[原创] 笛卡尔数学学术研究

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笛卡尔方程直角解析解总叙如下：（两极径差方法类似）

两极径和：左焦点在原点在x向上笛卡尔卵形线方程为：
k√(x^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=L (L>0,c>0,k>0) (k变换r' 方程形式及意义不变故只有一种)
【L=kr+r'(加权和）L=r+kr' (加权和） L/k=r/k+r' 等价与：L'=k'r+r' 】
笛卡尔卵形线方程为：
(k^2-1)^2*y^4+2*( (k^2-1)^2*x^2+2*c*(k^2-1)*x+(-c^2-L^2)*k^2+c^2-L^2 )*y^2+ (k*x-x+c-L)*(k*x-x+c+L)*(k*x+x-c-L)*(k*x+x-c+L)
=0;
解：
y1 = -sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)
y2 = sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)
y3= -sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)
y4 = sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

两极径差：左焦点在原点在x向上笛卡尔蛤形线方程为：
k√(x^2+y^2)-√((x-c)^2+y^2)=L；(L>0,c>0,k>0) (k变换r' 方程形式及意义不变故只有一种)
【L=kr-r'(加权差）L=r-kr' (加权差） L/k=r/k-r' 等价与：L'=k'r-r' 】

笛卡尔蛤形线方程为：
(k^2-1)^2*y^4+2*( (k^2-1)^2*x^2+2*c*(k^2-1)*x+(-c^2-L^2)*k^2+c^2-L^2)*y^2 +(k*x-x+c-L)*(k*x-x+c+L)*(k*x+x-c-L)*(k*x+x-c+L)
=0；

y1 = -sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)
y2 = sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)
y3 = -sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)
y4 = sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

以上数据经过计算机验证可以应用  对比可以看到和差曲线方程一致
故根据具体情况其中有两个解根据曲线不同的定义可舍去..........

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根据以上方程的解做出曲线系图像：

笛卡尔卵形线的本质为椭圆一端向一端的曲率逐渐变化 极限为一焦点与另一焦点圆心半径L的圆


笛卡尔蛤形线(数学资料中没有涉及) 本质为双曲线向另一端曲率封闭 有一极限为一焦点

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曲线研究中， 我们很少去研究曲率，研究切线和交点占据主要议题。
但是卵形线的主要议题不能不研究曲率问题。因曲率绝对决定鸡蛋的外形，而不是切线或宽窄比例。
后面详细论证这一问题。
曲率公式较为复杂和繁琐，属于一二级导数联合运用，也较难求解。
下面进行笛卡尔直角方程的端点曲率计算，占用篇幅要长一些也。  

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  笛卡尔方程：
+-k√(x^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=L (L>0,c>0,k>0) (k变换r' 方程形式及意义不变故只有一种)
前面运算过，两方程平方移项简化变为一个方程：
(k^2-1)^2*y^4+2*( (k^2-1)^2*x^2+2*c*(k^2-1)*x+(-c^2-L^2)*k^2+c^2-L^2 )*y^2+ (k*x-x+c-L)*(k*x-x+c+L)*(k*x+x-c-L)*(k*x+x-c+L)=0;

四次方程的四个解为：
y1 = -sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)
y2 = sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)
y3= -sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)
y4 = sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)
四个解包含笛卡尔卵形与圆蛤

当y=0，有：+-k*x+-(x-c)=L;
x1 = (c+L)/(k+1);
x2 = -(c-L)/(k-1);
x3 = (c-L)/(k+1);
x4 = -(c+L)/(k-1).

四个解一一来分析：
k*x+(x-c)=L；（x>0成立，适合右端点在焦距右的k值曲线 k*x+(x-c)=L 在x<0 不符合L>0定义）
x=(c+L)/(k+1)
k*x-(x-c)=L 适合右端点在焦距内的k值曲线
x=-(c-L)/(k-1)
左边是：-k*x-(x-c)=L；（x<0成立，适合左端点在焦距左的k值曲线 -k*x-(x-c)=L在x>0 不符合L>0定义）
x=(c-L)/(k+1)
-k*x+(x-c)=L  适合右端点在焦距外的定义
x=-(c+L)/(k-1)


可以看见：四个解 有两个解y1；y3 L<0 不符合曲线某种定义，计算端点舍去。
曲线的横宽可算得：2a=|x2-x4|=|2L/(k-1)|.

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y2 = sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

导数：
y2’=-(((k^2-1)*x+c)*sqrt((2*c-2*c*k^2)*x+c^2*k^2-c^2+L^2)+L*c*k)/(sqrt((2*c-2*c*k^2)*x+c^2*k^2-c^2+L^2)*sqrt(2*L*k*sqrt((2*c-2*c*k^2)*x+c^2*k^2-c^2+L^2)+((-k^4)+2*k^2-1)*x^2+(2*c-2*c*k^2)*x+(c^2+L^2)*k^2-c^2+L^2))


y4 = sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

导数：
y4’=-(((k^2 - 1)*x + c)*sqrt((-2*c*k^2 + 2*c)*x + c^2*k^2 - c^2 + L^2) - L*c*k)/(sqrt((-2*c*k^2 + 2*c)*x + c^2*k^2 - c^2 + L^2)*sqrt(-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2 + 2*c)*x + c^2*k^2 - c^2 + L^2) + (-k^4 + 2*k^2 - 1)*x^2 + (-2*c*k^2 + 2*c)*x + (L^2 + c^2)*k^2 - c^2 + L^2))


