较简

lusishun

更简单的，X^4+Y^6=Z^4，便于普及

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-11-15 20:45
解大勾股数方程：
（A^2）^2+（B^3）^2=（C^5）^2
即A^4+B^6=C^10

费尔马1的大勾股数方程通解分析：
（A^2）^2+（B^3）^2=（C^5）^2
即A^4+B^6=C^10
A=256*uv*(u^4-v^4)^(15k+10)*(u^4+v^4)^(15k+12)
B=32*(u^4-v^4)^(10k+7)*(u^4+v^4)^(10k+8)
C=8*(u^4-v^4)^(6k+4)*(u^4+v^4)^(6k+5)
其中，u、v为正整数，u＞v，k为0或正整数。

令弦等于u^4+v^4，股等于u^4-v^4，
则勾等于[(u^4+v^4)^2-(u^4-v^4)^2]^0.5=[4*u^4*v^4]^0.5=2*u^2*v^2。
u\v        1        2        3        4        5
u^4-v^4                                       
2        15                               
3        80        65                       
4        255        240        175               
5        624        609        544        369       
6        1295        1280        1215        1040        671
u^4+v^4                                       
2        17                               
3        82        97                       
4        257        272        337               
5        626        641        706        881       
6        1297        1312        1377        1552        1921
2u^2*v^2                                       
2        8                               
3        18        72                       
4        32        128        288               
5        50        200        450        800       
6        72        288        648        1152        1800
2u^2*v^2,  u^4-v^4,  u^4+v^4是一组勾股数；但都不是平方数。
2u^2*v^2不是完全平方数，乘以2方是完全平方数。

费尔马令A=256*uv……，A^4=2^32*uv*……=2^30*……*4*u^4*v^4
B=32*……，B^6=2^30*……
C=8*……，C^10=2^30*……
将A^4,  B^6,  C^10写完整，再将三项中底数和指数都相同的部分去掉，
三项中分别剩余(2u^2*v^2)^2,  (u^4-v^4)^2,  (u^4+v^4)^2因子各一个；
它们的三个底数是一组勾股数。

另外如果将BC中的32和8去掉，A中的256uv改为√2*uv，则A^4=4u^4*v^4*……是一个完全平方数了，
为圆整非整数的√2，费尔马在ABC中分别添加了因数256,32,8；4,6,10次方后变成2^32,2^30,2^30；
其中A^4项多出一个4，再乘以u^4*v^4并开平方，最终2u^2*v^2与u^4-v^4和u^4+v^4形成一组勾股数！
注意：A^4+B^6=C^10的通解的3个底数是一组勾股数，非通解是勾股数耶！

yangchuanju

解丢番图方程：
（6）2916A^4+64B^6=46656C^10
2916=4*3^6
64=2^6
46656=2^6*3^6=6^6
仿费尔马的解法
[(u^4+v^4)^2-(u^4-v^4)^2]^0.5=[4u^4*v^4}^0.5=2u^2*v^2
分别以(u^4-v^4)和(u^4+v^4)为底数的话，另一个底数应是2u^2*v^2；
A=ka*2*uv*……，A^2=ka^2*2^2*u^2*v^2*……，
A^4=ka^4*2^4*u^4*v^4*……，2916A^4=ka^4*2^4*3^6*u^4*v^4*……；
B=kb*……，B^3=kb^3*……，
B^6=kb^6*……，64B^6=kb^6*2^6*……;
C=kc*……，C^5=kc^5*……，
C^10=kc^10*……，46656C^10=kc^10*2^6*3^6*……;
第二项中没有素因子3，令kb=3，则64B^6=2^6*3^6*……；
在第一项中令ka=2，则2916A^4=2^6*3^6*(2u^2*v^2)^2；
在第三项中令kc=1，则46656C^10=2^6*3^6*……；
三项中都有2^6*3^6，另外第一项中尚有一项(2u^2*v^2)^2。
在第二项中应多出一个因子u^4-v^4；
第三项中应多出一个因子u^4+v^4；以便形成一组勾股数。

通解周期部分系数：15,10,6=lcm(4,6,10)/4，/6，/10
底数u^4-v^4的非周期数：10=[lcm(4,10)*2]/4
7=(lcm(4,10)*2+2)/6
4=lcm(4,10)*2/10
底数u^4+v^4的非周期数：12=lcm(4,6)*4/4
8=lcm(4,6)*4/6
5=[lcm(4,6)*4+2]/10
令通解为：
A=2uv*(u^4-v^4)^(15k+10)*(u^4+v^4)^(15k+12)
B=3*(u^4-v^4)^(10k+7)*(u^4+v^4)^(10k+8)
C=(u^4-v^4)^(6k+4)*(u^4+v^4)^(6k+5)
通解中u和v为大于等于2的正整数，且u>v；k为0或正整数。
检验略。

至此，费尔马《较简》中的6个丢番图方程全部解出。

白新岭

你所研究的这些，可以说称得上经典。但是，我因为种种原因，还是，不能涉猎这些，因为时间不允许，我急着把合成方法论这本书出版了，我担心迟了，别人捷足先登。