奇葩的拼接平方数

yangchuanju

奇葩的平方数7
A309828给出286个由k和2k+1构成的平方数：
Squares formed by concatenating k and 2*k+1.

25, 49, 1225, 4489, 112225, 444889, 11122225, 44448889, 816416329, 1111222225, 1451229025, 3832476649, 4444488889, 111112222225, 444444888889, 10185602037121, 11111122222225, 44444448888889, 46355849271169, 997230019944601, 1111111222222225, 1231148024622961，……

请注意，这些平方数中有一类25,1225,1122255,111222225……，
它们的平方根是5,35,335,3335……，并且可以继续延伸下去，
其平方数中部加12，平方根前部加一个3；

还有一类49,4489,444889,44448889……，
它们的平方根是7,67,667,6667……，并且可以任意延伸下去，
其平方数中部加48，平方根前部加一个6。

yangchuanju

奇葩的平方数8
除了n&n、n&(n±1）型平方数外，还存在各种不同的n&(n±2）、n&(n±4）、n&(n±5）……等类型的平方数。
A115427
Numbers k such that k^2 is the concatenation of two numbers m and m+2.
8874, 9011, 83352842, 99000101, 329767122288, 670232877713, 738226276373, 933006600341, 999000001001, 3779410975143115, 3872816717528067, 4250291784692550, 4278630943941867, 4372036686326819, 4749511753491302
以上各数平方后可分成m和m+2两部分，如8874^2=7874 7876, 9011^2=8118 8121，……
A115426
Numbers k such that the concatenation of k with k+2 gives a square.
7874, 8119, 69476962, 98010199, 108746354942, 449212110367, 544978035127, 870501316279, 998001001999, 1428394731903223, 1499870932756487, 1806498025502498, 1830668275445687, 1911470478658759, 2255786189655202
以上各数再加上该数加2即构成一个平方数，如7874 7876=8874^2，8119 8121=9011^2，……

A115438
Numbers whose square is the concatenation of two numbers k and k+4.
2, 310, 453, 548, 691, 856, 4382, 5619, 72730, 346533, 653468, 9090908, 94117646, 334665333, 336032387, 378253328, 390977442, 439928491, 483516486, 516483515, 560071510, 609022559, 621746673, 663967614, 665334668 
以上各数平方后可分成k和k+4两部分，如2^2=4=0 4, 310^2=96 100, 453^2=205 209，……
A115437
Numbers m such that the concatenation of m with m+4 gives a square.
96, 205, 300, 477, 732, 1920, 3157, 52896, 120085, 427020, 8264460, 88581312, 112000885, 112917765, 143075580, 152863360, 193537077, 233788192, 266755221, 313680096, 370908477, 386568925, 440852992, 442670220 
以上各数再加上该数加4即构成一个平方数，如96 100=310^2，205 209=453^2，……

A115439
Numbers m such that the square of m is the concatenation of two numbers k and k+5.
4, 7, 45, 56, 38163, 61838, 83618, 346980, 653021, 950051, 8647555, 9534265, 8167822283, 9007920992, 9209900792, 9950000501, 4737445289221, 4990568257187, 5009431742814, 5262554710780, 8373808925585, 8626931893551, 34323166122692, 34532758615690, 49625657225895, 49835249718893
以上各数平方后可分成k和k+5两部分，如4^2=16=1 6, 7^2=49=4 9，45^2=20 25，……
A115428
Numbers k such that the concatenation of k with k+5 gives a square.
1, 4, 20, 31, 14564, 38239, 69919, 120395, 426436, 902596, 7478020, 9090220, 6671332084, 8114264059, 8482227259, 9900250996, 2244338786836, 2490577152964, 2509440638591, 2769448208395, 7012067592220
以上各数再加上该数加4即构成一个平方数，如1 6=4^2，4 9=7^2，20 25=45^2，……

