金蝉脱壳数组——等幂和数组——华林问题

yangchuanju

寻找12次等幂和数组 （节录）
https://zhidao.baidu.com/question/3908803.html

一、一次等幂和 1+4=2+3
二、二次等幂和 [4,9,2]=[8,1,6]
三、三次等幂和 13+73+83+143=23+43+113+133
四、四次等幂和 44+54+224+284+414=14+134+144+324+404
五、五次等幂和 15+65+75+175+185+235=25+35+115+135+215+225
六、六次等幂和 16+196+286+596+656+906+1026 =26+146+396+456+766+856+1036
七、七次等幂和 17+57+107+247+287+427+477+517 =27+37+127+217+317+407+497+507
八、八次等幂和 18+258+318+848+878+1348+1588+1828+1988 =28+188+428+668+1128+1168+1698+1758+1998
九、九次等幂和〔1, 25, 251, 427, 429, 825, 827, 1003, 1229, 1253〕＝〔 11, 13, 267, 365, 485, 769, 889, 987, 1241, 1243〕
十、十一次等幂和 〔1, 23, 49, 131, 181, 259, 347, 425, 475, 557, 583, 605〕＝〔 7, 11, 61, 115, 209, 233, 373, 397, 491, 545, 595, 599〕

yangchuanju

可抹的五阶等幂和数组
http://blog.chinaunix.net/uid-20375883-id-1958771.html

近幾個月是完全沒有碰有關數論的小玩意，倒是筆者的「數友」卻仍在研究，最近廣州的韓湛新兄又寄給我一些新發現，就是如本文標題所說的「可抹的五次等冪和數組」。
　　網友如果是第一次接觸到「可抹」這個名詞，建議先看看右列的貼子：「萬樹軍的可抹幻方」。
　　在一般的科普讀物裡，介紹可抹等冪和數組時，次數通常都只是二次的，但韓湛新兄所發現的可抺等冪和數組，卻是五次的。如下面這一對數組就是可抹的：
        (32156, 83692, 77547, 51383, 45238, 96774)5=(33147, 87656, 72592, 56338, 41274, 95783)5
　　韓兄說，這對數組還可以單抹去某一個數位的數，例如同時把各數的十位數抹去，卻仍是五次等冪和的關係：
        (3216, 8362, 7757, 5133, 4528, 9674)5=(3317, 8766, 7252, 5638, 4124, 9573)5
其鏡反數依然構成可抹的等冪和數組：
        (6123, 2638, 7577, 3315, 8254, 4769)5=(7133, 6678, 2527, 8365, 4214, 3759)5
此外，還可以將之合併成全由回文數組成的可抹五次等冪和數：
        (61233216, 26388362, 75777757, 33155133, 82544528, 47699674)5=(71333317, 66788766, 25277252, 83655638, 42144124, 37599573)5

　　韓兄還另外覓得兩個同樣是可抹的五次等冪和數組，但數組中各數的位數只有四位：
第一個
        (5632, 7315, 2761, 6127, 1573, 3256)5=(2365, 5137, 1672, 7216, 3751, 6523)5
第二個
        (1441, 2112, 4884, 6226, 8998, 9669)5=(4114, 1221, 8448, 2662, 9889, 6996)5
這兩個數組易見都是構成得很有規律的，因而也顯出其奇巧與神秘。

yangchuanju

从网上搜索到一款陈钦梧、陈沐天编制的《十六阶三次幻方》，
它的16行、16列、主副对角线之一次、二次、三次和全相等，一次和2040，二次和34780，三次和66585600；
34组16级整数串两两组合，共可得34*33/2=561组不同的等幂和数组。如：

33        29        27        25        145        82        84        114
141        171        173        110        230        228        226        222
                                                       
51        39        123        63        233        109        206        218
37        49        146        22        192        132        216        204
就是其中的一组等幂和数组。
由16对特定的整数组成的等幂和数组最高可达15次，但这组数字来源于16阶3次幻方，组成等幂和数组时只有3次。

