假设的大难题”。对无穷序列必须知道“它们既具有无限延续下去的性质，又具有永远延续不到底的性质”；这两个性质都是事实，两者之间相互依赖、相互斗争才使数学有了生命。
总之，数学理论是描述与研究现实数量大小及其关系的科学；数学理论的阐述，不能单靠形式逻辑，还需要使用：理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法进行。恩格斯的“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了[5]”的论述应当被尊重。 |
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发表于 2022-1-25 20:27