智力游戏赛题之妙解

yangchuanju

分析
A的第一因子周期t的系数=B指*C指*2，第二因子周期k的系数=B指*C指；
B的第一因子周期t的系数=A指*C指*2，第二因子周期k的系数=A指*C指；
C的第一因子周期t的系数=A指*B指*2，第二因子周期k的系数=A指*B指；

A的第一因子非周期数=B指*6674，第二因子非周期数=B指3872；
B的第一因子非周期数=A指*6674，第二因子非周期数=A指3872；
C的第一因子非周期数=(A指*B指*6674-1)/C指，第二因子非周期数=(A指*B指*3872+1)/C指。

yangchuanju

将ABC第一因子周期t的系数缩小一半怎么样？
A=3257^(79337558t/2+50208502)*5110^(39668779k+29129056)
A^7253=3257^(79337558t/2+50208502)^7253*5110^(39668779k+29129056)^7253
  =3257^(575435308174t/2+364162265006)*5110^(287717654087k+211273043168)
B=3257^(76490138t/2+48406522)*5110^(38245069k+28083616)
B^7523=3257^(76490138t/2+48406522)^7523*5110^(38245069k+28083616)^7523
  =3257^(575435308174t/2+364162265006)*5110^(287717654087k+211273043168)
2357A^7257+2753B^7523
  =2357*[3257^(575435308174t/2+364162265006)*5110^(287717654087k+211273043168)]+2753*[...]
  =5110*[3257^(575435308174t/2+364162265006)*5110^(287717654087k+211273043168)]
  =3257^(575435308174t/2+364162265006)*5110^(287717654087k+211273043169)

C=3257^(109128638t/2+69061685)*5110^(54564319k+40066953)
C^5273=3257^(109128638t/2+69061685)^5273*5110^(54564319k+40066953)^5273
  =3257^(575435308174t/2+364162265005)*5110^(287717654087k+211273043169)
3257C^5273=3257^(575435308174t/2+364162265006)*5110^(287717654087k+211273043169)

2357A^7253+2753B^7523=3257C^5273

看来，将ABC第一因子周期t的系数都缩小一半，左右仍相等；ABC第一、第二因子周期t的系数采用不同数值纯属费尔马先生迷惑人；亦或费尔马没有找到这个最小周期数。

yangchuanju

C的第一因子非周期数=(A指*B指*6674-1)/C指，第二因子非周期数=(A指*B指*3872+1)/C指。
6674、3872如何求得？——解不定方程求整数解呗！
(A指*B指*m-1)/C指=整数a；(A指*B指*n+1)/C指=整数b。

经解不定方程，ABC第一因子的非周期数6674不是最小值，最小值应是6674-5273（C指）=1401；
相应的6674再加上5273的若干倍也都是ABC第一因子的非周期数；
ABC第二因子的非周期数3872是最小值，同样3872再加上5273的若干倍也都是ABC第二因子的非周期数。

修改后的不定方程的一个通解是：
A=3257^（39668779t+10539723）*5110^（39668779k+29129056）
B=3257^（38245069t+10161453）*5110^（38245069k+28083616）
C=3257^（54564319t+14497366）*5110^（54564319k+40066953）
请程老师验证！

yangchuanju

更换ABC的系数和指数，试一试！
令11A^13+17B^19=7C^23
3个系数、3个指数都是素数，7是C的系数，28=11+17是A的系数+B的系数！
解得不定方程的一组通解为：
A=7^（437t+361）*28^（437k+76）
B=7^（299t+247）*28^（299k+52）
C=7^（247t+204）*28^（247k+43）
验证一下：
3个系数、3个指数都是素数，7是C的系数，28=11+17是A的系数+B的系数！
A=7^（437t+361）*28^（437k+76）
A^13=7^(437t+361)^13*28^(437k+76)^13=7^(5681t+4693)*28^(5681k+988)
B=7^（299t+247）*28^（299k+52）
B^19=7^(299t+247)^19*28^(299k+52)^19=7^(5681t+4693)*28^(5681k+988)
11A^13+17B^19=11*[(5681t+4693)*28^(5681k+988)]+17*[(5681t+4693)*28^(5681k+988)]
  =28*[7^(5681t+4693)*28^(5681k+988)]=7^(5681t+4693)*28^(5681k+989)

C=7^（247t+204）*28^（247k+43）
C^23=7^(247t+204)^23*28^(247k+43)^23=7^(5681t+4692)*28^(5681k+989)
7C^23=7*7^(5681t+4692)*28^(5681k+989)=7^(5681t+4693)*28^(5681k+989)

11A^13+17B^19=7C^23验证正确！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-2-23 05:44
更换ABC的系数和指数，试一试！
令11A^13+17B^19=7C^23
3个系数、3个指数都是素数，7是C的系数，28=11+17 ...

杨老师的妙解惊人！太棒了！
学生我打工，抽时间再学习您的解法，非常感谢老师的参与！
至于t的系数*2，我也考虑去掉2，试试，但没有空了。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-2-23 05:44
更换ABC的系数和指数，试一试！
令11A^13+17B^19=7C^23
3个系数、3个指数都是素数，7是C的系数，28=11+17 ...

