竞赛看谁第一个达到顶峰

yangchuanju

模5余1、2、3、4的1-19、1-18、1-19、1-17级连续素数之最小素数分别是：
11, 181, 4831, 22501, 216401, 2229971, 3873011, 36539311, 36539311, 196943081, 14293856441, 154351758091, 154351758091, 154351758091, 11992377039481, 41947964349971, 253931039382791, 253931039382791, 253931039382791（A057618）

7, 337, 1627, 57427, 192637, 776257, 15328637, 70275277, 244650317, 452942827, 452942827, 73712513057, 319931193737, 2618698284817, 10993283241587, 54010894438097, 101684513099627, 196948379177587（A068150）

3, 283, 6793, 22963, 752023, 2707163, 44923183, 44923183, 961129823, 1147752443, 6879806623, 131145172583, 177746482483, 795537219143, 4028596340953, 6987191424553, 269013937530553, 281659318133953, 281659318133953（A057631）

19, 139, 3089, 18839,123229, 2134519, 12130109, 23884639, 363289219, 9568590299, 24037796539, 130426565719, 405033487139, 3553144754209, 4010803176619, 71894236537009, 71894236537009（A057636）

全是抄袭的人家的！

yangchuanju

在“在线整数序列百科全书OEIS”网站中可以检索到以下网页：
A054679
First of n consecutive primes which differ by a multiple of 6.
相差 6 的倍数的 n 个连续素数中的第一个。
2, 23, 47, 251, 1741, 1741, 19471, 118801, 148531, 148531, 406951, 1820111, 2339041, 19725473, 19725473, 73451737, 232301497, 400414121, 489144599, 489144599, 766319189, 766319189, 21549657539, 21549657539, 21549657539, 140432294381, 140432294381, 437339303279, 1552841185921, 1552841185921, 1552841185921

A057620
Initial prime in first sequence of n consecutive primes congruent to 1 modulo 6.
n 个连续素数的第一个序列中的初始素数与 1 模 6 相等。
7, 31, 151, 1741, 1741, 1741, 19471, 118801, 148531, 148531, 406951, 2339041, 2339041, 51662593, 51662593, 73451737, 232301497, 450988159, 1444257673, 1444257673, 1444257673, 24061965043, 24061965043, 43553959717, 43553959717

A057622
Initial prime in first sequence of n consecutive primes congruent to 5 modulo 6.
n 个连续素数的第一个序列中的初始素数与 5 模 6 相等。
5, 23, 47, 251, 1889, 7793, 43451, 243161, 726893, 759821, 1820111, 1820111, 10141499, 19725473, 19725473, 136209239, 400414121, 400414121, 489144599, 489144599, 766319189, 766319189, 21549657539, 21549657539, 21549657539, 140432294381, 140432294381, 437339303279, 1871100711071, 3258583681877

A055625
First prime starting a chain of exactly n consecutive primes congruent to 1 modulo 6.
第一个素数开始正好 n 个连续素数的链，与 1 模 6 相等。
7, 31, 151, 3049, 7351, 1741, 19471, 118801, 498259, 148531, 406951, 2513803, 2339041, 89089369, 51662593, 73451737, 232301497, 450988159, 1558562197, 2506152301, 1444257673, 28265029657, 24061965043, 87996684091, 43553959717

A055626
First prime starting a chain of exactly n consecutive primes congruent to 5 modulo 6.
第一个素数开始正好是 n 个连续素数的链，与 5 模 6 相等。
5, 23, 47, 251, 1889, 7793, 43451, 243161, 726893, 759821, 2280857, 1820111, 10141499, 40727657, 19725473, 136209239, 744771077, 400414121, 1057859471, 489144599, 13160911739, 766319189, 38451670931, 119618704427, 21549657539, 141116164769, 140432294381, 437339303279

