致时空伴随者老师

yangchuanju

怪事又来了！
苦苦寻找，始终找不到哪个数字的5次方末尾含有5个1（可能没有），
无意之中又找到了一组数字，它的9次方末尾含有1-10000个1（A225455），
最小的几个是；1,91,391,4391,84391,584391，……
数字        9次方
1        1
91        427929800129788411
391        213594869369817095335111
4391        606835436795296262650627884491111
84391        217102686804792197229973631777756839187611111
584391        7949350937634464700392538647804237357406299832111111
……      
如果说，471是“小光棍数”，那么391应该叫着“老光棍数”吧！

为什么9次方中出现光棍数，可能是因为9是3的平方的缘故吧！
须知，在各个以1结尾的整数中，2次，4次，5次，6次，7次，8次之中可能都没有末尾含这么多个1的光棍数！

猜想，在以1结尾的整数中，也可能存在一组数字，它的27次方，81次方，也是光棍数呢。

yangchuanju

猜想，在以1结尾的整数中，也可能存在一组数字，它的27次方，81次方，也是光棍数呢。
使用《大素数计算器》，对某些个位数是1的正整数的27次方、81次方、243次方、729次方进行计算，还真的找到了一系列的光棍数：
27次方之下的光棍数是：1,31,231,6231,26231,726231,7726231，……，它们的末尾分别是1,11,111,1111,11111,111111，……；
81次方之下的光棍数是：1,11,311,2311,42311,642311,7642311，……，它们的末尾分别是1,11,111,1111,11111,111111，……；
243次方之下的光棍数是：1,71,871,2871,42871,142871，……，它们的末尾分别是1,11,111,1111,11111,111111,……；
729次方之下的光棍数是：1,91,191,5191，……，它们的末尾分别是1,11,111,1111,……；
更大的方次和更多位数的数字本人的计算工具不能再计算了，故寻找工作到此停止。
从3次方开始，以11结尾的两位数分别是71,91,31,11,71,91；第5、第6数循环出现；
以111结尾的三位数分别是471,391,231,311,871,191；没有循环发生；
以1111结尾的四位数分别是8471,4391,6231,2311,2871,5191；没有循环发生；
以11111结尾的五位数分别是88471,84391,26231,42311,42871,*5191；也没有循环发生；……
OEIS仅给出3次方、9次方中的有关光棍数数据，没有给出27次方及更高次方的光棍数。

时空伴随者

yangchuanju 发表于 2022-11-30 18:29
老师好！
今闲着无大事，随便找了一些光棍数，发在《小光棍数》中，请光顾！
在OEIS网站中找到了某些 ...

\(由(10a+b)^5展开知：其个位数是b^5,十位数是5ab^4+b^5的十位数\)
5的倍数只能是0和5，不可能是其他数，\(b^5\)的个位数是1时,b=1,十位上是0。

yangchuanju

时空伴随者 发表于 2022-12-1 10:29
\(由(10a+b)^5展开知：其个位数是b^5,十位数是5ab^4+b^5的十位数\)
5的倍数只能是0和5，不可能是其他数 ...

二项式乘方公式
(A+B)^2=A^2+2A*B+B^2
(A+B)^3=A^3+3A^2*B+3A*B^2+B^3
(A+B)^4=A^4+4A^3*B+6A^2*B^2+4A*B^3+B^4
(A+B)^5=A^5+5A^4*B+10A^3*B^2+10A^2*B^3+5A*B^4+B^5
令A=10a，B=1，则
(10a+b)^5=…+50a+1
十位数是5a，a=1,3,5,7,9时，5a=5,15,25,35,45，最终十位数都是5，不会是1。
当a是偶数（包括0）时，十位数是0。

yangchuanju

接着，(A+B)^6=A^6+6A^5*B+15A^4*B^2+20A^3*B^3+15A^2*B^4+6A*B^5+B^6
(A+B)^7=A^7+7A^6*B+21A^5*B^2+35A^4*B^3+35A^3*B^4+21A^2*B^5+7A*B^6+B^7
令A=10a，B=1，则
(10a+b)^7=…+70a+1
十位数是7a，a=1,3,5,7,9时，7a=7,21,35,49,63，当a=3时十位数是1，据此31的7次方的末尾两位数字应是11，实际是111。

yangchuanju

二项式系数       
1        1,6,15,20,15,6,1
1,1        1,7,21,35,35,21,7,1
1,2,1        1,8,28,56,70,56,28,8,1
1,3,3,1        1,9,36,84,126,126,84,36,9,1
1,4,6,4,1        1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1
1,5,10,10,5,1       
       
