求：X^2+Y^4=Z^2的正整数解

lusishun

lusishun 发表于 2022-11-21 06:55
我是按
Y^4=Z^2-X^2=（Z+X）（Z-X） 开始的，

把Y^4=Y^3·Y，

lusishun

lusishun 发表于 2022-11-21 06:56
把Y^4=Y^3·Y，

=（Z+X）（Z-X）'
所以
X=（Y^3-Y）/2，
Z=（Y^3+Y）/2.

任给一个大于1的y值，即可得一组X，Y，Z的组解

lusishun

求不定方程：
X^2022+Y^2024=Z^2022的一组正整数解.

看谁捷足先登。

lusishun

朱先生，程先生，蔡家雄先生是这方面的高手啊！

费尔马1

lusishun 发表于 2022-10-30 07:10
猜想：
不定方程X^2+Y^n=Z^2（n是正整数），Y可取大于1的所有整数（X、Z由Y值确定）。

不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=2^(n-1)*(a^n -b^n)
Y=4ab
Z=2^(n-1)*(a^n +b^n)
其中，a、b为正整数，a＞b
注：此题存在本原解，即存在X、Y、Z两两互质的解（通解式另祥）。
例，当指数n=9时，不定方程X^2+Y^9=Z^2
其中一个解是：
X=19201502884
Y=105
Z=19241856491
不定方程X^2+Y^4=Z^2
其中一个解是：
X=3
Y=2
Z=5

费尔马1

不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=(a^n -b^n)/2
Y=ab
Z=(a^n +b^n)/2
其中，a、b为互质的奇数，a＞b
注：此解为本原解，即X、Y、Z两两互质。

朱明君

求满足勾股数方程x^2+y^4=z^2的所有整数解
设[y^(4-1)-y]/2=x，[y^(4-1)+y]/2=z，
    其中y为≥2的正整数，
则x^2+y^4=z^2，

朱明君

求满足勾股数方程x^2+y^n=z^2的所有整数解
设[y^(n-1)-y]/2=x，[y^(n-1)+y]/2=z，
    其中y为大于等于2的正整数，n为大于等于4的正整数，
则x^2+y^n=z^2，

朱明君

，，，，，，，，，，

费尔马1

朱老师的解：
求满足勾股数方程x^2+y^4=z^2的所有整数解
设[y^(4-1)-y]/2=x，[y^(4-1)+y]/2=z，
    其中y为≥2的正整数，
则x^2+y^4=z^2，
x=12   y=3  z=15  有公约数3
我的解是，x=40   y=3  z=41，
鲁老师的x^2+y^5=z^2 其中一组解是：X=7 Y=2 Z=9，可见，学生的公式也不是全部本原解。
我与朱老师的解互不包括，这说明朱老师的不是全部解，我的也不是全部解。
谢谢老师们指点。