趣味无穷的梅森数和梅森因子

yangchuanju

梅森因子的倍数关系
梅森因子减1除以指数都是整数，
这些整数（倍数）是2,6,8；10,14,16；18,22,24；……
没有4,12,20，……8k+4倍的，为什么？

2^2-1=3，是个例外，3-1除以2等于1，不属于上面的两数列中的任何一个。

2^3-1=7, (7-1)/3=2;
2^5-1=31, (31-1)/5=6;
2^7-1=127, (127-1)/7=18;
2^11-1=2047=23*89, (23-1)/11=2, (89-1)/11=8, (2047-1)/11=186≯2*8*11=176;
原因是因子减1造成的。
2^23-1=8388607=47*178481, (47-1)/23=2, (178481-1)/23=7760, (8388607-1)/23=364722;
2、7760、364722都在倍数数列的第1行数中，分别是8*0+2、8*970、8*45590+2。
364722/7760=47.00025773，不是整数，原因还是减1造成的。

4、12、20……的23倍加1数是：93,277,461,645,829,1013……；其中277,461,829,1013都是素数，但它们都不是2^23-1的素因子。

yangchuanju

2^29-1=536870911=233*1103*2089=233*2304167=1103*468737=2089*256999
6个因子减1除以29分别等于8,38,72,79454,16784,8862；
3素因子减1相除分别等于4.75、1.89…、9，23复合因子2304167减1除以233减1等于9931.75。
按照太阳对于3因子梅森数因子间倍数处理方法：
2因减1除以1因减1、3因减1除以1因减1、23因减1除以1因减1分别等于4.75、9、9931.75，
为不整除+整除+不整除类型。

yangchuanju

各因子减1以后再互相相除之商很少是整数，
特别是将第3及以后的素因子复合成一个复合因子y，将第2及以后的素因子复合成一个复合因子ty后，
大多数是3不整除的，极少2不整除+1整除的；
偶有整除+不整除=不整除、不整除+整除=不整除的；
另有一些是3整除的：整除+整除=整除。

继p=29以后的多因子梅森数中，
p=43,47,53,71都是3不整除的；
到p=73时为第一个不整除+不整除=整除的，但太阳不认可，理由是既约分数都是2/3。
p=113为第2个不整除+不整除=整除的，但太阳仍不认可，理由是既约分数都是13/15，分母含5。
太阳只认可既约分数的分母不含5，且分子不能相等的，他给出的一个例子是p=499，既约分数分别是2/7和3/7。

yangchuanju

73第2因子减1除以第1因子减1商的尾数是0.666=2/3；第3复合因子减1除以第1因子减1商的尾数也是0.666=2/3；
2/3*2/3*(439-1)+2/3+2/3=1752/9+2/3+2/3=1764/9=196，整数商。
根据以上的推导，
(q2*q3-1)/(q1-1)=a.a1*b.b1*(q1-1)+a.a1+b.b1=a.a1*[b.b1*(q1-1)+1]+b.b1=a.a1*b.b1*(q1-1)+a.a1+b.b1;
改写一下：
左=(a+0.a1)*(b+0.b1)*(q1-1)+a+0.a1+b+0.b1=a*b*(q1-1)+a*0.b1*(q1-1)+b*0.a1*(q1-1)+0.a1*0.b1*(q1-1)+a+0.a1+b+0.b1
去掉其中的整数，还剩a*0.b1*(q1-1)+b*0.a1*(q1-1)+0.a1*0.b1*(q1-1)+0.a1+0.b1五项；
现在需要的是这五项和是整数。

又a.a1=(q2-1)/(q1-1),   a.a1*(q1-1)=a*(q1-1)+0.a1*(q1-1)=q2-1，q2-1和a*(q1-1)都是整数，故0.a1*(q1-1)也是整数；
同样，0.b1*(q1-1)也是整数，再去掉五项和中的前两项，只剩后三项了；
即0.a1*0.b1*(q1-1)+0.a1+0.b1；只要这三项和是整数就行了。