接着，(A+B)^8=...+8A*B^7+B^8；(A+B)^9=...+9A*B^8+B^9       
令A=10a，B=1，则(10a+b)^9=…+90a+1       
十位数是9a，a=1,3,5,7,9时，9a=9,27,45,63,81，当a=9时十位数是1，据此91的9次方的末尾两位数字应是11。       

yangchuanju

(A+B)^11=...+11A*B^10+B^11；(A+B)^13=...+13A*B^12+B^13；
令A=10a，B=1，则(10a+b)^11=…+110a+1
十位数是11a，a=1,3,5,7,9时，11a=11,33,55,77,99，当a=11时十位数是1，据此11的11次方的末尾两位数字应是11。
令A=10a，B=1，则(10a+b)^13=…+130a+1
十位数是13a，a=1,3,5,7,9时，13a=13,39,65,91,117，当a=13时十位数是1，据此71的13次方的末尾两位数字应是11。

(A+B)^27=...+27A*B^26+B^27；(A+B)^81=...+81A*B^80+B^81；
令A=10a，B=1，则(10a+b)^27=…+270a+1
十位数是27a，a=1,3,5,7,9时，27a=27,81,135,189,243，当a=27时十位数是1，据此31的27次方的末尾两位数字应是11。
令A=10a，B=1，则(10a+b)^81=…+810a+1
十位数是81a，a=1,3,5,7,9时，81a=81,243,405,567,729，当a=81时十位数是1，据此11的81次方的末尾两位数字应是11。

若3,7,9,11,13,17,19,21,23,27次方都有末2位是11的数字存在，则它们是71,31,91,11；71,31,91,11；71,31，……循环出现。

yangchuanju

7次、11次、13次光棍数
数字        7次方
1        1
11        19487171
21        1801088541
31        27512614111
41        194754273881
131        662062621900811
231        35098120384607511
1031        1238256615687209381111
91031        51799455570877545673010540408411111
191031        9283824965470806879761075515185111111
8191031        2473830769941226507464728827839398954297321111111——7个1
78191031        17868931228196106498334279967071895610984053641011111111——8个1
378191031        1106569194309271147827184994636290286657745186907971111111111——9个1
20378191031        1459349803168047292094305810426386828629119436173538118043863311111111111——11个1
       
数字        11次方
1        1
11        285311670611
511        620340165367069806017523226111
5511        142408043971705929318112411725697276281111
35511        113237930997742077335945565726466204002806044611111
535511        1038609660318139463459453539780625209350547917604013443850111111
1535511        111887675562823408504344570384186998542105259800518147292219461111111——7个1
51535511        6810397377041931838657354286156358740891420907845523987641371225333848981000011111111——8个1
151535511        967516980711861777249980086201447123973910157752854712920244696112239897827358561111111111——10个1
50151535511        5048084081266263760954661435695546942516971038113652746654474748652168514868050026963537248913261912016139111111111111——12个1
2050151535511        268933925410175594019398908129214276545242324932476188797070227291452574043609878736869487621115505714932944252464247956736111111111111——13个11
       
数字        13次方
1        1
71        1165087474585497590531111
60071        132630437442023566528622495699250003850515878446922279098511111
260071        24899754120848190166727229829436519881510903244791778043824060125111111
2260071        40140897179517056073099764439037025190576126676157583327314994964285849070391111111——7个1
42260071        1371175013772235441397003891527647745176651388445222539874115804371789120584412976638189275711111111-8个1
842260071        107349682355291771196482829331423705849323466741543067624175462944343108398028626553854323456952228420993382111111111——9个1
3842260071        39776617479348188972282187739428214361804459380206328910863271349610332470553340293497131093462246828725395806508781111111111——10个1