A054679        A057620        A057622        A055625        A055626
1 2        1 7        1 5        1 7        1 5
2 23        2 31        2 23        2 31        2 23
3 47        3 151        3 47        3 151        3 47
4 251        4 1741        4 251        4 3049        4 251
5 1741        5 1741        5 1889        5 7351        5 1889
6 1741        6 1741        6 7793        6 1741        6 7793
7 19471        7 19471        7 43451        7 19471        7 43451
8 118801        8 118801        8 243161        8 118801        8 243161
9 148531        9 148531        9 726893        9 498259        9 726893
10 148531        10 148531        10 759821        10 148531        10 759821
11 406951        11 406951        11 1820111        11 406951        11 2280857
12 1820111        12 2339041        12 1820111        12 2513803        12 1820111
13 2339041        13 2339041        13 10141499        13 2339041        13 10141499
14 19725473        14 51662593        14 19725473        14 89089369        14 40727657
15 19725473        15 51662593        15 19725473        15 51662593        15 19725473
16 73451737        16 73451737        16 136209239        16 73451737        16 136209239
17 232301497        17 232301497        17 400414121        17 232301497        17 744771077
18 400414121        18 450988159        18 400414121        18 450988159        18 400414121
19 489144599        19 1444257673        19 489144599        19 1558562197        19 1057859471
20 489144599        20 1444257673        20 489144599        20 2506152301        20 489144599
21 766319189        21 1444257673        21 766319189        21 1444257673        21 13160911739
22 766319189        22 24061965043        22 766319189        22 28265029657        22 766319189
23 21549657539        23 24061965043        23 21549657539        23 24061965043        23 38451670931
24 21549657539        24 43553959717        24 21549657539        24 87996684091        24 119618704427
25 21549657539        25 43553959717        25 21549657539        25 43553959717        25 21549657539
26 140432294381        26 502429570231        26 140432294381        26 502429570231        26 141116164769
27 140432294381        27 1552841185921        27 140432294381        27 1820249525317        27 140432294381
28 437339303279        28 1552841185921        28 437339303279        28 1892672756731        28 437339303279
29 1552841185921        29 1552841185921        29 1871100711071        29 4236406530997        29 1871100711071
30 1552841185921        30 1552841185921        30 3258583681877        30 2155866992887        30 3258583681877
31 1552841185921        31 1552841185921        31 5611314737339        31 1552841185921        31 5611314737339
32 24738041398529        32 72766002003139        32 24738041398529        32 72766002003139        32 24738041398529
33 41173225034771        33 82817943587341        33 41173225034771        33 271871440800943        33 106467884271767
34 41173225034771        34 82817943587341        34 41173225034771        34 82817943587341        34 241865704894727
35 41173225034771        35 275604952420573        35 41173225034771        35 275604952420573        35 41173225034771

yangchuanju

9楼回答不完全正确，其一应该用A057620和A057622分别回答模3余1和模3余2的（即模6余1和模6余5）；
其二白新岭希望给出连续10个模3余1或模3余2的素数链（串），而10楼所给为11级的。
比较A057679和A057620、A057622三网页，前一网页实际上是后二网页中的较小者。

如果用A055625和A055626回答白新岭的问题则更为确切，
比较A057620和A055625两网页，前一网页中有不少相同素数（如4,5,6级中的1741），
后一网页中的最小素数则恰好是对应级数最小素数，稍大些（4,5,6级分别为3049,7351和1741）；
同样比较A057622和A055626两网页，前一网页中有不少相同素数（如11,12级中的1280111），
后一网页中的最小素数则恰好是对应级数最小素数，稍大些（11,12级分别为2280857和1820111）。
前一网页中的最小素数一路增大，后一网页中的素数波动式的增大。

yangchuanju

10楼给出了模3余1的11级连续素数串的最小素数406951，也是恰好11级连续素数串的最小素数；
而模3余2的11级连续素数串的最小素数是1820111，恰好11级连续素数串的最小素数是2280857。
级数        模3余1素数        模3余2素数        模3余2素数恰11级
1        406951        1820111        2280857
2        406969        1820123        2280869
3        406981        1820129        2280899
4        406993        1820153        2280911
5        407023        1820171        2280917
6        407047        1820201        2280947
7        407059        1820213        2280959
8        407083        1820237        2280977
9        407119        1820249        2280983
10        407137        1820261        2280989
11        407149        1820267        2281001