两个有效解y2，y4 各包含一对解数据，对应了卵形线或圆蛤。

根据图像可知：
两个解根据参数L，c的不同取值，一解有时会带着另一部分曲线出现，如卵形线带着部分圆蛤线，或圆蛤带着部分卵形线。

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如：令L=8，c=4，k=2
y2 = sqrt(32*sqrt(-24*x + 112) - 9*x^2 - 24*x + 368)/3；


y4 = sqrt(-32*sqrt(-24*x + 112) - 9*x^2 - 24*x + 368)/3;


两个解均有缺少部分或多余部分曲线..........

y1 = -sqrt(32*sqrt(-24*x + 112) - 9*x^2 - 24*x + 368)/3


y3 = -sqrt(-32*sqrt(-24*x + 112) - 9*x^2 - 24*x + 368)/3


四个解y1=-y2 ；y3=-y4
因为四个解中有部分值为虚数  故曲线不够理想完整或多余部分

准备再算一个极坐标参数方程并限定取值再看...........

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笛卡尔曲线极坐标式：

r1+kr2=C （焦距D）[r1-k'r2=C等效 即k=-k',故只有一种,只推导一种方程]

极坐标式：
(r*cos(a) + D)^2 + r^2*sin(a)^2 = (-k*r + C)^2  （原点在右焦点）
(k^2 - 1)*r^2 - r*(2*D*cos(a) + 2*C*k) + C^2 - D^2 = 0

两个解：
r=(C*k + D*cos(a)  +  sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1)，a  （图像为笛卡尔蛤形或卵形）

r=(C*k + D*cos(a)  -  sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1)，a  （图像为笛卡尔卵形或蛤形）

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令：L=8，c=4，k=2

两个解：

r = 16/3 + (4*cos(x))/3 + sqrt(128*cos(x) + 16*cos(x)^2 + 112)/3



r = 16/3 + (4*cos(x))/3 - sqrt(128*cos(x) + 16*cos(x)^2 + 112)/3



可见两个解均为卵形线，且没有缺少或多余部分....... 此极坐标解析解应用较为方便。

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下面是作者用此方程画出的笛卡尔曲线簇  ( 当C>D,k>0,为卵形线系）

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应用直角解析解取其一：
y2 = sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

二级导数：
y2"=-(L*k*(-2*c*k^2 + 2*c)/sqrt(c^2*k^2 - 2*c*k^2*x + L^2 - c^2 + 2*c*x) - 2*k^4*x + 4*x*k^2 - 2*x - 2*c*k^2 + 2*c)^2/(4*(2*L*k*sqrt(c^2*k^2 - 2*c*k^2*x + L^2 - c^2 + 2*c*x) - k^4*x^2 + 2*k^2*x^2 - x^2 - 2*c*k^2*x + 2*c*x + c^2*k^2 + L^2*k^2 - c^2 + L^2)^(3/2)*(k^2 - 1)) + (-L*k*(-2*c*k^2 + 2*c)^2/(2*(c^2*k^2 - 2*c*k^2*x + L^2 - c^2 + 2*c*x)^(3/2)) - 2*k^4 + 4*k^2 - 2)/(2*sqrt(2*L*k*sqrt(c^2*k^2 - 2*c*k^2*x + L^2 - c^2 + 2*c*x) - k^4*x^2 + 2*k^2*x^2 - x^2 - 2*c*k^2*x + 2*c*x + c^2*k^2 + L^2*k^2 - c^2 + L^2)*(k^2 - 1))。

简化：
y2"=-(2*L*(c^2*(c^2 - 3*c*x + 3/2*x^2)*k^4 + (-3*c^2*x^2 + (-3*L^2*c + 3*c^3)*x + (5*L^2*c^2)/2 - c^4/2)*k^2 + L^4 - L^2*c^2/2 + 3*L^2*c*x - c^4/2 + (3*c^2*x^2)/2)*k*sqrt(L^2 + (k^2 - 1)*c^2 + (-2*k^2*x + 2*x)*c) + (c*(c - 2*x)*k^2 + L^2 - c^2 + 2*c*x)*(c*(L^2 + c^2)*(c - 2*x)*k^4 + (L^4 + 4*L^2*c^2 - c^4 + 2*c^3*x)*k^2 + L^2*(L^2 - c^2 + 2*c*x)))*(k + 1)*(k - 1)/((2*L*k*sqrt(L^2 + (k^2 - 1)*c^2 + (-2*k^2*x + 2*x)*c) - k^4*x^2 + (L^2 + c^2 - 2*c*x + 2*x^2)*k^2 + (L + c - x)*(L - c + x))^(3/2)*(c*(c - 2*x)*k^2 + L^2 - c^2 + 2*c*x)^2)。

极其复杂不用说还要运算，故舍弃直角方程解析解求曲线曲率。