A115440
Numbers whose square is the concatenation of two numbers k and k+8.
7747, 8021, 33294318, 66705683, 98000201, 340465755425, 476452552745, 523547447256, 659534244576, 866013200681, 998000002001, 3695104677080134, 3755782995538768, 4198081170077531, 4803478892324966, 5196521107675035
以上各数平方后可分成k和k+8两部分，如7747^2=6001 6009, 8021^2=6433 6441,……
A115429
Numbers k such that the concatenation of k with k+8 gives a square.
6001, 6433, 11085116, 44496481, 96040393, 115916930617, 227007035017, 274101929528, 434985419768, 749978863753, 996004003993, 1365379857457948, 1410590590957816, 1762388551055953, 2307340946901148, 2700383162251217
以上各数再加上该数加8即构成一个平方数，如6001 6009=7747^2，6433 6441=8021^2，……

A115441
Numbers whose square is the concatenation of two numbers k and k+9.
465, 536, 718, 822, 3428, 6573, 90907, 980202, 3636361, 6363640, 41176468, 58823533, 413533838, 426573430, 428571426, 432620009, 567379992, 571428575, 573426571, 586466163, 686261111, 725274729, 727272725, 731321308
以上各数平方后可分成k和k+9两部分，如465^2=216 225, 536^2=278 296,……
A115430
Numbers k such that the concatenation of k with k+9 gives a square.
216, 287, 515, 675, 1175, 4320, 82640, 960795, 1322312, 4049591, 16955015, 34602080, 171010235, 181964891, 183673467, 187160072, 321920055, 326530616, 328818032, 343942560, 470954312, 526023432, 528925616, 534830855
以上各数再加上该数加9即构成一个平方数，如216 225=465^2，287 296=536^2，……

yangchuanju

奇葩的平方数9
A115442
Numbers whose square is the concatenation of two numbers k and k-2.
8, 7312, 8991, 32524, 67477, 76568, 4891730, 5108271, 8528094, 71588336, 98999901, 399659933007, 600340066994, 723627738227, 877712329768, 998999999001, 3485626998114, 3787100274614, 6212899725387, 6514373001887
以上各数平方后可分成k和k-2两部分，如8^2=64=6 4, 7312^2=5346 5344,……
A115431
Numbers k such that the concatenation of k with k-2 gives a square.
6, 5346, 8083, 10578, 45531, 58626, 2392902, 2609443, 7272838, 51248898, 98009803, 159728062051, 360408196038, 523637103531, 770378933826, 998000998003, 1214959556998, 1434212848998, 3860012299771, 4243705560771
以上各数再加上该数减2即构成一个平方数，如6 4=64=8^2，5346 5344=7312^2，……

A115443
Numbers whose square is the concatenation of two numbers k and k-4.
81, 8157, 9801, 467347, 532654, 998001, 76450589, 99980001, 7801738415, 8593817623, 9208120793, 9999800001, 346667333467, 401461854015, 598538145986, 653332666534, 945207479453, 999998000001, 48349470735060
以上各数平方后可分成k和k-4两部分，如81^2=65 61, 8157^2=6653 6649,……
A115432
Numbers k such that the concatenation of k with k-4 gives a square.
65, 6653, 9605, 218413, 283720, 996005, 58446925, 99960005, 6086712229, 7385370133, 8478948853, 9999600005, 120178240093, 161171620229, 358247912200, 426843573160, 893417179213, 999996000005, 23376713203604
以上各数再加上该数减4即构成一个平方数，如65 61=81^2，6653 6649=8157^2，……

A115444
Numbers whose square is the concatenation of two numbers k and k-5.
46, 55, 949951, 979654, 7771781679, 7900890080, 9920892100, 9949999501, 38773083432317, 41534158410842, 47433813119408, 52566186880593, 58465841589159, 61226916567684, 72258945037435, 86156896546725
以上各数平方后可分成k和k-5两部分，如46^2=21 16, 55^2=30 25,……
A115433
Numbers k such that the concatenation of k with k-5 gives a square.
21, 30, 902406, 959721, 6040059046, 6242406405, 9842410005, 9900249006, 15033519988494, 17250863148969, 22499666270469, 27632040031654, 34182546327286, 37487353123861, 52213551379230, 74230108225630
以上各数再加上该数减5即构成一个平方数，如21 16=65^2，30 25=55^2，……

