偶数素对数量计算式——连乘式的数学理论依据

愚工688

我刚刚补充计算玩几个万亿级别的大偶数，并且记录了用时。对比一下两组相对误差的数据，就会明白，为什么比较大的偶数使用连乘式进行计算时，应该使用修正系数。

1，使用修正系数的连乘式计算的5个9万亿的偶数素对计算值的相对误差情况：
G(9000000000000)= 19098578267，Sp( 9000000000000 *)≈  19089171964.8 , Δ≈-0.0004925,
G(9000000000002)= 8706005249 ，Sp( 9000000000002 *)≈  8701616850.1 , Δ≈-0.0005041,  
G(9000000000004)= 7821717575 ，Sp( 9000000000004 *)≈  7817818444.9 , Δ≈-0.0004985,
G(9000000000006)= 14324181372, Sp(9000000000006 *)≈  14317156642.4 , Δ≈-0.0004904, (1517.57s)
G(9000000000008)= 7161994108 ，Sp( 9000000000008 *)≈  7158439486.8 , Δ≈-0.0004963, (762.20 sec)
计算式如下：
Sp( 9000000000000 *) = 1/(1+ .17621 )*( 9000000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 19089171964.8 , k(m)= 2.66667
Sp( 9000000000002 *) = 1/(1+ .17621 )*( 9000000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 8701616850.1 , k(m)= 1.21557
Sp( 9000000000004 *) = 1/(1+ .17621 )*( 9000000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 7817818444.9 , k(m)= 1.09211
Sp( 9000000000006 *) = 1/(1+ .17621 )*( 9000000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 14317156642.4 , k(m)= 2.00004
Sp( 9000000000008 *) = 1/(1+ .17621 )*( 9000000000008 /2 -2)*p(m) ≈ 7158439486.8 , k(m)= 1

2，没有修正系数的连乘式所计算的连续偶数，可以看到相对误差的偏移0位的具体数据：
以下4个偶数概率计算用时125分钟.无修正.(10万亿级偶数)
G(11111111111110)= 12000220328 ,Sp( 11111111111110 )=  14114669913.7 ,Δ≈0.176200897 ,
G(11111111111112)= 17470455584 ,Sp( 11111111111112 )=  20549005813.6 ,Δ≈0.17621465 ,
G(11111111111114)= 11172207831 ,Sp( 11111111111114 )=  13141002048.5 ,Δ≈0.176222484,
G(11111111111116)= 8805605145  ,Sp( 11111111111116 )=  10357204998.6 ,Δ≈0.176205931,

愚工688

大傻8888888 发表于 2022-6-22 15:50
白新岭在其《k生素数的数量公式》帖子中一般只提供计算结果，不提供计算公式是因为他怕别人抢夺他 ...

我也曾经看到过白新岭先生的一些计算数据，确实在某些区域偶数的素对计算值的计算精度蛮高的。
至于在哪个帖子，什么时间等没有记录下来，就保存了具体的一些数据，没有注意到有没有具体的计算式。

白公式计算值的验证：
3*10^n   积分获得偶数素对（双记）  真值（单记）；  比值=计算值/2/真值 ；
1        1.40000000000000E+01    ；G（30） =  3     ，比值：≈2.3333
2        4.80000000000000E+01    ；G（300）= 21     ，比值：≈1.142857
3        2.18000000000000E+02    ；G（3000）= 104   ，比值：≈1.048077
4        1.23300000000000E+03    ；G（3e4）= 602    ，比值：≈1.024086
5        7.90200000000000E+03    ；G（3e5）= 3915   ，比值：≈1.0091954
6        5.49220000000000E+04    ；G（3e6）= 27502   ，比值：≈0.998509
7        4.03750000000000E+05    ；G（3e7）= 202166  ，比值：≈ 0.99856；
8        3.09275300000000E+06    ；G（3e8）= 1547388  ，比值：≈0.999346；
9        2.44470940000000E+07    ；G（3e9）= 12224533   ，比值：≈0.999919
10        1.98096436000000E+08   ；G（3e10）= 99039834   ，比值：≈1.00008465
11        1.63771039100000E+09   ；G（3e11）= 818772509   ，比值：≈1.000101
12        1.37654427440000E+10   ；G（3e12）= 6881609867  ，比值：≈1.00016152
13        1.17322925134000E+11   ；G（3e13）= 58651540055 ，比值：≈1.00016918

当然我一般给出的计算数据，都是有具体的计算式的，这样可以方便别人验证与探讨。

重生888@

愚工688 发表于 2022-6-25 23:11
我刚刚补充计算玩几个万亿级别的大偶数，并且记录了用时。对比一下两组相对误差的数据，就会明白，为什么比 ...

恭喜愚工先生找到了修正系数规律！

令11111111111110=N
G(N)=12000220328
D(N)=5/6*(N+F*N/lnN)/(ln)^2
       =11405299353                   11405299353/2=5702649676   （一种组合最大下限值）
       DIG=0.950424...
G(N+2)=17470455584
D(N+2)=5702649676*3=17107949029            D/G=0.979250...

G(N+4)=8805605145
D(N+4)=5702649676*1.5=8553974514            D/G=0.971423
预计：
G(11111111111130)=?
D(11111111111130)=5702649676*4=22810598706          D/G=0.95.......

