毛泽东两论在虚数、复数理论中的应用

elim

jzkyllcjl 90多岁了，没有学习能力喽。我前两天就给出了计算：

据 Maclaurin 公式或 Taylor 定理，对每个\(n\), 存在某 \(\xi_n\in (0,\pi)\) 使得
\(\displaystyle\left|\sum_{k = 0}^n\frac{\cos^{(k)}(0)}{n!}\pi^k-\cos(\pi)\right|=\dfrac{|\cos^{(n)}(\xi_n)|}{(n+1)!}\pi^{n+1}\le \frac{\pi^{n+1}}{(n+1)!}\)
对这个式子关于\(n\)取极限即得 \(-1 =\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}\)

jzkyllcjl

elim 发表于 2022-7-6 08:12
jzkyllcjl 90多岁了，没有学习能力喽。我前两天就给出了计算：

据 Maclaurin 公式或 Taylor 定理，对每 ...

你的最后表达式右端的和式是加到∞ ，你做到了吗？

elim

请吃狗屎的 jzkyllcjl 解读一下什么叫加到无穷大。

jzkyllcjl

Nicolas2050 发表于 2022-7-5 08:57
你的数学水平差的原因在这里，开口闭口就是毛泽东！就问你欧美没有毛泽东数学咋先进？他们没有毛泽东不活了 ...

毛泽东两论引用了恩格斯的数学论述，所以他的两论对数学研究有用，数学研究不能排斥毛泽东的两论。

Nicolas2050

夸大某个人的作用，把他变成具有神仙般非凡品质的超人……是不能容许的。这个人似乎无所不知，洞察一切，能代替所有人的思考，能做一切事情，他的行为没有半点错误。 我怎么看，都像是在说北朝鲜

春风晚霞

前些天我从《复变函数》一书中选取了两道带＊号的习题贴于论坛，意欲告诉论友“虚数不虚”的事实。现在已过几天，论友亦无动静。春风晚霞只好贴出自已地尝试，以全事之始终。

【原题】：设a,b为复常数，试证
①、cosa+cos(a+b)+cos(a+2b)+……+cos(a+nb)= \(\cfrac{sin{(n+1)\over2}b}{sin{b\over 2}}\)cos(a+\(nb\over 2\)).
②、sina+sin(a+b)+sin(a+2b)+……+sin(a+nb)= \(\cfrac{sin{(n+1)\over2}b}{sin{b\over 2}}\)sin(a+\(nb\over 2\)).

【分析】由原题设a、b为复常数，且①、②两式的对称性及所呈现的规律性，本题宜用复数的三角式予以证明。故可设复数u=cosa+isina;v=cosb+isinb;则u\(v^k\)=cos(a+kb)+isin(a+kb);于是（cosa+isia）+(cosa+isinb)+(cosa+isin2b)(cosa+isin3b)+……+(cosa+isinnb)=[cosa+cos(a+b)+cos(a+2b)+cos(a+3b)+……+cos(a+nb)]+i[sina+sin(a+b)+sin(a+2b)+sin(a+3b)+……+sin(a+nb)}= \(\displaystyle\sum_{k=0}^n  uv^k\)。于是本题可用复数的等比数列前n项和公式证明

【证明】设u=cosa+isina;v=cosb+isinb;则u\(v^k\)=cos(a+kb)+isin(a+kb)，S=\(\displaystyle\sum_{k=0}^n  uv^k\)，所以，S=\(\dfrac{u(1-v^{n+1})}{1-v}\)，也就是：
S=\(\dfrac{(cosa+isina)-{cos[a+(n+1)b]-isin[a+(n+1)b ]}}{1-(cosb+isinb)}\)
=\(\dfrac{(cosa-cos[a+(n+1)b])+i[{sina-sin[a+(n+1)b]]}}{(1-cosb)-isinb)}\)
=\(\dfrac{2sin(a+\cfrac{(n+1)b}{2})sin\cfrac{(n+1)b}{2}-2icos(a+\cfrac{(n+1)b}{2})sin\cfrac{(n+1)b}{2}\}}{2(1-cosb)}\)[(1-cosb)+isib]（*）
=\(\cfrac{sin\dfrac{(n+1)b}{2}}{sin^2\dfrac{b}{2}}\)\([sin(a+\cfrac{(n+1)b}{2}\))-\(icos(a+\cfrac{(n+1)b}{2}\))]\([(2sin^2\cfrac{b}{2}\)+\(isin\cfrac{b}{2}cos\cfrac{b}{2}\)]
=\(\cfrac{sin\dfrac{(n+1)b}{2}}{sin\dfrac{b}{2}}\)\([sin(a+\cfrac{(n+1)b}{2}\))-\(icos(a+\cfrac{(n+1)b}{2}\))]\([(sin\cfrac{b}{2}\)+\(icos\cfrac{b}{2}\)]
= \(\cfrac{sin\dfrac{(n+1)b}{2}}{sin\dfrac{b}{2}}\)\([cos\dfrac {3π}2+(a+\cfrac{(n+1)b}{2}\))]+i\(sin[\dfrac {3π}2+(a+\cfrac{(n+1)b}{2}\))]\([(cos(\dfrac {π}2-\cfrac{b}{2}\))+\(isin(\dfrac {π}2-\cfrac{b}{2}\))]
=\(\cfrac{sin\dfrac{(n+1)b}{2}}{sin\dfrac{b}{2}}\)\([cos[2π+(a+\cfrac{(nb}{2}\))]+i\(sin[2π+(a+\cfrac{nb}{2}\))]
=\(\cfrac{sin\dfrac{(n+1)b}{2}}{sin\dfrac{b}{2}}\)\([cos(a+\cfrac{nb}{2}\))+i\(sin(a+\cfrac{nb}{2}\))]
所以：
①、cosa+cos(a+b)+cos(a+2b)+cos(a+3b)+……+cos(a+nb)=\(\cfrac{sin\dfrac{(n+1)b}{2}}{sin\dfrac{b}{2}}\) \(cos(a+\cfrac{nb}{2}\))
②、sina+sin(a+b)+sin(a+2b)+sin(a+3b)+……+sin(a+nb)=\(\cfrac{sin\dfrac{(n+1)b}{2}}{sin\dfrac{b}{2}}\) \(sin(a+\cfrac{nb}{2}\))