A115445
Numbers whose square is the concatenation of two numbers k and k-7.
9, 13, 3656545, 4565636, 5434365, 6343456, 3646962589704198389, 6353037410295801612, 9101508044249652935, 7903999111431765764698711045778, 9722180929613583946516892863960
以上各数平方后可分成k和k-7两部分，如9^2=81=8 1, 13^2=169=16 9,……
A115434
umbers k such that the concatenation of k with k-7 gives a square.
8, 16, 1337032, 2084503, 2953232, 4023943, 1330033613070195328, 4036108433661798551, 8283744867954114232, 6247320195351414276186411625291, 9452080202814205132771066881607
以上各数再加上该数减7即构成一个平方数，如8 1=81=9^2，16 9=169=13^2，……

A115446
Numbers k such that the square of k is the concatenation of two numbers m and m-8.
4623, 5378, 7981, 34953, 46866, 53135, 65048, 7056187, 9783460, 43176671, 56823330, 97999801, 447255476453, 552744523548, 755424659535, 799319866014, 997999998001, 4297663349524, 5702336650477, 6971253996228, 7574200549228, 8843117894979, 3505613322543666, 3757750389995601, 3948262973033353
以上各数平方后可分成k和k-8两部分，如4623^2=2137 2129, 5378^2=2892 2884,……
A115435
Numbers k such that the concatenation of k with k-8 gives a square.
2137, 2892, 6369, 12217, 21964, 28233, 42312, 4978977, 9571608, 18642249, 32288908, 96039609, 200037461217, 305526508312, 570666416233, 638912248204, 996003996009, 1846991026584, 3251664327537, 4859838227992
以上各数再加上该数减8即构成一个平方数，如2137 2129=2137^2，2892 2884=5378^2，……

A115447
Numbers whose square is the concatenation of two numbers k and k-9.
71, 7235, 9701, 798981, 997001, 35324118, 64675883, 99970001, 3297392379, 6702607622, 7890726434, 8812181189, 9999700001, 897807218979, 917811219179, 979998999801, 999997000001, 46193210013657, 49751928874867
以上各数平方后可分成k和k-9两部分，如71^2=50 41, 7235^2=5234 5225,……
A115436
Numbers k such that the concatenation of k with k-9 gives a square.
50, 5234, 9410, 638370, 994010, 12477933, 41829698, 99940010, 1087279650, 4492494893, 6226356365, 7765453730, 9999400010, 806057802450, 842377434050, 960398039610, 999994000010, 21338126513658, 24752544267698
以上各数再加上该数减9即构成一个平方数，如50 41=71^2，5234 5225=7235^2，……

yangchuanju

奇葩的平方数10
A107677给出35个正整数A，重复写两遍得AA，将AA平方可构成一个具有NNMM形式的平方数。对应的NM型数字见A107678。

A107677  Numbers A such that the square of concatenation AA is of form NNMM.
8, 89, 98, 406, 593, 998, 4445, 4544, 5455, 5554, 9899, 9998, 34687, 44443, 55556, 65312, 90242, 99998, 219374, 285713, 286714, 296297, 297296, 340066, 362636, 363637, 374219, 416989, 583010, 625780, 636362, 637363, 659933, 702703, 703702

A107678  Numbers NM associated伴生的 with A107677.
74, 8021, 9704, 165836, 352649, 997004, 19768025, 20657936, 29767025, 30856916, 98000201, 99970004, 1203287969, 1975280249, 3086569136, 4265757344, 8143718564, 9999700004, 48125951876, 81632918369, 82205917796, 87792912209