重生888@

重生888@ 发表于 2022-6-26 08:54
恭喜愚工先生找到了修正系数规律！

令11111111111110=N

我用时间少，得益于愚工先生有素数对真值数据。谢谢好友！

大傻8888888

愚工688 发表于 2022-6-25 23:11
我刚刚补充计算玩几个万亿级别的大偶数，并且记录了用时。对比一下两组相对误差的数据，就会明白，为什么比 ...

根据天山草先生的数据，愚工688的修正系数μ的值如下：
10万亿    0. 17335
100万亿      0.17898
1000万亿       0.1855
1亿亿       0.1903844
10亿亿      0.19406
上面10万亿    0. 17335  和  愚工688先生的 0.17621 有误差，计算得出的结果是愚工688计算值的99.757%，精确度是吻合的。
愚工688如果能计算到100万亿，可以看看是否与  100万亿      0.17898  的值是否也吻合。

愚工688

大傻8888888 发表于 2022-6-26 03:30
根据天山草先生的数据，愚工688的修正系数μ的值如下：
10万亿    0. 17335
100万亿      0.17898

按照天山草先生的数据，他的推测我的修正系数μ的值并不准确。
10万亿时的数据：
G(10^ 13 ) = 10533150855, Δ≈0.00221188;

Sp( 10000000000000 *) = 1/(1+ .17335 )*( 10000000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 10556448962.8 , k(m)= 1.33333
Sp( 10000000000002 *) = 1/(1+ .17335 )*( 10000000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 15848790654.4 , k(m)= 2.00178
Sp( 10000000000004 *) = 1/(1+ .17335 )*( 10000000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 9500804066.5 , k(m)= 1.2
Sp( 10000000000006 *) = 1/(1+ .17335 )*( 10000000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 8945590471.5 , k(m)= 1.12987
Sp( 10000000000008 *) = 1/(1+ .17335 )*( 10000000000008 /2 -2)*p(m) ≈ 16588705513 , k(m)= 2.09524
start time :14:39:14, end time:16:59:13use

今天以10万亿 μ= 0. 17335的数据计算了一下，显然他推测的μ值还略小一点，故实际的计算值相对误差呈现正值。
1.17335*1.002212=1.17595 ，μ=0.17595，以这个值为修正系数1/（1+μ）计算10万亿的连续偶数，所得的计算值的相对误差绝对值会比较小，但是正负不确定，即有正有负。

最近电脑比较卡，用时比较多了。（6-27日）

（6-28日）再用μ=0.17595的修正系数计算一下：
G(10^ 13 ) = 10533150855,Sp( 10000000000000* )≈  10533108888.9 , Δ≈-0.0000040 ,

G(10000000000002)=15813767528,(1409.12 sec),Sp( 10000000000002 *)≈  15813749330.7 , Δ≈-0.0000012,

G(10000000000004)=9479735161,(839.88 sec);Sp( 10000000000004* )≈  9479798000 , Δ≈0.0000066  , k(m)= 1.2
time start =08:48:29  ,time end =10:02:47   ,time use =

计算式：
Sp( 10000000000000* ) = 1/(1+ .17595 )*( 10000000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 10533108888.9
Sp( 10000000000002* ) = 1/(1+ .17595 )*( 10000000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 15813749330.7
Sp( 10000000000004* ) = 1/(1+ .17595 )*( 10000000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 9479798000

实际上，μ=0.17595可以适用于9万亿——11万亿范围偶数素对值的高精度计算，也许更大范围。这就是使用修正系数的实际意义。

重生888@

把帖子顶上来，让更多人看看！

重生888@

预计：
G(11111111111130)=?
D(11111111111130)=5702649676*4=22810598706          D/G=0.95.....

重生888@

请杨先生预测下18楼的修正系数是多少？

愚工688

愚工688 发表于 2022-6-27 09:49
按照天山草先生的数据，他的推测我的修正系数μ的值并不准确。
10万亿时的数据：
G(10^ 13 ) = 10533 ...

实际上，μ=0.17595可以适用于9万亿——11万亿范围偶数素对值的高精度计算，也许更大范围。这就是使用修正系数的实际意义。

实际验证一下，看看计算结果怎么样:
G(9500000000000)= 10632784926；Sp( 9500000000000 *)≈10631389423.6 , Δ≈-0.000131,
Sp( 9500000000002 *)≈  7531517737.7 , Δ≈, k(m)= 1.00013
Sp( 9500000000004 *)≈  16065210684.5 , Δ≈, k(m)= 2.13333
Sp( 9500000000006 *)≈  7530953117.9 , Δ≈, k(m)= 1.00005
start time :20:20:05, end time:22:32:21use time :
G(15000000000000)=30730203157,(4099.35s),Sp( 15000000000000 *)≈  30760168360.9 , Δ≈0.000975,
Sp( 15000000000002 *)≈  11932823933.1 , Δ≈,
start time :10:35:42, end time:11:51:05use time :
计算式：
Sp( 15000000000000 *) = 1/(1+ .17595 )*( 15000000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 30760168360.9 ,
Sp( 15000000000002 *) = 1/(1+ .17595 )*( 15000000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 11932823933.1 ,

实际验证了一下，即使计算范围扩大到15万亿，计算值的相对误差也不算大，绝对值小于0.001 。