杨老师才高八斗，学富五车，是一位优秀数学家！您破解学生的题就像一位精明能干的公安干警，明察秋毫，硕果累累啊！您是当今数学界的包拯、福尔摩斯啊！

费尔马1

感谢时空伴随者老师关注并出题，您出的两道题，学生有时间一定解，谢谢！

费尔马1

时空伴随者老师的两个题很好！其中，那道三项和不定方程意义非凡，她可以延伸到多项和不定方程，基本解决希尔伯特的23个问题之第10个问题。望老师们踊跃参加解题活动，谢谢老师！
下面学生我再出一个题:
1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013

yangchuanju

采用程老师另一解法解该方程如下：
试解丢番图方程：2357A^7253+2753B^7523=3257C^5273
方程的3个系数和3个指数都是素数，彼此互素，
不定方程的系数必须全部转入解的相关素因子之中。
假定不定方程解的结构是
A=2357^c1*2753^d1*3257^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
B=2357^c2*2753^d2*3257^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
C=2357^c3*2753^d3*3257^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b、u为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。

2357的指数不定方程：7253*c1+1=7523*c2=5273*c3
2753的指数不定方程：7253*d1=7523*d2+1=5273*d3
3257的指数不定方程：7253*e1=7523*e2=5273*e3+1

设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
7253*s1=7523*s2=5273*s3-2
7253*t1=7523*t2+2=5273*t3
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

A=2357^c1*2753^d1*3257^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
B=2357^c2*2753^d2*3257^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
C=2357^c3*2753^d3*3257^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3

A^7253=2357^(7253*c1)*2753^(7253*d1)*3257^(7253*e1)*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
B^7523=2357^(7523*c2)*2753^(7523*d2)*3257^(7523*e2)*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
C^5273=2357^(5273*c3)*2753^(5273*d3)*3257^(5273*e3)*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
2367A^7253=2357^(7253*c1+1)*2753^(7253*d1)*3257^(7253*e1)*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
2753B^7523=2357^(7523*c2)*2753^(7523*d2+1)*3257^(7523*e2)*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
3257C^5273=2357^(5273*c3)*2753^(5273*d3)*3257^(5273*e3+1)*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3

解以下5组不定方程可求出c1,c2,c3;d1,d2,d3;e1,e2,e3;s1,s2,s3;t1,t2,t3共15参数。
7253*c1+1=7523*c2=5273*c3, c2=5273*c3/7523, c1=(5273*c3-1)/7253
7253*d1=7523*d2+1=5273*d3, d3=7253*d1/5273, d2=(7253*d1-1)/7523
7253*e1=7523*e2=5273*e3+1, e1=7523*e2/7253, e3=(7253*e1-1)/5273
7253*s1=7523*s2=5273*s3-2, s2=7253*s1/7523, s3=(7253*s1+2)/5273
7253*t1=7523*t2-2=5273*t3, t3=7253*t1/5273, t2=(7253*t1+2)/7523


A=2357^15160879*2753^13968177*3257^10539723*a*b*[(a^u+b^u) /2]^18589333*[(a^u－b^u ) /2]^11732425
B=2357^14616756*2753^13466860*3257^10161453*[(a^u+b^u) /2]^17922163*[(a^u－b^u ) /2]^11311349
C=2357^20853756*2753^19213197*3257^14497366*[(a^u+b^u) /2]^25569587*[(a^u－b^u ) /2]^16137925

2367A^7253=2357^109961855388*2753^101311187781*3257^76444610919*a^7253*b^7253*[(a^7253+b^7253) /2]^134828432249*[(a^7253－b^7253 ) /2]^85095278525
2753B^7523=2357^109961855388*2753^101311187781*3257^76444610919*[(a^7253+b^7253) /2]^134828432249*[(a^7253－b^7253 ) /2]^85095278527
3257C^5273=2357^109961855388*2753^101311187781*3257^76444610919*[(a^7253+b^7253) /2]^134828432251*[(a^7253－b^7253 ) /2]^85095278525

令式中u=7253（A的指数），至此ABC前3项指数均相等了，对2367A^7253+2753B^7523合并同类项，
提取公因式合并同类项后，A项剩一a^7253*b^7253，B项剩一[(a^7253-b^7253)/2]^2，C项剩一[(a^7253+b^7253)/2]^2，
a^7253*b^7253+[(a^7253-b^7253)/2]^2=a^7253*b^7253+(a^7253)^2/4-2*a^7253*b^7253/4+(b^7253)^2/4
=(a^7253)^2/4+2*a^7253*b^7253/4+(b^7253)^2/4=[(a^7253+b^7253)/2]^2
AB两相和等于C项，原不定方程解正确。式中u=7253（A的指数）

至此本丢番图方程：2357A^7253+2753B^7523=3257C^5273的通解是：
A=2357^15160879*2753^13968177*3257^10539723*a*b*[(a^7253+b^7253) /2]^18589333*[(a^7253－b^7253 ) /2]^11732425
B=2357^14616756*2753^13466860*3257^10161453*[(a^7253+b^7253) /2]^17922163*[(a^7253－b^7253 ) /2]^11311349
C=2357^20853756*2753^19213197*3257^14497366*[(a^7253+b^7253) /2]^25569587*[(a^7253－b^7253 ) /2]^16137925

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-2-23 14:56
采用程老师另一解法解该方程如下：
试解丢番图方程：2357A^7253+2753B^7523=3257C^5273
方程的3个系数和3 ...

杨老师勇冠三军，硕果卓著，可喜可贺啊！学生衷心感谢、佩服您！学生我愿与您风雨同舟、乘风破浪、披荆斩棘，一道研究高次丢番图方程，为数学之大厦添砖加瓦，贡献我们的光和热！