例：88^2=7744,  8989^2= 80802121,  9898^2= 97970404

yangchuanju

（接上楼）
序号        A107677数A        AA平方数        A107678数NM
1        8        7744        74
2        89        80802121        8021
3        98        97970404        9704
4        406        165165836836         165836
5        593        352352649649         352649
6        998        997997004004         997004
7        4445        1976197680258025        19768025
8        4544        2065206579367936        20657936
9        5455        2976297670257025        29767025
10        5554        3085308569166916        30856916
11        9899        9800980002010201        98000201
12        9998        9997999700040004        99970004
13        34687        12032120328796987969        1203287969
14        44443        19752197528024980249        1975280249
15        55556        30865308656913669136        3086569136
16        65312        42657426575734457344        4265757344
17        90242        81437814371856418564        8143718564
18        99998        99997999970000400004        9999700004
19        219374        048125048125951876951876        048125951876
20        285713        081632081632918369918369        081632918369
21        286714        082205082205917796917796        082205917796
22        296297        087792087792912209912209        087792912209
23        297296        088385088385911616911616        088385911616
24        340066        115645115645884356884356        115645884356
25        362636        131505131505868496868496        131505868496
26        363637        132232132232867769867769        132232867769
27        374219        140040140040859961859961        140040859961
28        416989        173880173880826121826121        173880826121
29        583010        339901339901660100660100        339901660100
30        625780        391601391601608400608400        391601608400
31        636362        404957404957595044595044        404957595044
32        637363        406232406232593769593769        406232593769
33        659933        435512435512564489564489        435512564489
34        702703        493792493792506209506209        493792506209
35        703702        495197495197504804504804        495197504804

19-23#中的NNMM和NM数字中的前导0是笔者外加的，只是为使表格整齐美观；
23-35#NM数字为笔者计算（原网页A107678仅给出22个数字）。

yangchuanju

奇葩的平方数11
除了前面给出的10类奇葩的平方数外，还有相当多的奇葩平方数。
OEIS网站在其网页A115527-A115556中还给出许多由k和nk，及nk和k拼接而成的平方数，此处的k是某些特定的正整数，n是等于2-9正整数。
A115527-A115530给出的是由k和2*k，及2*k和k拼接而成的平方数；
A115531-A115534给出的是由k和3*k，及3*k和k拼接而成的平方数；
A115535-A115538给出的是由k和4*k，及4*k和k拼接而成的平方数；
A115539-A115542给出的是由k和5*k，及5*k和k拼接而成的平方数；
A115543-A115546给出的是由k和6*k，及6*k和k拼接而成的平方数；
A115547-A115548给出的是由k和7*k拼接而成的平方数；
A115549-A115552给出的是由k和8*k，及8*k和k拼接而成的平方数；
A115553-A115556给出的是由k和9*k，及9*k和k拼接而成的平方数。

下面仅介绍前两类拼接平方数。

A115527
Numbers k such that the concatenation of k with 2*k gives a square.
3, 8163265306122448979592, 18367346938775510204082, 32653061224489795918368, 504986744097967428355005681100871102133568993813912384800
可由k和2*k拼接成一个平方数的整数k
3_6=36=6^2
08163265306122448979592_16326530612244897959184=28571428571428571428572^2
18367346938775510204082_36734693877551020408164=42857142857142857142858^2
32653061224489795918368_65306122448979591836736=57142857142857142857144^2
0504986744097967428355005681100871102133568993813912384800_1009973488195934856710011362201742204267137987627824769600
=2247191011235955056179775280898876404494382022471910112360^2
A115528
Numbers k such that k^2 is the concatenation of two numbers m and 2*m.
6, 28571428571428571428572, 42857142857142857142858, 57142857142857142857144, 2247191011235955056179775280898876404494382022471910112360
k的平方数可分拆成m和2*m两部分
6^2=36=3_6
28571428571428571428572^2=18367346938775510204082_36734693877551020408164
请看2,3,4#数字，它们都与1/7的循环节142857有关联，3个半循环节再加2位！
第5个数字共58位，中间44位是1/89的循环节，另14位是另一循环节的一部分数字。

