梅森素数的判定

太阳

1楼帖
梅森素数的判定
若合数Mp=2^p-1=m*n，m是较小的素数，则m≡1(mod p)； 若m≡1(mod p)，对于每一个小于√ (Mp)的素数m，m不整除Mp，则Mp=2^p-1是素数。
若m≡1(mod p)，p＜m≤√ (Mp)不存在素数m，则Mp=2^p-1是素数。
根据费马小定理，(2，p)=1，2^(p-1) ≡1(mod p)，则2^p≡2(mod p)，则2^p-1≡1(mod p)。
也就是说小于p的素数都不能整除Mp=2^p-1，所以只用验证p＜m≤√ (Mp)就行了。

例如：1、M11=2^11-1=23×89，23≡1(mod 11)，其它梅森合数自已验证。
2、M13=2^13-1=8191是一个素数。
证明：设m=13k+1，13k+1<√ (8191)，k=1、2、3、4、5、6，k=4或6时m是素数，m=13k+1=53或m=13k+1=79，但是53不整除8191，79 不整除8191，所以8191是一个素数。
3、M7=2^7-1=127是一个素数
设m=7k+1，7k+1＜√ (127)，k=1，m=7k+1=8不是素数，也就是说p＜m≤√ (Mp)内没有素数m，所以M7=2^7-1=127是一个素数。

原文来自网络，作者和出处不详。原文为图片，译者根据原文进行了改写。
2^p-1确定为合数，作者如何确定:2^p-1必定含有kp+1素数因子？

yangchuanju

太阳 发表于 2022-2-2 12:41
1楼帖
梅森素数的判定
若合数Mp=2^p-1=m*n，m是较小的素数，则m≡1(mod p)； 若m≡1(mod p)，对于每一个 ...

“2^p-1确定为合数，作者如何确定:2^p-1必定含有kp+1素数因子？”

所有的梅森数均可表示成2kp+1或几个2kp+1的连乘积，亦或表示成k'p+1或几个k'p+1的连乘积，连这一点梅森数的基本性质都不清楚吗？

太阳

2^p-1，(整数m＞0，素数p＞0，kp+1)，梅森数的基本性质，求证：(2^p-1)/(kp+1)=m，是否能给出证明吗？

太阳

yangchuanju 发表于 2022-2-2 14:57
“2^p-1确定为合数，作者如何确定:2^p-1必定含有kp+1素数因子？”

所有的梅森数均可表示成2kp+1或几个 ...

2^p-1，(整数m＞0，素数p＞0，kp+1)，梅森数的基本性质，求证：(2^p-1)/(kp+1)=m，是否能给出证明吗？

yangchuanju

太阳 发表于 2022-2-2 15:34
2^p-1，(整数m＞0，素数p＞0，kp+1)，梅森数的基本性质，求证：(2^p-1)/(kp+1)=m，是否能给出证明吗？

先生不是刚刚说过：
“\(素数乘积形式:2^a-1＝\left( ac_1+1\right)\times\left( ac_2+1\right)\times\left( ac_3+1\right)\times\cdots\times\left( ac_n+1\right)\)
数学发现2^a-1素数乘积形式”，

为何还要别人证明“(2^p-1)/(kp+1)=m”？

yangchuanju

请太阳先生亲自证明一下：
2^a-1素数乘积形式！

太阳

yangchuanju 发表于 2022-2-2 15:42
请太阳先生亲自证明一下：
2^a-1素数乘积形式！

\(素数乘积形式:2^a-1＝\left( ac_1+1\right)\times\left( ac_2+1\right)\times\left( ac_3+1\right)\times\cdots\times\left( ac_n+1\right)\)
我证明不了，不知道怎么证明

太阳

\(素数乘积形式:2^a-1＝\left( ac_1+1\right)\times\left( ac_2+1\right)\times\left( ac_3+1\right)\times\cdots\times\left( ac_n+1\right)\)
yangchuanju：是否能给出证明？素数乘积形式

yangchuanju

太阳 发表于 2022-2-2 15:48
\(素数乘积形式:2^a-1＝\left( ac_1+1\right)\times\left( ac_2+1\right)\times\left( ac_3+1\right)\tim ...

梅森数有一条重要性质，“如果p是一个奇素数，那么梅森数Mp=2^p-1因子均如2kp+1，其中k是一个正整数。”
——美Kenneth  H.  Rosen 《初等数论及其应用》定理7.12

该定理的逆命题不成立：如果2kp+1能够整除2^p-1，则p不一定是素数。

请看：美Kenneth  H.  Rosen 《初等数论及其应用》定理7.12

yangchuanju

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