解鲁氏A^(n+1)±B^n=C^n型不定方程

yangchuanju

按费尔马法解鲁思顺方程（一）
设（一）D^2022-B^2022-C^2022=A^2023的解是
D=(-1)^(M1*k+L1)
B=(-1)^(M2*k+L2)
C=(-1)^(M3*k+L3)
A=(-1)^(M4*k+L4)

解之
D=(-1)^(2023k+1)=-1
B=(-1)^(2023k+1)=-1
C=(-1)^(2023k+1)=-1
A=(-1)^(2022k+1)=-1

D^2022=(-1)^2022=1
B^2022=(-1)^2022=1
C^2022=(-1)^2022=1
A^2023=(-1)^2023=-1

D^2022+B^2022+C^2022=1-1-1=-1
A^2023=-1
虽（一）D^2022-B^2022-C^2022=A^2023或A^2023+B^2022+C^2022=D^2022成立，但方程的解不是正整数！
费尔马法不适宜解鲁思顺第一种类型的方程。

yangchuanju

鲁思顺按照他的解法，进行了扩展，如：
求X^2+Y^3+Z^4=U^8的一组解，
变换一下，A^32+B^33+C^32=U^32，
取A=B=C=2^32-2，
(2^32-2)^32+(2^32-2)^33+(2^32-2)^32
=(2^32-2)^32×[1+2^32-2+1]=[(2*32-2)·2]^32
所以，X=(2^32-2)^16，Y=(2^32-2)^11，Z=(2^32-2)^8，U=[2×(2^32-2)]^4
把2换为a，就可得到一组通解。

按鲁思顺解法解方程（一）A^2023+B^2022+C^2022=D^2022
取A=B=C=a^2022-2，
(a^2022-2)^2023+(a^2022-2)^2022+(a^2022-2)^2022
=(a^2022-2)^2022×[a^2022-2+1+1]=(a^2022-2)^2022×[a^2022]=[(a^2022-2)×a]^2022
令[(a*2022-2)×a]^2022=D^2022
则D=(a^2022-2)×a
鲁思顺解法解方程（一）A^2023+B^2022+C^2022=D^2022所得的一个解是
A=B=C=a^2022-2，D=(a^2022-2)×a
再令a=2022，有解
A=B=C=2022^2022-2，D=(2022^2022-2)×2022。

按鲁思顺解法解方程（二）A^2023-B^2022-C^2022=D^2022
取A=B=C=a^2022+2，
(a^2022+2)^2023-(a^2022+2)^2022-(a^2022+2)^2022
=(a^2022+2)^2022×[a^2022+2-1-1]=(a^2022+2)^2022×[a^2022]=[(a*2022+2)×a]^2022
令[(a*2022+2)×a]^2022=D^2022
则D=(a^2022+2)×a
鲁思顺解法解方程（二）A^2023-B^2022-C^2022=D^2022所得的一个解是
A=B=C=a^2022+2，D=(a^2022+2)×a
再令a=2022，有解
A=B=C=2022^2022+2，D=(2022^2022+2)×2022。

yangchuanju

费尔马（程中战）与鲁思顺解法对比（第二鲁思顺方程A^2023+B^2022+C^2022=D^2022）
费尔马解：
D=3^(2023k+1)
B=3^(2023k+1)
C=3^(2023k+1)
A=3^(2022k+1)
令k=1，D=B=C=3^2024；A=3^2023。

鲁思顺解：
A=B=C=a^2022+2，D=(a^2022+2)×a
令a=3，则
A=B=C=3^2022+2，D=(3^2022+2)×3
A=B=C=3^2023-1，D=(3^2022+2)×3=3^2023+6

二人解法无法统一。

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-3-3 06:53
方程：2022A*2023+B*2023=C*2024
的解更美。

再弄两个鲁思顺方程按鲁思顺和费尔马法各解一解：
（三）2022A^2023+B^2023=C^2024
（四）2022A^2023-B^2023=C^2024

按费尔马法解鲁思顺方程（三）
设（三）2022A^2023+B^2023=C^2024的解是
A=2023^(M1*k+L1)
B=2023^(M2*k+L2)
C=2023^(M3*k+L3)

解之
A=2023^(2024k+1)
B=2023^(2024k+1)
C=2023^(2023k+1)

A^2023=2023^(4094552k+2023)
B^2023=2023^(4094552k+2023)
C^2024=2023^(4094552k+2024)

2022*A^2023=2022*2023^(4094552k+2023)
2022*A^2023+B^2023=2023^(4094552k+2024)=C^2024
（三）2022A^2023+B^2023=C^2024的解正确！

令k=0，则A=2023，B=2023，C=2023
A^2023=2023^2023
B^2023=2023^2023
C^2024=2023^2024
2022A^2023=2022*2023^2023
2022A^2023+B^2023=2022*2023^2023+2023^2023=(2022+1)*2023^2023=2023^2024=C^2024

鲁思顺如何解，不知！

yangchuanju

按费尔马法解鲁思顺方程（四）
设（四）2022A^2023-B^2023=C^2024的解是
A=2021^(M1*k+L1)
B=2021^(M2*k+L2)
C=2021^(M3*k+L3)

解之
A=2021^(2024k+1)
B=2021^(2024k+1)
C=2021^(2023k+1)

A^2023=2021^(4094552k+2023)
B^2023=2021^(4094552k+2023)
C^2024=2021^(4094552k+2024)

2022*A^2023=2022*2021^(4094552k+2023)
2022*A^2023-B^2023=2021^(4094552k+2024)=C^2024
（四）2022A^2023-B^2023=C^2024的解正确！

令k=0，则A=2021，B=2021，C=2021
A^2023=2021^2023
B^2023=2021^2023
C^2024=2021^2024
2022A^2023=2022*2021^2023
2022A^2023-B^2023=2022*2021^2023-2021^2023=(2022-1)*2021^2023=2021^2024=C^2024

鲁思顺如何解，不知！

yangchuanju

方程（三）是先生的原题带加号的，（三）2022A^2023+B^2023=C^2024；
方程（四）稍稍变了一下，+B改-B，鲁先生就不会解了吗？

lusishun

扩展一下：
（六）A*2023+B*2022+C*2022+D*2022=E*2022.
（七）A*2023-B*2022-C*2022-D*2022=E*2022.

