一道小题

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-3-21 14:29
解丢番图方程:
5A^3+3B^4+10C^5=15D^6
其中又一个答案是，

再给D项解添个系数，解的第2项底数还要增大吆！

仅给C项解添个系数，解的第1项底数10会变成什么数？

同时给A、B、D和C相添个系数，解的两项底数都要面目全非啦！那也是“一道小题”吗？

yangchuanju

仿费尔马解丢番图方程3：
5A^3+3B^4+10C^5=15D^6
设其中一个解是，
A=5*10^(20t+12)*X^(20k+8)
B=8* 10^(15t+9)*X^(15k+6)
C=10^(12t+7)*X^(12k+5)
D=9* 10^(10t+6)*X^(10k+4)
其中，t、k为自然数，X为待定底数。

A^3=5^3*10^(20t+12)^3*X^(20k+8)^3=125*10^(60t+36)*X^(60k+24)
B^4=8^4*10^(15t+9)^4*X^(15k+6)^4=4096*10^(60t+36)*X^(60k+24)
C^5=10^(12t+7)^5*X^(12k+5)^5=10^(60t+35)*X^(60k+25)
D^6=9^6*10^(10t+6)^6*X^(10k+4)^6=4096*10^(60t+36)*531441*X^(60k+24)

5A^3=5*125*10^(60t+36)*X^(60k+24)=625*10^(60t+36)*X^(60k+24)
3B^4=3*4096*10^(60t+36)*X^(60k+24)=12288*10^(60t+36)*X^(60k+24)
10C^5=10*10^(60t+35)*X^(60k+25)=10^(60t+36)*X^(60k+25)
15D^6=15*4096*10^(60t+36)*531441*X^(60k+24)=7971615*10^(60t+36)*X^(60k+24)

15D^6-5A^3-3B^4=(7971615-6125-12288)*10^(60t+36)*X^(60k+24)=7958702*10^(60t+36)*X^(60k+24)
令X=7958702，有
15D^6-5A^3-3B^4=10^(60t+36)*7958702^(60k+25)
10C^5=10^(60t+36)*7958702^(60k+25)
解的第2项底数小了625-5=620，7959322-7958702=620。
5A^3+3B^4+10C^5=15D^6成立！

丢番图方程：5A^3+3B^4+10C^5=15D^6
其中的一个解是，
A=5*10^(20t+12)*7958702^(20k+8)
B=8* 10^(15t+9)*7958702^(15k+6)
C=10^(12t+7)*7958702^(12k+5)
D=9* 10^(10t+6)*7958702^(10k+4)
其中，t、k为自然数。

请老师审核！

yangchuanju

仿费尔马解丢番图方程4：
5A^3+3B^4+10C^5=15D^6
设其中一个解是，
A=Y^(20t+12)*7^(20k+8)
B=Y^(15t+9)*7^(15k+6)
C=3*Y^(12t+7)*7^(12k+5)
D=Y^(10t+6)*7^(10k+4)
其中，t、k为自然数，Y为待定底数。

A^3=Y^(20t+12)^3*7^(20k+8)^3=Y^(60t+36)*7^(60k+24)
B^4=Y^(15t+9)^4*7^(15k+6)^4=Y^(60t+36)*7^(60k+24)
C^5=3^5*Y^(12t+7)^5*7^(12k+5)^5=243*Y^(60t+35)*7^(60k+25)
D^6=Y^(10t+6)^6*7^(10k+4)^6=Y^(60t+36)*7^(60k+24)

5A^3=5*Y^(60t+36)*7^(60k+24)
3B^4=3*Y^(60t+36)*7^(60k+24)
10C^5=10*243*Y^(60t+35)*7^(60k+25)=2430*Y^(60t+35)*7^(60k+25)
15D^6=15*Y^(60t+36)*7^(60k+24)

15D^6-5A^3-3B^4=(15-5-3)*Y^(60t+36)*7^(60k+24)=Y^(60t+36)*7^(60k+25)
10C^5=2430*Y^(60t+35)*7^(60k+25)
令Y=2430，则
15D^6-5A^3-3B^4=2430^(60t+36)*7^(60k+25)
10C^5=2430^(60t+36)*7^(60k+25)
15D^6-5A^3-3B^4=10C^5
5A^3+3B^4+10C^5=15D^6成立！