陈钦梧  陈沐天  十六阶三次幻方                                                               
行列        1        2        3        4        5        6        7        8
1        33        29        27        25        145        82        84        114
2        51        39        123        63        233        109        206        218
3        177        167        225        211        168        244        150        41
4        124        200        4        248        111        90        48        102
5        195        179        175        231        198        58        95        240
6        61        77        81        117        246        213        113        14
7        202        252        106        126        96        43        12        101
8        118        54        70        188        209        235        19        163
9        254        98        184        66        65        75        237        93
10        136        156        250        128        23        181        170        17
11        130        134        182        186        8        172        35        239
12        52        2        148        68        191        147        242        155
13        223        227        229        139        158        196        143        36
14        0        120        72        6        47        164        161        152
15        79        89        31        45        86        10        104        215
16        205        217        133        193        56        21        221        140

行列        9        10        11        12        13        14        15        16
1        141        171        173        110        230        228        226        222
2        37        49        146        22        192        132        216        204
3        214        105        11        87        44        30        88        78
4        153        207        165        144        7        251        55        131
5        15        160        197        57        24        80        76        60
6        241        142        42        9        138        174        178        194
7        154        243        212        159        129        149        3        53
8        92        236        20        46        67        185        201        137
9        162        18        180        190        189        71        157        1
10        238        85        74        232        127        5        99        119
11        16        220        83        247        69        73        121        125
12        100        13        108        64        187        107        253        203
13        219        112        59        97        116        26        28        32
14        103        94        91        208        249        183        135        255
15        40        151        245        169        210        224        166        176
16        115        34        234        199        62        122        38        50

yangchuanju

又从网上搜索到一款钟明用类自然数编制的《十六阶三次幻方》，
它的16行、16列、主副对角线之一次、二次、三次和全都等于0；
34组16级整数串两两组合，共可得34*33/2=561组不同的等幂和数组。如：
-1        42        -44        3        64        -23        21        -62
193        -234        236        -195        -256        215        -213        254
                                                       
35        -12        10        -33        -30        53        -55        32
-227        204        -202        225        222        -245        247        -224
就是其中的一组等幂和数组。
由16对特定的整数组成的等幂和数组最高可达15次，但这组数字来源于16阶3次幻方，组成等幂和数组时只有3次。

鐘明16階幻方k(1,2,3,)=0。                                                               
――――――――――――                                                               
行列        1        2        3        4        5        6        7        8
1        -1        42        -44        3        64        -23        21        -62
2        35        -12        10        -33        -30        53        -55        32
3        5        -46        48        -7        -60        19        -17        58
4        -39        16        -14        37        26        -49        51        -28
5        81        -122        124        -83        -112        71        -69        110
6        -115        92        -90        113        78        -101        103        -80
7        -85        126        -128        87        108        -67        65        -106
8        119        -96        94        -117        -74        97        -99        76
9        130        -169        171        -132        -191        152        -150        189
10        -164        139        -137        162        157        -182        184        -159
11        -134        173        -175        136        187        -148        146        -185
12        168        -143        141        -166        -153        178        -180        155
13        -210        249        -251        212        239        -200        198        -237
14        244        -219        217        -242        -205        230        -232        207
15        214        -253        255        -216        -235        196        -194        233
16        -248        223        -221        246        201        -226        228        -203

行列        9        10        11        12        13        14        15        16
1        193        -234        236        -195        -256        215        -213        254
2        -227        204        -202        225        222        -245        247        -224
3        -197        238        -240        199        252        -211        209        -250
4        231        -208        206        -229        -218        241        -243        220
5        -145        186        -188        147        176        -135        133        -174
6        179        -156        154        -177        -142        165        -167        144
7        149        -190        192        -151        -172        131        -129        170
8        -183        160        -158        181        138        -161        163        -140
9        -66        105        -107        68        127        -88        86        -125
10        100        -75        73        -98        -93        118        -120        95
11        70        -109        111        -72        -123        84        -82        121
12        -104        79        -77        102        89        -114        116        -91
13        18        -57        59        -20        -47        8        -6        45
14        -52        27        -25        50        13        -38        40        -15
15        -22        61        -63        24        43        -4        2        -41
16        56        -31        29        -54        -9        34        -36        11