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-3-3 15:23
扩展一下：
（六）A*2023+B*2022+C*2022+D*2022=E*2022.
（七）A*2023-B*2022-C*2022-D*2022=E*2022.

刚好预留了一个空序号（五），那就
给鲁思顺方程（三）添上一个系数：
（五）2022*A^2023+B^2023=2021*C^2024

设方程（五）的解是
A=2021^(M1*t+N1)*2023^(M1*k+L1)
B=2021^(M2*t+N2)*2023^(M2*k+L2)
C=2021^(M3*t+N3)*2023^(M3*k+L3)

解之
A=2021^(2024t+2023)*2023^(2024k+1)
B=2021^(2024t+2023)*2023^(2024k+1)
C=2021^(2023t+2022)*2023^(2023k+1)

A^2023=2021^(4094552t+2023)*2023^(4094552k+2023)
B^2023=2021^(4094552t+2023)*2023^(4094552k+2023)
C^2024=2021^(4094552t+2022)*2023^(4094552k+2024)

2022*A^2023=2022*2021^(4094552t+2023)*2023^(4094552k+2023)
2022*A^2023+B^2023=2021^(4094552t+2023)*2023^(4094552k+2024)
2021*C^2024=2021*2021^(4094552t+2022)*2023^(4094552k+2024)=2021^(4094552t+2023)*2023^(4094552k+2024)
（五）2022*A^2023+B^2023=2021*C^2024的解正确！

令k=0，则A=2021^2023*2023，B=2021^2023*2023，C=2021^2022*2023
A^2023=(2021^2023)^2023*2023^2023=2021^4092529*2023^2023
B^2023=(2021^2023)^2023*2023^2023=2021^4092529*2023^2023
C^2024=(2021^2022)^2024*2023^2024=2021^4092528*2023^2024

2022*A^2023=2022*2021^4092529*2023^2023
2022*A^2023+B^2023=2022*2021^4092529*2023^2023+2021^4092529*2023^2023=2021^4092529*2023^2024
2021*C^2024=2021*2021^4092528*2023^2024=2021^4092529*2023^2024
2022*A^2023+B^2023=2021*C^2024

（五）2022*A^2023+B^2023=2021*C^2024的最小解是：
A=2021^2023*2023，
B=2021^2023*2023，
C=2021^2022*2023。

美不美？——美什么！
A=2021^2023*2023，
logA=2023*log(2021)+log(2023)=6690.466646
A就是6691位数字哪！

A^2023=(2021^2023)^2023*2023^2023=2021^4092529*2023^2023
log(A^2023)=4052529*log(2021)+2023*log(2023)=13402591.38
A^2023就是13402592位数字哪！
再乘以2022，变成13402595位数字哪！

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-3-3 15:23
扩展一下：
（六）A*2023+B*2022+C*2022+D*2022=E*2022.
（七）A*2023-B*2022-C*2022-D*2022=E*2022.

这类题目按费尔马解法很好解，将指数2023的项移动右端，其余项都放在左端。
右端项系数为A，解为两个因子相乘形式，第一因子的底数是A；
用左端系数的代数和做解第二因子的底数；
再分别解出相应的乘数、周期数、非周期数即可！

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-3-3 15:23
扩展一下：
（六）A*2023+B*2022+C*2022+D*2022=E*2022.
（七）A*2023-B*2022-C*2022-D*2022=E*2022.

以下按鲁思顺的解法解
（六）A^2023+B^2022+C^2022+D^2022=E^2022.
（七）A^2023-B^2022-C^2022-D^2022=E^2022.

对于（六）设A=B=C=D=a^2022-3，则得E=a×(a^2022-3)，
A^2023=(a^2022-3)^2023
B^2022=C^2022=D^2022=(a^2022-3)^2022
A^2023+B^2022+C^2022+D^2022=(a^2022-3)^2023+3*(a^2022-3)^2022
=(a^2022-3)^2022*(a^2022-3+3)=(a^2022-3)^2022*a^2022=[(a^2022-3)*a]^2022
E^2022=[a×(a^2022-3)]^2022=[(a^2022-3)*a]^2022
（六）A^2023+B^2022+C^2022+D^2022=E^2022成立。

对于（七）设A=B=C=D=a^2022+3，则得E=a×(a^2022+3)，
A^2023=(a^2022+3)^2023
B^2022=C^2022=D^2022=(a^2022+3)^2022
A^2023-B^2022-C^2022-D^2022=(a^2022+3)^2023-3*(a^2022+3)^2022
=(a^2022+3)^2022*(a^2022+3-3)=(a^2022+3)^2022*a^2022=[(a^2022+3)*a]^2022
E^2022=[a×(a^2022+3)]^2022=[(a^2022+3)*a]^2022
（七）A^2023-B^2022-C^2022-D^2022=E^2022成立。