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春风晚霞： 你介绍了 意大利数学家伽利略（Galileo1564~1642），1638年在他《两种新科学的对话》一书写道:“首先，部分数属于平方数，其它则不是；因此，所有数，包含平方数和非平方数必定多于单独的平方数。然而，对于每个平方数有且只有一个对应的正数平方根，对于每个数都必定有一个确定的平方数；所以，数和平方数不可能某一方更多。”的论述之后，多次坚持 “正整数集合S1={1,2,3,4,5……}与正整数平方集合 S2={1，4.，9，16，……}}” 的元素个数一样多 。他该指出“这是伽利略猜想，是伽利略命题，是康托尔等数学家证明了的、许多数学专家审定的数学教科书写着的结论”， 但笔者认为：伽利略的叙述存在着“所有数，包含平方数和非平方数必定多于单独的平方数” 与“数和平方数不可能某一方更多”矛盾，春风晚霞称“伽利略猜想是”数和平方数一样多。是错误的、片面的的论述。，
关于这个问题，笔者40年前，在张锦文《集合论与连续统假设浅说》（1980年上海教育出版社出版 ）19页 伽利略问题中说的 正整数集合S1={1,2,3,4,5……}与正整数平方集合 S2={1，4.，9，16，……}} 究竟哪个多呢的困惑问题。如何解决这个矛盾或困惑问题呢？如果马虎一点，仅仅从后者的元素是前者元素的平方的一一对应的平方数来看，可以说两个集合的元素个数一样多，但认真一点，从查集合元素个数或数集合元素个数来看，对前者得到，数字个数是1，2，3，4，……的正整数无穷数咧 ，其极限是∞，后者的元素个数依次是前者个元素的方根取整数的∣√n∣ 的无穷数列，这个数列的极限也是∞，根据， ∞ / ∞ 是不定式，∞不是正常实数，无穷集合不是正常集合的事实；再根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一卷一分册的不定式定值计算法，可以得到，前者与后者元素个数的比是 ∞ ，所以，正整数集合{1,2,3,4,5……}比正整数平方集合 S2={1，4.，9，16，……}} 的元素个数多得多。 事实上 前者比后者多了2，3，5，6，7。8.，10，11，……等许多元素。
笔者的这个解决方法没可以说是根据恩格斯在《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节的，48页讲到：“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”的话，应当知道“这两个集合都是由元素个数无限增多的有穷集合序列的趋向性极限”，因此即这两个集合的元素个数 分别是 无穷数咧｛n｝与无穷数咧{∣√n∣} 极限非正常实数∞ ，再根据恩格斯在《自然辩证法》中的“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了[”的论述，应当知道：这两个集合都是 想象性质的非正常集合。它们的元素个数那一的多呢 的问题，只能从他们来源于有穷集合序列极限的事实进行计算。即从非正常实数∞来源于有限数序列的不定式定值法进行计算。 而不能使用康托尔的“一一对应就相等”的法则，这个法则 只能对有穷集合使用，对无穷集合不使用。 只有这样，才能消除“全体等于部分的悖论” ，才能解决伽利略的困惑。
这个问题说明; 毛泽东《实践论》中的话“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的叙述是正确的， 数学理论需要再继续的实践中逐步改进。对于形式逻辑，需要知道：“罗素主张把数学还原为逻辑，并在这一方向上做了大量的工作，……但是，最后他发现无穷公理、选择公理无法还原为逻辑，从而宣告失败”。
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发表于 2022-5-8 16:59
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