X^3+Y^4=Z^9有没有非零整数解？

lusishun

lusishun 发表于 2022-2-28 02:05
a=2时，为特解。

三种法，互不兼容，

yangchuanju

鲁思顺在《鲁思顺公式》43-43楼中说（发表于 2022-2-28 09:28）：
还有一个更小点的（针对不定方程X^3+Y^4=Z^9而言），
设：A^21+B^28=C^27，则有
X=(a^27-1)^9，Y=(a^27-1)^7，Z=[a×(a^27-1)]^3。
a=2为一组特解

经用2计算检验正确！

lusishun

送最美方程：
X*2023-Y*2022=Z*2022的最美答案：

X=2023*2022+1，
Y=2023*2022+1，
Z=2023*2023+2023.

yangchuanju

鲁思顺按照他的解法，进行了扩展，如：
求X^2+Y^3+Z^4=U^8的一组解，
变换一下，A^32+B^33+C^32=U^32，
取A=B=C=2^32-2，
(2^32-2)^32+(2^32-2)^33+(2^32-2)^32
=(2^32-2)^32×[1+2^32-2+1]=[(2*32-2)•2]^32
所以，X=(2^32-2)^16，Y=(2^32-2)^11，Z=(2^32-2)^8，U=[2×(2^32-2)]^4
把2换为a，就可得到一组通解。

求不定方程：X^2+Y^3+Z^4+U^5=V^6的一组整数解。
变形：A^24+B^24+C^24+D^25=E^24。
得X=A^12，Y=B^8，Z=C^6，U=D^5，V=E^4。
设A=B=C=D=a^24-3，则得，
X=(a^24-3)^12，Y=(a^24-3)^8，Z=(a^24-3)^6，U=(a^24-3)^5，V=[a×(a^24-3)]^4。

yangchuanju

鲁思顺在《鲁思顺公式（二）》中又给出几种不同的不定方程解法：
不定方程：X^2+Y^3=Z^5。
第一种解法：变形A^24+B^24=C^25。
X=2^12，Y=2^8，Z=2^5。

第二种解法：变形C^25-B^24=A^24，
X=[a×(a^24+1)]^12，Y=(a^24+1)^8，Z=(a^24+1)^5。

第三种解法：变形A^20+B^21=C^20，
根据公式一，得X=(a^20-1)^10，Y=(a^20-1)^7，Z=[a×(a^20-1()^4。
这三种方法求出来的解，相互之间的关系，有待研究。

求不定方程X^5+Y^3=Z^7的一组整数解。
变形：C^91-B^90=A^90。
设C=B=(a^90+1)，
则，Z=(a^90+1)^13，Y=(a^90+1)^30， X=[a×(a^90+1)]^18。
欢迎大家，验算。

费尔马1

解不定方程A^3+B^4=C^9
其中一组解集公式是:
A=bm^（12k+9）
B=m^（9k+7）
C=am^（4k+3）
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^9－b^3，且m>0

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-2-28 20:29
解不定方程A^3+B^4=C^9
其中一组解集公式是:
A=bm^（12k+9）

费尔马1  16楼贴：
解不定方程A^3+B^4=C^9
其中一组解集公式是:
A=bm^（12k+9）
B=m^（9k+7）
C=am^（4k+3）
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^9－b^3，且m>0

A^3=b^3*m^(36k+27)
B^4=m^(36k+28)
C^9=a^9*m^(36k+27)

A^3+B^4=(b^3+m)*m^(36k+27)
C^9=a^9*m^(36k+27)
为使A^3+B^4=C^9，硬性令b^3+m=a^9，于是便有m=a^9-b^3这一条件，
此乃程氏解不定方程之妙招也！

随意给出一组正整数a和b，只要a^9-b^3≥2，就是不定方程A^3+B^4=C^9的非零整数解。
讨论：
当a^9-b^3 =0时（b=a^3），原方程变成0+0=0；
当a^9-b^3=1时（b=0, a=1），原方程变成b^3+1=a^9，只要唯一解b=0, a=1；
当a^9-b^3 <0时（b>a^3），原方程只有分数解。
因此费尔马方程解的条件“m=a^9－b^3，且m>0”须改为“m=a^9－b^3，且m>1”；当m=1时原方程没有非零整数解。

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-2-28 12:35
送最美方程：
X*2023-Y*2022=Z*2022的最美答案：

鲁思顺13楼贴：
送最美方程：X*2023-Y*2022=Z*2022的最美答案：
X=2023*2022+1，Y=2023*2022+1，Z=2023*2023+2023.
（式中星号“*”即乘方号“^”，保持鲁思顺原指数方程的“风格”，未改）

按照鲁思顺在《鲁思顺公式（二）》中给出的不定方程X^2+Y^3=Z^5的第二种解法，
变形A^24+B^24=C^25，C^25-B^24=A^24，
解之X=[a*(a^24+1)]^12，Y=(a^24+1)^8，Z=(a^24+1)^5；
还原一步C=a*(a^24+1)，A=a^24+1，B=a^24+1。

将不定方程替换成X^2023-Y^2022=Z^2022
其通解便是X=a*(a^2022+1)=a^2023+a,  Y=a^2022+1,  Z=a^2022+1；
令a=2023即得X=2023^2023+2023,  Y=2023^2022+1,  Z=2023^2022+1。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-3-1 05:18
费尔马1  16楼贴：
解不定方程A^3+B^4=C^9
其中一组解集公式是:

谢谢老师关注并审核。
其中的条件是，
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^9－b^3，且m>0
分析，当a、b都是正整数，且m>0的时候，不会出现m=1。因此，题设条件还是可以的。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2022-3-1 05:18
费尔马1  16楼贴：
解不定方程A^3+B^4=C^9
其中一组解集公式是:

A^3+B^4=C^9费尔马解
m=a^9－b^3        1        2        3        4        5
2        511        504        485        448        387
3        19682        19675        19656        19619        19558
4        262143        262136        262117        262080        262019
5        1953124        1953117        1953098        1953061        1953000
6        10077695        10077688        10077669        10077632        10077571
7        40353606        40353599        40353580        40353543        40353482
8        134217727        134217720        134217701        134217664        134217603
9        387420488        387420481        387420462        387420425        387420364
10        999999999        999999992        999999973        999999936        999999875

A=bm^（12k+9）        1        2        3
2        A=1*511^(12k+9)        A=2*504^(12k+9)        A=3*485^(12k+9)
3        A=1*19682^(12k+9)        A=2*19675^(12k+9)        A=3*19656^(12k+9)
4        A=1*262143^(12k+9)        A=2*262136^(12k+9)        A=3*262117^(12k+9)
5        A=1*1953124^(12k+9)        A=2*1953117^(12k+9)        A=3*1953098^(12k+9)

B=m^（9k+7）
2        B=511^(9k+7)        B=504^(9k+7)        B=485^(9k+7)
3        B=19682^(9k+7)        B=19675^(9k+7)        B=19656^(9k+7)
4        B=262143^(9k+7)        B=262136^(9k+7)        B=262117^(9k+7)
5        B=1953124^(9k+7)        B=1953117^(9k+7)        B=1953098^(9k+7)

C=am^（4k+3）
2        C=2*511^(4k+3)        C=2*504^(4k+3)        C=2*485^(4k+3)
3        C=3*19682^(4k+3)        C=3*19675^(4k+3)        C=3*19656^(4k+3)
4        C=4*262143^(4k+3)        C=4*262136^(4k+3)        C=4*262117^(4k+3)
5        C=5*1953124^(4k+3)        C=5*1953117^(4k+3)        C=5*1953098^(4k+3)