12级的407153模3不再余1；
12级的1820279模3仍余2；
12级的2281003模3不再余2。

yangchuanju

在OEIS网站检索不到模7的不同余数的连续素数串，只检索到一款：
A284598
Triangle read by rows: n-th row lists the smallest set of n+1 consecutive primes with n gaps all divisible by 14.
按行读取的三角形：第 n 行列出了 n+1 个连续素数的最小集合，其中 n 个间隙都可被 14 整除。
113, 127, 5939, 5953, 5981, 158867, 158881, 158909, 158923, 894287, 894301, 894329, 894343, 894371, 6996307, 6996349, 6996377, 6996419, 6996433, 6996461, 9984437, 9984451, 9984479, 9984493, 9984521, 9984563, 9984577

Triangle of primes:素数三角形
113,127——两素数间距14
5939,5953,5981——三素数间距分别为14和28=2*14
158867,158881,158909,158923
894287,894301,894329,894343,894371
6996307, 6996349, 6996377, 6996419, 6996433, 6996461
9984437, 9984451, 9984479, 9984493, 9984521, 9984563, 9984577
887048411, 887048453, 887048467, 887048509, 887048537, 887048551,887048579, 887048621
19417691299, 19417691341, 19417691369, 19417691411, 19417691453, 19417691467, 19417691509, 19417691537, 19417691551

Triangle of corresponding gaps:连续素数间距三角形
14
14, 28
14, 28, 14
14, 28, 14, 28
42, 28, 42, 14, 28
14, 28, 14, 28, 42, 14
42, 14, 42, 28, 14, 28, 42
42, 28, 42, 42, 14, 42, 28, 14
28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28
28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14

yangchuanju

另自己在前5万个素数中检测到：
4级模7同余数的连续素数串7个：
素数号        素数        模7余数        级数
14590        158867        2        1
14591        158881        2        2
14592        158909        2        3
14593        158923        2        4
28542        331697        2        1
28543        331711        2        2
28544        331739        2        3
28545        331753        2        4
29320        341687        3        1
29321        341701        3        2
29322        341729        3        3
29323        341743        3        4
31544        370247        3        1
31545        370261        3        2
31546        370373        3        3
31547        370387        3        4
33316        393017        2        1
33317        393031        2        2
33318        393059        2        3
33319        393073        2        4
36784        437867        3        1
36785        437881        3        2
36786        437909        3        3
36787        437923        3        4
47227        575261        1        1
47228        575303        1        2
47229        575317        1        3
47230        575359        1        4

yangchuanju

对于模11，模13的OEIS更是检索不到有用的网页，自己在前5万个素数中检测到：
3级模11同余数的连续素数串7个：
素数号        素数        模11余数        级数
22765        259033        5        1
22766        259099        5        2
22767        259121        5        3
32013        376307        8        1
32014        376351        8        2
32015        376373        8        3
37283        444187        7        1
37284        444209        7        2
37285        444253        7        3
37903        452453        1        1
37904        452497        1        2
37905        452519        1        3
38963        466651        9        1
38964        466673        9        2
38965        466717        9        3
40538        487111        9        1
40539        487133        9        2
40540        487177        9        3
47908        584281        5        1
47909        584303        5        2
47910        584347        5        3


3级模13同余数的连续素数串3个：
素数号        素数        模13余数        级数
31212        365851        5        1
31213        365903        5        2
31214        365929        5        3
36069        428873        3        1
36070        428899        3        2
36071        428951        3        3
38458        459961        8        1
38459        460013        8        2
38460        460039        8        3

yangchuanju

补充一个模5同余的1-19级连续素数串的最小素数表
A054681
Start of a run of consecutive primes of length n each ending with the same digit.
一系列长度为 n 的连续素数的开始，每个素数都以相同的数字结尾。
2, 139, 1627, 18839, 123229, 776257, 3873011, 23884639, 36539311, 196943081, 452942827, 73712513057, 154351758091, 154351758091, 4010803176619, 6987191424553, 71894236537009, 196948379177587, 253931039382791
它实际上应是模5余1,2,3,4四表中的同级素数串中的最小素数的最小者。