丢番图方程：5A^3+3B^4+10C^5=15D^6
其中的一个解是，
A=2430^(20t+12)*7^(20k+8)
B=2430^(15t+9)*7^(15k+6)
C=3*2430^(12t+7)*7^(12k+5)
D=2430^(10t+6)*7^(10k+4)
其中，t、k为自然数。

yangchuanju

仿费尔马解丢番图方程5：
5A^3+3B^4+10C^5=15D^6
设其中一个解是，
A=5*Y^(20t+12)*X^(20k+8)
B=8*Y^(15t+9)*X^(15k+6)
C=3*Y^(12t+7)*X^(12k+5)
D=9*Y^(10t+6)*X^(10k+4)
其中，t、k为自然数，X 、Y为待定底数。

A^3=5^3*Y^(20t+12)^3*X^(20k+8)^3=125*Y^(60t+36)*X^(60k+24)
B^4=8^4*Y^(15t+9)^4*X^(15k+6)^4=4096*Y^(60t+36)*X^(60k+24)
C^5=3^5*Y^(12t+7)^5*X^(12k+5)^5=243*Y^(60t+35)*X^(60k+25)
D^6=9^6*Y^(10t+6)^6*X^(10k+4)^6=4096*Y^(60t+36)*531441*X^(60k+24)

5A^3=5*125*Y^(60t+36)*X^(60k+24)=625*Y^(60t+36)*X^(60k+24)
3B^4=3*4096*Y^(60t+36)*X^(60k+24)=12288*Y^(60t+36)*X^(60k+24)
10C^5=10*243*Y^(60t+35)*X^(60k+25)=2430*Y^(60t+35)*X^(60k+25)
15D^6=15*4096*Y^(60t+36)*531441*X^(60k+24)=7971615*Y^(60t+36)*X^(60k+24)

15D^6-5A^3-3B^4=(7971615-6125-12288)*Y^(60t+36)*X^(60k+24)=7958702*Y^(60t+36)*X^(60k+24)
令X=7958702，Y=2430有
15D^6-5A^3-3B^4=2430^(60t+36)*7958702^(60k+25)
10C^5=2430^(60t+36)*7958702^(60k+25)
15D^6-5A^3-3B^4=10C^5
5A^3+3B^4+10C^5=15D^6成立！

丢番图方程：5A^3+3B^4+10C^5=15D^6
其中的一个解是，
A=5*2430^(20t+12)*7958702^(20k+8)
B=8* 2430^(15t+9)*7958702^(15k+6)
C=3*2430^(12t+7)*7958702^(12k+5)
D=9* 2430^(10t+6)*7958702^(10k+4)
其中，t、k为自然数。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-3-23 06:17
仿费尔马解丢番图方程5：
5A^3+3B^4+10C^5=15D^6
设其中一个解是，

杨老师神机妙算，技艺之高，真乃阳春白雪和者盖寡啊！学生我钦佩啊！

lusishun

yangchuanju 发表于 2022-3-22 14:56
解丢番图方程:
5A^3+3B^4+10C^5=15D^6
其中又一个答案是，

我还没有入门啊，好学习

lusishun

可否能把这个题的所有答案都求出来呢？

费尔马1

lusishun 发表于 2022-3-23 15:09
可否能把这个题的所有答案都求出来呢？

老师您好！
高次不定方程的解是无穷多的，特别是通解公式也是无穷多的！如果方程的次数小于3次，有可能得到所有解的通式，大于等于三次的不定方程不可能得到全部解通式，这个问题就不要再研究了，所以，学生我每次都是说其中一个答案是……

费尔马1

lusishun 发表于 2022-3-23 15:09
可否能把这个题的所有答案都求出来呢？

解丢番图方程:
5A^3+3B^4+10C^5=15D^6
其中一个答案是:
A=b^4*10^（20t+12）*m^（20k+8）
B=c^3*10^（15t+9）*m^（15k+6）
C=10^（12t+7）*m^（12k+5）
D=a^2*10^（10t+6）*m^（10k+4）
其中，a、b、c为正整数，t、k为自然数，
m=15a^12－5b^12－3c^12，m>0

费尔马1

19#楼的解集公式比较好了，但还不是全部解啊！