给定一个指数p，就对应一个q1和一对a1,b1（分数或小数），最好用分数，需要通分后相加再相除。

yangchuanju

2不整除+1整除类型的梅森数：

73的分数都是0.666=2/3——3素因子梅森数，y因子是素数；
113的分数都是0.8666=13/15——5素因子梅森数，y因子是合数；
317的分数都是0.4666=7/15——4素因子梅森数，y因子是合数；
397的分数都是0.666=2/3——9素因子梅森数，y因子是合数；
499的分数一个是2/7，另一个是3/7——3素因子梅森数，y因子是素数——太阳的重型炸弹；
601的分数都是0.666=2/3——4素因子梅森数，y因子是合数；
761的分数都是0.333=1/3——5素因子梅森数，y因子是合数；
937的分数都是0.333=1/3——5素因子梅森数，y因子是合数；
1013的分数都是0.333=1/3——4素因子梅森数，y因子是合数；
1129的分数一个是0.6=3/5，另一个是4/5——4素因子梅森数，y因子是合数；
1193的分数一个是1/17，另一个是8/17——3素因子梅森数，y因子是素数；
2不整除+1整除的梅森数还不算少，但要再加上分数不能相等，分母不能含5，就不多了。

yangchuanju

在上面的三项和0.a1*0.b1*(q1-1)+0.a1+0.b1中，只要0.a1和0.b1都不等于0，则多数三项和都不是整数——3不整除类型；
只要少数为2不整除+1整除类型；
若令0.b1等于0，则在三项和中还剩一项0.a1，不再是整数；
同样，令0.a1=0，在三项和中还剩一项0.b1，不再是整数；
若令0.a1=0, 0.b1=0, 则三项和都等于0，为3整除类型。

yangchuanju

对于满足2不整除+1整除的梅森数，太阳先生自己找到了一个499，笔者又找到了一个1193，应该还有很多；
尚若梅森数是3素因子的则第3因子是素数，若梅森数的素因子多于3个，则复合因子y不会是素数。

给定一个指数p，对应一组q1,a1,b1；要找到三项和是整数的就不是很容易，再加上两个附近条件难上加难！
但如果能再找到一个分母是素数，且不再是3素因子的梅森数，则太阳素数公式就被彻底否定了。

现附加条件是：分母不含5，分子不相等；
判断：若分母是素数，则y是素数；若分母是合数，则y是合数。

yangchuanju

已经查明3整除的梅森数有:                       
指数        因子个数        1因减1除以指数        2因减1除以1因减1
179        3        2        4
191        5        2        18504108
233        4        6        97
239        6        2        4
251        5        2        108
359        6        2        1192
419        5        2        107849644584
431        8        2        4
433        3        2        234558680196
461        4        6        129511517151761
491        7        2        7849
557        5        6        6581
577        3        6        38216572593
659        4        2        874615271436468
683        3        2        318328330243491723862169808504428156149171408699445580089382080659196788248
719        3        2        537
743        7        2        820512
911        4        2        14341
1019        5        2        37

yangchuanju

已经查明不整除+整除=不整除的梅森数有:                                       
指数        因子个数        1因减1除以指数        分数1        分数2        分数3
29        3        8        0.75        整除        0.75
883        4        10        7.2        整除        0.2
2837        4        8        0.75        整除        0.75

已经查明整除+不整除=不整除的梅森数有:                                       
指数        因子个数        1因减1除以指数        分数1        分数2        分数3
1021        5        40        整除        0.75        0.75
1531        3        58        整除        27/1531        27/1531
4127        3        18        整除        0.333        0.333
6199        4        10        整除        0.4        0.4

yangchuanju

太阳先生的素数公式被推翻了！
太阳先生近期连发多个博贴，一再宣称，他找到了一个有用的素数公式，
使用他的素数公式，很容易地找到亿位大素数。

“太阳素数公式”简述如下：
令含3个或3个以上素因子的梅森数的最小素因子为m；
令该梅森数的第2素因子为t；
将该梅森数的第3及第3以后的素因子合并成一个因子y；
将该梅森数的第2及第2以后的素因子合并成一个因子ty。
如果(t-1)/(m-1)和(y-1)/(m-1)都不是整数（用带分数表示），但(ty-1)/(m-1)是整数；
把带分数的分数部分单独分离出来，只要两既约真分数的分母是素数，则y因子就是素数；
否则真分数的分母是合数，则y因子就是合数；
附加条件是：两既约真分数的分母不能含素数5，且两个分子不能相等。

太阳先生给出的一个关键例子是2^499-1，它的两个既约真分数分别是2/7和3/7，分母是素数，分子不相等，
y因子应该是素数。是的，2^499-1是一个3素因子梅森数，第3因子是素数。
太阳先生断言，不存在反例。

是的，我抱着不会存在那样的“素数公式"，花费两个星期的时间，深入研究了梅森数分解、梅森数因子之间的关系，
试图找到太阳素数公式的反例，但一直未果；反而给太阳先生找到了一个正面例子2^1193-1，
它的两个既约真分数分别是1/17和8/17，2^1193-1的第3因子也是素数。

功夫不负有心人，今天荣幸地找到了“太阳素数公式”的真正反例，它的两个既约真分数分别是9/11和8/11,
符合太阳先生的所有规定，分母是素数，但y因子是合数，从而彻底推翻了太阳先生研究多日的“素数公式”。