A054681        A057618        A057631        A068150        A057636
1 2        1 11        1 3        1 7        1 19
2 139        2 181        2 283        2 337        2 139
3 1627        3 4831        3 6793        3 1627        3 3089
4 18839        4 22501        4 22963        4 57427        4 18839
5 123229        5 216401        5 752023        5 192637        5 123229
6 776257        6 2229971        6 2707163        6 776257        6 2134519
7 3873011        7 3873011        7 44923183        7 15328637        7 12130109
8 23884639        8 36539311        8 44923183        8 70275277        8 23884639
9 36539311        9 36539311        9 961129823        9 244650317        9 363289219
10 196943081        10 196943081        10 1147752443        10 452942827        10 9568590299
11 452942827        11 14293856441        11 6879806623        11 452942827        11 24037796539
12 73712513057        12 154351758091        12 131145172583        12 73712513057        12 130426565719
13 154351758091        13 154351758091        13 177746482483        13 319931193737        13 405033487139
14 154351758091        14 154351758091        14 795537219143        14 2618698284817        14 3553144754209
15 4010803176619        15 11992377039481        15 4028596340953        15 10993283241587        15 4010803176619
16 6987191424553        16 41947964349971        16 6987191424553        16 54010894438097        16 71894236537009
17 71894236537009        17 253931039382791        17 269013937530553        17 101684513099627        17 71894236537009
18 196948379177587        18 253931039382791        18 281659318133953        18 196948379177587       
19 253931039382791        19 253931039382791        19 281659318133953               