yangchuanju

香港万树军对等幂和数组、幻方进行了广泛深入地研究，编制出了一系列的幻方、类自然数幻方及等幂和幻方；
下面是万树军编制的6款8阶3次等幂和幻方，其一次幻和分别等于16,32,64,128,256和512；
幻方上半部32数一次、二次、三次和与同一个幻方下半部32数的一次、二次、三次、四次、五次和全都等于0。

第一款
-1        -47        -59        -21        42        8        20        62
-31        -49        -37        -11        56        26        14        36
12        38        50        32        -35        -13        -25        -55
22        60        48        2        -61        -19        -7        -41
                                                       
-43        -5        -17        -63        4        46        58        24
-53        -27        -15        -33        30        52        40        10
34        16        28        54        -9        -39        -51        -29
64        18        6        44        -23        -57        -45        -3

第二款                                                       
-1        20        8        -21        43        -58        -46        63
36        -49        -37        56        -10        27        15        -30
-54        39        51        -34        32        -13        -25        12
23        -6        -18        3        -61        48        60        -41
                                                       
24        -5        -17        4        -62        47        59        -42
-53        40        52        -33        31        -14        -26        11
35        -50        -38        55        -9        28        16        -29
-2        19        7        -22        44        -57        -45        64

第三款                                                       
-1        22        -59        48        45        -58        23        -4
38        -49        32        -11        -10        29        -52        39
15        -28        53        -34        -35        56        -25        14
-44        63        -18        5        8        -19        62        -41
                                                       
-43        64        -17        6        7        -20        61        -42
16        -27        54        -33        -36        55        -26        13
37        -50        31        -12        -9        30        -51        40
-2        21        -60        47        46        -57        24        -3

第四款                                                       
-1        26        14        -21        -24        15        27        -4
42        -49        -37        62        63        -40        -52        43
-54        45        57        -34        -35        60        48        -55
29        -6        -18        9        12        -19        -7        32
                                                       
30        -5        -17        10        11        -20        -8        31
-53        46        58        -33        -36        59        47        -56
41        -50        -38        61        64        -39        -51        44
-2        25        13        -22        -23        16        28        -3

第五款                                                       
-1        -47        22        60        57        23        -46        -4
50        32        -37        -11        -10        -40        29        51
27        53        -16        -34        -35        -13        56        26
-44        -6        63        17        20        62        -7        -41
                                                       
-43        -5        64        18        19        61        -8        -42
28        54        -15        -33        -36        -14        55        25
49        31        -38        -12        -9        -39        30        52
-2        -48        21        59        58        24        -45        -3

第六款                                                       
-1        50        38        -21        -24        39        51        -4
-31        48        60        -11        -10        57        45        -30
43        -28        -16        63        62        -13        -25        42
53        -6        -18        33        36        -19        -7        56
                                                       
54        -5        -17        34        35        -20        -8        55
44        -27        -15        64        61        -14        -26        41
-32        47        59        -12        -9        58        46        -29
-2        49        37        -22        -23        40        52        -3

yangchuanju

万树军  自然數等冪和幻方定理（节录）

※※※※※※
定理：一個自然數構造的2^n階幻方，上部分與下部分能夠構成等冪和k=1,2,3……(2n-1)，就稱呼這個幻方叫「自然數等冪和幻方」。構造這樣性質的幻方，只有唯一的一組解。
…………

◆幻方的階數遞增,等冪和的次數遞增,符合資格的解◆
4階幻方：上部分與下部分構成等冪和k=1,2,3,只有唯一的一組解。
8階幻方：上部分與下部分構成等冪和k=1,2,3,4,5,只有唯一的一組解。
16階幻方：上部分與下部分構成等冪和k=1,2,3,4,5,6,7,只有唯一的一組解。
2^5階幻方：上部分與下部分構成等冪和k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,只有唯一的一組解。
……
2^n階幻方：上部分與下部分，等冪和k=1,2,3……(2n-1)，只有唯一的一組解。
…………


