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本帖最后由 春风晚霞 于 2022-7-15 22:22 编辑
关于极限可达性的论述，有兴趣的网友可参阅徐利治先生《论无限》一书，第二章第六节﹝关于极限可达情形的讨论﹞。春风晚霞不打算直接引用徐老先生的论述原文（原文较多，其内容远非几个贴子的容量），春风晚霞从以下方面给出较直观的论述和证明
一、两个古老的数学问题：
1、庄子之棰：
《庄子\(\centerdot\)杂篇\(\centerdot\)天下》给出了这样一个命题：一尺之捶，日取其半，万世不竭。如果我们把这个命题翻译成数学语言，则可得数列\(a_1\)=\(1\over 2^1\)、\(a_2\)=\(1\over 2^2\)、\(a_3\)=\(1\over 2^3\)……\(a_n\)=\(1\over 2^n\)……由于在有限范围内无论n为何值，都有\(1\over 2^n\)≠0，所以有“万世不竭”的猜想。取现代的最小长度单位幺尺（1尺=\(10^{24}\)幺尺)为“日取其半”工具的刃宽，当然这个宽度一定比庄子时代工具的刃宽小得多。我们知道当余量小于刃宽时，日取其半的操作必然终止。也就说当\(1\over 2^n\)＜\(1\over 10^{24}\)①时日取其半的工作也就必然结束。在不等式①两端取常用对数（即以10为底的对数）得：n ≥\(24\over lg2\)<\(24\over 0.3\)=80,即当n=80天时，日取其半的工作也就结束了。当然80天远比万世小得多，更比∞小得更多。所以当n→∞时 \(a_n\)=\(1\over 2^n\)=0即极限可达。
2、芝诺悖论：
古希腊数学家芝诺提出了这样一个命题：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。”也有学者把芝诺的这个命题简单的说成“一个人永远走不出一间屋子”。现在我们假屋子的进深（如果把屋子的的地平面看作矩形，则矩形的长边长叫进深 ，短边长叫开间）为S米，成年人的鞋长为L厘米。则芝诺命题可翻译成数列{\(S\over 2^1\),\(S\over 2^2\),\(S\over 2^3\),……\(S\over 2^n\)……}，我们知道当剩下的部分小于L 时，走的动作必然结束。取S=8米，L=40厘米，则当\(8\over 2^n\)<0.4②时走的动作必然结束（有学者戏称这时不叫“走”，叫“跳”），解不等式②得n>【\(lg20\over lg2\)】+1=5,即第五项以后各项均不存在。因为n=5远小于n→∞，所以极限可达。
注意：
①关于一中的两个问题哲学家柏拉图、亚历士多德、休模、康德、黑格尔、恩格斯（也许还包括芝诺和庄子本人）都认为所给命题不真，只是各位哲学家的辩思根据和辩思技巧不同。本贴是根据恩格斯关于实无穷论述写成（只是借助其思想，并非原文复述）
②在牛顿-莱布尼茨初创微积分（及以前）时，极限的概念是极端、最大限度之意，文学中“压死骆驼的最后一根稻草”、宋玉辞赋所说“东家之子，增之一分则太长，减之一分则太短 。著粉则太白，施朱则太赤。”均表示极限客观限存在并且可达之意。
二、命题：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(x)\)=A,则当x→∞时，f(x)=A
【证明】反证法，假设当x→∞时，f(x)≠A，则f(x)-A≠0,不妨设｜f(x)-A︱=\(\alpha\)；令\(\varepsilon\)=\(1\over 2\)\(\alpha\),则对\(\varepsilon\)=\(1\over 2\)\(\alpha\)，有｜f(x)-A︱=\(\alpha\)＞\(1\over 2\)\(\alpha\)，这与对任给\(\varepsilon\)＞0，存在N，当n≥N时，恒有｜f(x)-A︱<\(\varepsilon\)矛盾，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(x)\)≠A，这与已知\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(x)\)=A矛盾。所以当x→∞时，f(x)≠A的假设不成立。所以若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(x)\)=A,则当x→∞时，f(x)=A命题为真，即极限可达。【证毕】
注意：由一可知对于f(x)=\(1\over a^n\)\(\;\)a>1,n∈N 这样的函数f(x)极限也是可达的。所以，对先生所赐原题，若时间按\(t_i\)=1-\(1\over 2^i\)\(\;\)i∈N规律取值，可达1分钟。 |
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发表于 2022-7-15 16:23