1/7的循环节还有3个，取3.5个循环节加2位，进行平方看一看平方数怎么样？
14285714285714285714286^2=02040816326530612244898_04081632653061224489796，m+2*m型，前需补加一个0。

57142857142857142857143^2=32653061224489795918367_51020408163265306122449，第一段末位就不同了！
57142857142857142857144^2=32653061224489795918368_65306122448979591836736，对照式。

71428571428571428571429^2=51020408163265306122449_59183673469387755102041
71428571428571428571428^2=51020408163265306122448_16326530612244897959184

85714285714285714285716^2=73469387755102040816329_46938775510204081632656
85714285714285714285715^2=73469387755102040816327_75510204081632653061225
85714285714285714285714^2=73469387755102040816326_04081632653061224489796，都不行！

yangchuanju

（接上楼）
A115529
Numbers k such that concatenation 2*k with k gives a square.
1632653061224489796, 3673469387755102041, 6530612244897959184, 108166576527852893455922120064900, 130881557598702001081665765278529, 155759870200108166576527852893456, 182801514332071389940508382909681
可由2*k和k拼接成一个平方数的整数k
3265306122448979592_1632653061224489796=5714285714285714286^2
7346938775510204082_3673469387755102041=8571428571428571429^2
13061224489795918368_6530612244897959184=11428571428571428572^2
216333153055705786911844240129800_108166576527852893455922120064900
  =465116279069767441860465116279070^2
261763115197404002163331530557058_130881557598702001081665765278529
  =511627906976744186046511627906977^2
311519740400216333153055705786912_155759870200108166576527852893456
  =558139534883720930232558139534884^2
365603028664142779881016765819362_182801514332071389940508382909681
  =604651162790697674418604651162791^2

A115530
Numbers k such that k^2 is the concatenation of two numbers 2*m and m.
5714285714285714286, 8571428571428571429, 11428571428571428572, 465116279069767441860465116279070, 511627906976744186046511627906977, 558139534883720930232558139534884, 604651162790697674418604651162791
k的平方数可分拆成2*m和m两部分
5714285714285714286^2 = 3265306122448979592_1632653061224489796.
请看1,2,3#数字，它们都与7的循环节142857有关联，3个循环节后加1位或前后各加1位！
再看4,5,6,7#数字，它们都与2/43的循环节046511627906976744186（21位）有关联，1.5个循环节，但末位有所不同！


请看前4个与1/7有关的数字怎么样？
1428571428571428572^2=0204081632653061224_6530612244897959184
2857142857142857143^2=0816326530612244898_0408163265306122449，2*m+m型，前需补加一个0。
4285714285714285715^2=1836734693877551021_0204081632653061225
7142857142857142858^2=5102040816326530613_4693877551020408164
其余都不行！

yangchuanju

奇葩的平方数12
A115531
Numbers k such that concatenation k with 3*k gives a square.
816326530612244897959183673469388, 1836734693877551020408163265306123, 3265306122448979591836734693877552, 3746097814776274713839750260145681581685744016649323621228
可由k和3*k拼接成一个平方数的整数k
本网页共提供113个数字，见后。

A115532
Numbers k such that k^2 is the concatenation of two numbers m and 3*m.
2857142857142857142857142857142858, 4285714285714285714285714285714287, 5714285714285714285714285714285716, 19354838709677419354838709677419354838709677419354838709678
k的平方数可分拆成m和3*m两部分
这些平方数又与1/7的循环节相关联，5*6+4=34位，末位加1或2；第4数共59位，循环节15位，是6/31的循环节193548387096774，4*15-1=59。
2857142857142857142857142857142858^2=0816326530612244897959183673469388_2448979591836734693877551020408164
4285714285714285714285714285714287^2=1836734693877551020408163265306123_5510204081632653061224489795918369
5714285714285714285714285714285716^2=3265306122448979591836734693877552_9795918367346938775510204081632656
19354838709677419354838709677419354838709677419354838709678^2=3746097814776274713839750260145681581685744016649323621228_11238293444328824141519250780437044745057232049947970863684
193548387096774 193548387096774 193548387096774 19354838709678

