设 f(0)=f(1)=0, f'' 连续，恒取负值. 求 P=(a,f(a)) 使折线 (0,0), P, (1,0) 最长.

永远

elim 发表于 2022-11-12 12:43
其实你那个椒固椭圆内接n边形的问题跟这个问题是同类的．

二阶导数<0, 说明是 凸函数，f(0)=f(1)=0，说是有在（0，1）区间函数图像都在x轴上方。取中点 x=1/2 ， 此是折线长度最大

Future_maths

没有理由的结论。

Future_maths

没有理由的结论。

elim

Future_maths 发表于 2022-11-11 22:06
没有理由的结论。

未必是 1/2, 但一定会有极大值。

Future_maths

极大值与最大值不是同一个概念

Future_maths

y=f(x)是一个变化的函数

elim

Future_maths 发表于 2022-11-12 17:32
y=f(x)是一个变化的函数

最大值是极大值．极大值是唯一的，否则f’’不会恒小于0了．

Future_maths

折线长度是f(x)的函数，这是一个变分学的问题。即折线长度随不同的f(x)而变化。

elim

Future_maths 发表于 2022-11-12 22:59
折线长度是f(x)的函数，这是一个变分学的问题。即折线长度随不同的f(x)而变化。

主贴不是要求凸函数f, 而是对任意给定的的凸函数f求相应的最长折线点．所以这不是变分学问题．

elim

Future_maths 发表于 2022-11-12 22:59
折线长度是f(x)的函数，这是一个变分学的问题。即折线长度随不同的f(x)而变化。

\(h(x)=\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x^2+f^2}+\sqrt{(x-1)^2+f^2}\,\big)\small=\dfrac{x+ff'}{\sqrt{x^2+f^2}}+\dfrac{x-1+ff'}{\sqrt{(x-1)^2+f^2}}\)
\(h(0+)=\sqrt{1+(f'(0))^2}-1>0,\;h(1-)=1-\sqrt{1+(f'(1))^2}<0\)
据介值定理，有\(a\in(0,1)\)使\(h(a)=0\). 即折现长有极值点..........
期待各位进一步讨论.

永远，你的椭圆n点内接多边形周长最大问题与本主贴问题有关系，看出来没有？