【证毕】
   
【证后闲聊】
       本证明也许还有不尽人意的地方，特别是把证题的过程写成LaTeX文本时还有一些需作进一步改进的地方。如带＊号的那行就多了半边括号“}”，怎么也去不掉。
       我的LaTeX文本编写技术是elim先生教会的。有朋友说我是elim先生的粉丝，这不全对。应该说他是我的老师(虽然他在论坛中只发过一贴，为我解LaTeX文本编写之惑)，虽然他永远比我年青。然“吾师道也，夫庸知其年之先后生于吾乎？是故无贵无贱，无长无少，道之所存，师之所存也。”elim先生，春风晚霞为此谢过了。
       今年六\(\small\bullet\)一节那天，春风晚霞与耄耋老友品茗茶轩，闻邻校儿歌阵阵，感由心生。感慨之余，试填卜算子\(\small\bullet\)《六\(\small\bullet\)一耄耋会》一词。词曰：茶舍听儿喧，耄耋童心妒。徜若时光退七旬，我等咸欢顾。才咏夕阳红，又作青春赋。芳草萋萋沐晚霞，丝染池边树。
       人之生老病死是自然之规，我们之今日也是他人之明天。老年朋友们不必自卑，顽强生活，笑度余生。数学论坛不欢迎我们，难道家我们就没有别的去处么？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-7-8 00:57
前些天我从《复变函数》一书中选取了两道带＊号的习题贴于论坛，意欲告诉论友“虚数不虚”的事实。现在已过 ...

春风晚霞： 你的证明结果与原题不同，而且你已经说了星号的问题。你能走动，你已经看到的这个题的出处，请你与原书作者联系，请他们给出解答。虽然我不会动了，但你得到解答后，请你发表在这里。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-7-8 10:35
春风晚霞： 你的证明结果与原题不同，而且你已经说了星号的问题。你能走动，你已经看到的这个题的出处， ...

Jzkyllcjl先生：
       看来你还是没看懂我的证明，我在证后闲聊中所说的『把证题的过程写成LaTeX文本时还有一些需作进一步改进的地方。如带＊号的那行就多了半边括号“}”，怎么也去不掉。』是指把手写的证明，写成LaTeX文本时还有一些技能技巧，需要我更进一步学习和掌握。并不是什么“证明结果与原题不同”。如果我的证明结果与原题结果不同，那只说明我的证明是错误的，我还有什么脸去与“原书作者联系，请他们给出解答”？不过还是感谢先生的回复，你虽然没看懂这个证明，但至少说明你还是看了这个证明嘛！

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-7-8 03:15
Jzkyllcjl先生：
       看来你还是没看懂我的证明，我在证后闲聊中所说的『把证题的过程写成LaTeX文 ...

对原题是不是可以应用数学数学归纳法，先证n=1,时成立，然后，……。这个方法你是知道的。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-7-8 14:17
对原题是不是可以应用数学数学归纳法，先证n=1,时成立，然后，……。这个方法你是知道的。

对于没学复变函数的人来说，当然只能用数学归纳证明了。不过用归纳法证明，就是递推归纳这一步都比用复数三角式证明麻烦得多，你若不信可去试试。更何况我贴出此题的目的，是要告诉像那些认为虚数无用的人“虚数不虚”的道理。你教过复变函数，不会也认为复数无用吧？