设 f(0)=f(1)=0, f'' 连续，恒取负值. 求 P=(a,f(a)) 使折线 (0,0), P, (1,0) 最长.

Future_maths

没有理由的结论。

Future_maths

没有理由的结论。

elim

Future_maths 发表于 2022-11-11 22:06
没有理由的结论。

未必是 1/2, 但一定会有极大值。

Future_maths

极大值与最大值不是同一个概念

Future_maths

y=f(x)是一个变化的函数

elim

Future_maths 发表于 2022-11-12 17:32
y=f(x)是一个变化的函数

最大值是极大值．极大值是唯一的，否则f’’不会恒小于0了．

Future_maths

折线长度是f(x)的函数，这是一个变分学的问题。即折线长度随不同的f(x)而变化。

elim

Future_maths 发表于 2022-11-12 22:59
折线长度是f(x)的函数，这是一个变分学的问题。即折线长度随不同的f(x)而变化。

主贴不是要求凸函数f, 而是对任意给定的的凸函数f求相应的最长折线点．所以这不是变分学问题．

elim

Future_maths 发表于 2022-11-12 22:59
折线长度是f(x)的函数，这是一个变分学的问题。即折线长度随不同的f(x)而变化。

\(h(x)=\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x^2+f^2}+\sqrt{(x-1)^2+f^2}\,\big)\small=\dfrac{x+ff'}{\sqrt{x^2+f^2}}+\dfrac{x-1+ff'}{\sqrt{(x-1)^2+f^2}}\)
\(h(0+)=\sqrt{1+(f'(0))^2}-1>0,\;h(1-)=1-\sqrt{1+(f'(1))^2}<0\)
据介值定理，有\(a\in(0,1)\)使\(h(a)=0\). 即折现长有极值点..........
期待各位进一步讨论.

永远，你的椭圆n点内接多边形周长最大问题与本主贴问题有关系，看出来没有？

cgl_74

这个题目很简单啊，难道我理解错了？讨论下哈。
1、折线没有最大值。f(x)其实可以是一个向上凸出的曲线。曲线的最高点可以趋于无穷。所以折线长度是趋于无穷大的。
2、折线有最小值。p位于（0，0）或（1，0）时，长度为1.