万树军  類自然數(lzrs)等冪和幻方的猜想（节录）

猜想：一個類自然數(lzrs)構造的2^n階幻方， 假如要求幻方的上部分與下部分  ,能夠構成等冪和k=1, 2,3……(2n-1)的 , 估計符合資格的解，可能只有2n組。
※※※※※※

◆幻方的階數遞增,等冪和的次數遞增,符合資格的解◆
4階幻方：上部分與下部分構成等冪和k=1,2,3，有4組解。
8階幻方：上部分與下部分可以構成等冪和k=1,2,3,4, 5，有6組解。
16階幻方：上部分與下部分可以構成等冪和k=1,2,3,4, 5,6,7，有8組解。
2^5階幻方：上部分與下部分能夠構成等冪和k=1,2,3, 4,5,6,7,8,9，有10組解。
……
2^n階幻方：上部分與下部分能夠構成等冪和k=1,2,3…… (2n-1)，有2n組解。
…………

【附注】万树军的定理和猜想中的说法并不一致，究竟那个对，只有认真研究万树军的有关文档或直接向万树军咨询方可弄明白。

yangchuanju

万树军的4款四阶三次等幂和幻方数组如下，等幂和数组的一次、二次、三次和全都等于0，但幻方的结构没有搜索到。
以下仅是万树军的4组等幂和数组：只知等号前的8数位于幻方上半部，等号后的8数位于幻方的下半部。

(-1),2,(-7),8,(-11),12,(-13),14=(-3),4,(-5),6,(-9),10,(-15),16

(-1),3,(-6),8,(-10),12,(-13),15=(-2),4,(-5),7,(-9),11,(-14),16

(-1),(-4),5,8(-10),(-11),14,15=(-2),(-3),6,7,(-9),(-12),13,16

(-1),(-4),(-6),(-7),9,12,14,15=(-2),(-3),(-5),(-8),10,11,13,16

括号内的数字均为负数。

yangchuanju

高次幻方

高次幻方由连续自然数1------N的平方,组成的N乘N阶方阵,如果每行每列,两条对角线上各数之和都等,就叫做一次N阶幻方,简称N阶幻方.
高次幻方:
由连续自然数1------N的平方,组成的N乘N阶方阵,如果每行每列,两条对角线上各数之和都等,就叫做一次N阶幻方,简称N阶幻方.
如果一个N阶幻方,它的每行每列,两条对角线上各数之二次幂和(也称平方和)都相等,就叫做二次N阶幻方,简称N阶平方幻方.
如果一个N阶平方幻方,它的每行每列,两条对角线上各数之三次幂和(也称立方和)都相等,就叫做三次N阶幻方,简称N阶立方幻方.
如果一个k次N阶幻方,它的每行每列,两条对角线上各数之(k+1)次幂和都相等,就叫做(k+1)次N阶幻方.
已发现的
最小的二次幻方是8阶平方幻方.(法国:G. Pfeffermann1905年构造)
最小的三次幻方是12阶三次幻方.(德国:Walter Trump2002年构造)
最小的四次幻方是243阶四次幻方,(中国四川:潘凤雏2004年构造)
最小的五次幻方是729阶五次幻方.(中国四川:李文2003年构造)
最小的广义五次幻方是36阶五次幻方.(中国四川:李文2008年构造)
最小的三维平方幻方是16阶平方幻立方(中国四川:钟明2013年构造)

yangchuanju

昨晚付费从网上购买并下载了一款彭保旺编制的16阶全息幻立方，幻立方的简介如下：

该幻方性质：       
        1、所用数据为1至4096的连续自然数。
        2、该幻方从整体上来看是一个完美16阶立体幻方。
           即：各行和、各列和、各竖和、各二维泛对角线和、各三维泛对角线和均等于32776。
        3、将此幻方等分八等份后，每一等份都是一个8阶广义完美立体幻方。等分方法见右侧示意图。
           即：各行和、各列和、各竖和、各二维泛对角线和、各三维泛对角线和均等于16388。
        4、在上述任意一个8阶广义完美立体幻方中，任意取2×2×2的小立方体，其八个数字之和都等于16388。
        说明：上述性质的检验分别在本文件中的“整检、part 1至part 8”表格中。