1 816326530612244897959183673469388——与1/7相关联
2 1836734693877551020408163265306123
3 3265306122448979591836734693877552

4 3746097814776274713839750260145681581685744016649323621228——与1/31的循环节相关联
5 5098855359001040582726326742976066597294484911550468262227
6 6659729448491155046826222684703433922996878251821019771072
7 8428720083246618106139438085327783558792924037460978147763
8 10405827263267429760665972944849115504682622268470343392300
9 12591050988553590010405827263267429760665972944849115504683
10 14984391259105098855359001040582726326742976066597294484912
11 17585848074921956295525494276795005202913631633714880332987
12 20395421436004162330905306971904266389177939646201873048908
13 23413111342351716961498439125910509885535900104058272632675
14 26638917793964620187304890738813735691987513007284079084288
15 30072840790842872008324661810613943808532778355879292403747
16 34792880345781094794491127278584659990872238180890762168112
17 36752664501060431152514161453998765067518591103116862197643

18 38766141372922763027195360949287229187360734516362855378668——与1/193的循环节相关联
19 40833310961368090418534725764450052350398668420628741711187
20 42954173266396413326532255899487234556632392815914521195200
21 45128728288007731751187951354398775806061907702220193830707
22 47356976026202045692501812129184676098687213079545759617708
23 49638916480979355150473838223844935434508308947891218556203
24 51974549652339660125104029638379553813525195307256570646192
25 54363875540282960616392386372788531235737872157641815887675
26 56806894144809256624338908427071867701146339499046954280652
27 59303605465918548148943595801229563209750597331471985825123
28 61854009503610835190206448495261617761550645654916910521088
29 64458106257886117748127466509168031356546484469381728368547
30 67115895728744395822706649842948803994738113774866439367500
31 69827377916185669413943998496603935676125533571371043517947
32 72592552820209938521839512470133426400708743858895540819888
33 75411420440817203146393191763537276168487744637439931273323
34 78283980778007463287605036376815484979462535907004214878252
35 81210233831780718945475046309968052833633117667588391634675
36 84190179602136970120003221562994979730999489919192461542592
37 87223818089076216811189562135896265671561652661816424602003
38 90311149292598459019034068028671910655319605895460280812908
39 93452173212703696743536739241321914682273349620124030175307
40 96646889849391929984697575773846277752422883835807672689200
41 99895299202663158742516577626244999865768208542511208354587
……

A115533
Numbers k such that the concatenation of 3*k with k gives a square.
24489796, 55102041, 97959184, 15976331361, 28402366864, 44378698225, 63905325444, 86982248521, 24489795918367346938775510204081632653061224489796 
可由3*k和k拼接成一个平方数的整数k

A115534
Numbers k such that k^2 is the concatenation of two numbers 3*m and m.
85714286, 128571429, 171428572, 69230769231, 92307692308, 115384615385, 138461538462, 161538461539, 85714285714285714285714285714285714285714285714286
k的平方数可分拆成3*m和m两部分
85714286^2=73469388_24489796
128571429^2=165306123_55102041
171428572^2=293877552_97959184
69230769231^2=47928994083_15976331361
92307692308^2=85207100592_28402366864
115384615385^2=133136094675_44378698225
138461538462^2=191715976332_63905325444
161538461539^2=260946745563_86982248521
85714285714285714285714285714285714285714285714286^2
=73469387755102040816326530612244897959183673469388_24489795918367346938775510204081632653061224489796
最后1数50位，8*6+2=50,8个6位循环节857142，加86；
与第1数相比，多了7个6位循环节857142。

yangchuanju

顶起来，让大家再看一看！