yangchuanju

模5同余的1-19级连续素数串的素数表
A329594        数值        间距
一级        ——        ——
1 2        2        ——
二级        ——        ——
2 139        139        ——
3 149        149        10
三级        ——        ——
4 1627        1627        ——
5 1637        1637        10
6 1657        1657        20
四级        ——        ——
7 18839        18839        ——
8 18859        18859        20
9 18869        18869        10
10 18899        18899        30
五级        ——        ——
11 123229        123229        ——
12 123239        123239        10
13 123259        123259        20
14 123269        123269        10
15 123289        123289        20
六级        ——        ——
16 776257        776257        ——
17 776267        776267        10
18 776287        776287        20
19 776317        776317        30
20 776327        776327        10
21 776357        776357        30
七级        ——        ——
22 3873011        3873011        ——
23 3873041        3873041        30
24 3873061        3873061        20
25 3873071        3873071        10
26 3873091        3873091        20
27 3873101        3873101        10
28 3873151        3873151        50
八级        ——        ——
29 23884639        23884639        ——
30 23884669        23884669        30
31 23884699        23884699        30
32 23884709        23884709        10
33 23884739        23884739        30
34 23884759        23884759        20
35 23884769        23884769        10
36 23884799        23884799        30
九级        ——        ——
37 36539311        36539311        ——
38 36539381        36539381        70
39 36539401        36539401        20
40 36539411        36539411        10
41 36539431        36539431        20
42 36539441        36539441        10
43 36539471        36539471        30
44 36539491        36539491        20
45 36539501        36539501        10
十级        ——        ——
46 196943081        196943081        ——
47 196943101        196943101        20
48 196943141        196943141        40
49 196943161        196943161        20
50 196943171        196943171        10
51 196943221        196943221        50
52 196943231        196943231        10
53 196943261        196943261        30
54 196943281        196943281        20
55 196943291        196943291        10
十一级        ——        ——
56 452942827        452942827        ——
57 452942837        452942837        10
58 452942857        452942857        20
59 452942927        452942927        70
60 452942947        452942947        20
61 452942977        452942977        30
62 452943047        452943047        70
63 452943097        452943097        50
64 452943107        452943107        10
65 452943137        452943137        30
66 452943157        452943157        20
十二级        ——        ——
67 73712513057        73712513057        ——
68 73712513137        73712513137        80
69 73712513177        73712513177        40
70 73712513207        73712513207        30
71 73712513317        73712513317        110
72 73712513327        73712513327        10
73 73712513377        73712513377        50
74 73712513387        73712513387        10
75 73712513477        73712513477        90
76 73712513557        73712513557        80
77 73712513597        73712513597        40
78 73712513627        73712513627        30
十三级        ——        ——
79 154351758091        154351758091         ——
80 154351758131        154351758131         40
81 154351758181        154351758181         50
82 154351758191        154351758191         10
83 154351758241        154351758241         50
84 154351758251        154351758251         10
85 154351758361        154351758361         110
86 154351758371        154351758371         10
87 154351758401        154351758401         30
88 154351758461        154351758461         60
89 154351758481        154351758481         20
90 154351758521        154351758521         40
91 154351758541        154351758541         20
十四级        ——        ——
92 154351758091        154351758091         ——
93 154351758131        154351758131         40
94 154351758181        154351758181         50
95 154351758191        154351758191         10
96 154351758241        154351758241         50
97 154351758251        154351758251         10
98 154351758361        154351758361         110
99 154351758371        154351758371         10
100 154351758401        154351758401         30
101 154351758461        154351758461         60
102 154351758481        154351758481         20
103 154351758521        154351758521         40
104 154351758541        154351758541         20
105 154351758551        154351758551         10
十五级        ——        ——
106 4010803176619        4010803176619         ——
107 4010803176649        4010803176649         30
108 4010803176719        4010803176719         70
109 4010803176739        4010803176739         20
110 4010803176749        4010803176749         10
111 4010803176839        4010803176839         90
112 4010803176859        4010803176859         20
113 4010803176869        4010803176869         10
114 4010803176899        4010803176899         30
115 4010803176959        4010803176959         60
116 4010803176979        4010803176979         20
117 4010803177009        4010803177009         30
118 4010803177019        4010803177019         10
119 4010803177039        4010803177039         20
120 4010803177049        4010803177049         10
十六级        ——        ——
121 6987191424553        6987191424553         ——
122 6987191424583        6987191424583         30
123 6987191424613        6987191424613         30
124 6987191424643        6987191424643         30
125 6987191424673        6987191424673         30
126 6987191424683        6987191424683         10
127 6987191424793        6987191424793         110
128 6987191424803        6987191424803         10
129 6987191424823        6987191424823         20
130 6987191424833        6987191424833         10
131 6987191424883        6987191424883         50
132 6987191424893        6987191424893         10
133 6987191424923        6987191424923         30
134 6987191425003        6987191425003         80
135 6987191425013        6987191425013         10
136 6987191425073        6987191425073         60
十七级        ——        ——
137 71894236537009        71894236537009         ——
138 71894236537049        71894236537049         40
139 71894236537099        71894236537099         50
140 71894236537219        71894236537219         120
141 71894236537349        71894236537349         130
142 71894236537369        71894236537369         20
143 71894236537399        71894236537399         30
144 71894236537429        71894236537429         30
145 71894236537499        71894236537499         70
146 71894236537549        71894236537549         50
147 71894236537559        71894236537559         10
148 71894236537579        71894236537579         20
149 71894236537609        71894236537609         30
150 71894236537649        71894236537649         40
151 71894236537709        71894236537709         60
152 71894236537759        71894236537759         50
153 71894236537769        71894236537769         10
十八级        ——        ——
154 196948379177587        196948379177587         ——
155 196948379177597        196948379177597         10
156 196948379177677        196948379177677         80
157 196948379177687        196948379177687         10
158 196948379177707        196948379177707         20
159 196948379177717        196948379177717         10
160 196948379177747        196948379177747         30
161 196948379177777        196948379177777         30
162 196948379177857        196948379177857         80
163 196948379177867        196948379177867         10
164 196948379177897        196948379177897         30
165 196948379178037        196948379178037         140
166 196948379178107        196948379178107         70
167 196948379178167        196948379178167         60
168 196948379178217        196948379178217         50
169 196948379178337        196948379178337         120
170 196948379178407        196948379178407         70
171 196948379178437        196948379178437         30
十九级        ——        ——
172 253931039382791        253931039382791         ——
173 253931039382851        253931039382851         60
174 253931039382871        253931039382871         20
175 253931039382931        253931039382931         60
176 253931039383031        253931039383031         100
177 253931039383061        253931039383061         30
178 253931039383081        253931039383081         20
179 253931039383141        253931039383141         60
180 253931039383171        253931039383171         30
181 253931039383211        253931039383211         40
182 253931039383321        253931039383321         110
183 253931039383361        253931039383361         40
184 253931039383391        253931039383391         30
185 253931039383451        253931039383451         60
186 253931039383471        253931039383471         20
187 253931039383561        253931039383561         90
188 253931039383711        253931039383711         150
189 253931039383741        253931039383741         30
190 253931039383751        253931039383751         10