第一层左上角1/4是：
  969        3184          817        3224          521        3504          753        3416
2624        1433        2760        1377        3072        1113        2824        1185
3568          625        3352          649        3120          945        3288          841
1049        2952        1249        2944        1497        2632        1313        2752
1009        3160          777        3248          561        3480          713        3440
2568        1441        2816        1369        3016        1121        2880        1177
3544          585        3376          689        3096          905        3312          881
1057        3008        1241        2888        1505        2688        1305        2696

yangchuanju

等幂和问题
等幂和问题是数论中一个有趣的问题，所谓等幂和即将左右不全等的等式两边各数字做同次方(幂)并相加后，能使等式成立，即能满足下方一系列等式者，称作"等幂和"。
关于这类数组的规律，尚无清楚且公认解答。
已知最大的解为A = {±22, ±61, ±86, ±127, ±140, ±151}，B = {±35, ±47, ±94, ±121, ±146, ±148}，n=11。

A        B        A^2        B^2        A^3        B^3
-151        -148        -22801        -21904        -3442951        -3241792
-140        -146        -19600        -21316        -2744000        -3112136
-127        -121        -16129        -14641        -2048383        -1771561
-86        -94        -7396        -8836        -636056        -830584
-61        -47        -3721        -2209        -226981        -103823
-22        -35        -484        -1225        -10648        -42875
22        35        484        1225        10648        42875
61        47        3721        2209        226981        103823
86        94        7396        8836        636056        830584
127        121        16129        14641        2048383        1771561
140        146        19600        21316        2744000        3112136
151        148        22801        21904        3442951        3241792
和        0        0        0        0        0

A        B        A^4        B^4
-151        -148        -519885601        -479785216
-140        -146        -384160000        -454371856
-127        -121        -260144641        -214358881
-86        -94        -54700816        -78074896
-61        -47        -13845841        -4879681
-22        -35        -234256        -1500625
22        35        234256        1500625
61        47        13845841        4879681
86        94        54700816        78074896
127        121        260144641        214358881
140        146        384160000        454371856
151        148        519885601        479785216
和        0        0        0

A        B        A^5        B^5
-151        -148        -78502725751        -71008211968
-140        -146        -53782400000        -66338290976
-127        -121        -33038369407        -25937424601
-86        -94        -4704270176        -7339040224
-61        -47        -844596301        -229345007
-22        -35        -5153632        -52521875
22        35        5153632        52521875
61        47        844596301        229345007
86        94        4704270176        7339040224
127        121        33038369407        25937424601
140        146        53782400000        66338290976
151        148        78502725751        71008211968
和        0        0        0

A        B        A^6        B^6
-151        -148        -11853911588401         -10509215371264
-140        -146        -7529536000000         -9685390482496
-127        -121        -4195872914689         -3138428376721
-86        -94        -404567235136         -689869781056
-61        -47        -51520374361         -10779215329
-22        -35        -113379904         -1838265625
22        35        113379904         1838265625
61        47        51520374361         10779215329
86        94        404567235136         689869781056
127        121        4195872914689         3138428376721
140        146        7529536000000         9685390482496
151        148        11853911588401         10509215371264
和        0        0        0

计算中，负数的奇次方是负数，没有什么可说的；但负数的偶次方本是正数，必须改成负数；
按此方法计算下去，计算到11次方，两组数据和之差都等于0，是没有什么问题的；
继续计算下去，也是两组数据和之差都等于0，指数可延续到无穷大——因为A和B数值上下两半的数字绝对值相等，只各差一个正负号，
不论指数多大，数组A和B的和都等于0，故差也都等于0。