小光棍数

yangchuanju · 发表于 2022-12-1 06:33

怪事又来了！
苦苦寻找，始终找不到哪个数字的5次方末尾含有5个1（可能没有），
无意之中又找到了一组数字，它的9次方末尾含有1-10000个1（A225455），
最小的几个是；1,91,391,4391,84391,584391，……
数字 9次方
1 1
91 427929800129788411
391 213594869369817095335111
4391 606835436795296262650627884491111
84391 217102686804792197229973631777756839187611111
584391 7949350937634464700392538647804237357406299832111111
……
如果说，471是“小光棍数”，那么391应该叫着“老光棍数”吧！

为什么9次方中出现光棍数，可能是因为9是3的平方的缘故吧！
须知，在各个以1结尾的整数中，2次，4次，5次，6次，7次，8次之中可能都没有末尾含这么多个1的光棍数！

猜想，在以1结尾的整数中，也可能存在一组数字，它的27次方，81次方，也是光棍数呢。

yangchuanju · 发表于 2022-12-1 06:38

猜想，在以1结尾的整数中，也可能存在一组数字，它的27次方，81次方，也是光棍数呢。
使用《大素数计算器》，对某些个位数是1的正整数的27次方、81次方、243次方、729次方进行计算，还真的找到了一系列的光棍数：
27次方之下的光棍数是：1,31,231,6231,26231,726231,7726231，……，它们的末尾分别是1,11,111,1111,11111,111111，……；
81次方之下的光棍数是：1,11,311,2311,42311,642311,7642311，……，它们的末尾分别是1,11,111,1111,11111,111111，……；
243次方之下的光棍数是：1,71,871,2871,42871,142871，……，它们的末尾分别是1,11,111,1111,11111,111111,……；
729次方之下的光棍数是：1,91,191,5191，……，它们的末尾分别是1,11,111,1111,……；
更大的方次和更多位数的数字本人的计算工具不能再计算了，故寻找工作到此停止。
从3次方开始，以11结尾的两位数分别是71,91,31,11,71,91；第5、第6数循环出现；
以111结尾的三位数分别是471,391,231,311,871,191；没有循环发生；
以1111结尾的四位数分别是8471,4391,6231,2311,2871,5191；没有循环发生；
以11111结尾的五位数分别是88471,84391,26231,42311,42871,*5191；也没有循环发生；……
OEIS仅给出3次方、9次方中的有关光棍数数据，没有给出27次方及更高次方的光棍数。

yangchuanju · 发表于 2022-12-1 16:05

二项式乘方公式
(A+B)^2=A^2+2A*B+B^2
(A+B)^3=A^3+3A^2*B+3A*B^2+B^3
(A+B)^4=A^4+4A^3*B+6A^2*B^2+4A*B^3+B^4
(A+B)^5=A^5+5A^4*B+10A^3*B^2+10A^2*B^3+5A*B^4+B^5
令A=10a，B=1，则
(10a+b)^5=…+50a+1
十位数是5a，a=1,3,5,7,9时，5a=5,15,25,35,45，最终十位数都是5，不会是1。
当a是偶数（包括0）时，十位数是0。

接着，(A+B)^6=A^6+6A^5*B+15A^4*B^2+20A^3*B^3+15A^2*B^4+6A*B^5+B^6
(A+B)^7=A^7+7A^6*B+21A^5*B^2+35A^4*B^3+35A^3*B^4+21A^2*B^5+7A*B^6+B^7
令A=10a，B=1，则(10a+b)^7=…+70a+1
十位数是7a，a=1,3,5,7,9时，7a=7,21,35,49,63，当a=3时十位数是1，据此31的7次方的末尾两位数字应是11，实际是111。

yangchuanju · 发表于 2022-12-1 16:06

二项式系数
1 1,6,15,20,15,6,1
1,1 1,7,21,35,35,21,7,1
1,2,1 1,8,28,56,70,56,28,8,1
1,3,3,1 1,9,36,84,126,126,84,36,9,1
1,4,6,4,1 1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1
1,5,10,10,5,1

接着，(A+B)^8=...+8A*B^7+B^8；(A+B)^9=...+9A*B^8+B^9
令A=10a，B=1，则(10a+b)^9=…+90a+1
十位数是9a，a=1,3,5,7,9时，9a=9,27,45,63,81，当a=9时十位数是1，据此91的9次方的末尾两位数字应是11。

(A+B)^11=...+11A*B^10+B^11；(A+B)^13=...+13A*B^12+B^13；
令A=10a，B=1，则(10a+b)^11=…+110a+1
十位数是11a，a=1,3,5,7,9时，11a=11,33,55,77,99，当a=11时十位数是1，据此11的11次方的末尾两位数字应是11。
令A=10a，B=1，则(10a+b)^13=…+130a+1
十位数是13a，a=1,3,5,7,9时，13a=13,39,65,91,117，当a=13时十位数是1，据此71的13次方的末尾两位数字应是11。

(A+B)^27=...+27A*B^26+B^27；(A+B)^81=...+81A*B^80+B^81；
令A=10a，B=1，则(10a+b)^27=…+270a+1
十位数是27a，a=1,3,5,7,9时，27a=27,81,135,189,243，当a=27时十位数是1，据此31的27次方的末尾两位数字应是11。
令A=10a，B=1，则(10a+b)^81=…+810a+1
十位数是81a，a=1,3,5,7,9时，81a=81,243,405,567,729，当a=81时十位数是1，据此11的81次方的末尾两位数字应是11。

若3,7,9,11,13,17,19,21,23,27次方都有末2位是11的数字存在，则它们是71,31,91,11；71,31,91,11；71,31，……循环出现。

yangchuanju · 发表于 2022-12-1 16:07

7次、11次、13次光棍数
数字 7次方
1 1
11 19487171
21 1801088541
31 27512614111
41 194754273881
131 662062621900811
231 35098120384607511
1031 1238256615687209381111
91031 51799455570877545673010540408411111
191031 9283824965470806879761075515185111111
8191031 2473830769941226507464728827839398954297321111111——7个1
78191031 17868931228196106498334279967071895610984053641011111111——8个1
378191031 1106569194309271147827184994636290286657745186907971111111111——9个1
20378191031 1459349803168047292094305810426386828629119436173538118043863311111111111——11个1

数字 11次方
1 1
11 285311670611
511 620340165367069806017523226111
5511 142408043971705929318112411725697276281111
35511 113237930997742077335945565726466204002806044611111
535511 1038609660318139463459453539780625209350547917604013443850111111
1535511 111887675562823408504344570384186998542105259800518147292219461111111——7个1
51535511 6810397377041931838657354286156358740891420907845523987641371225333848981000011111111——8个1
151535511 967516980711861777249980086201447123973910157752854712920244696112239897827358561111111111——10个1
50151535511 5048084081266263760954661435695546942516971038113652746654474748652168514868050026963537248913261912016139111111111111——12个1
2050151535511 268933925410175594019398908129214276545242324932476188797070227291452574043609878736869487621115505714932944252464247956736111111111111——13个11

数字 13次方
1 1
71 1165087474585497590531111
60071 132630437442023566528622495699250003850515878446922279098511111
260071 24899754120848190166727229829436519881510903244791778043824060125111111
2260071 40140897179517056073099764439037025190576126676157583327314994964285849070391111111——7个1
42260071 1371175013772235441397003891527647745176651388445222539874115804371789120584412976638189275711111111-8个1
842260071 107349682355291771196482829331423705849323466741543067624175462944343108398028626553854323456952228420993382111111111——9个1
3842260071 39776617479348188972282187739428214361804459380206328910863271349610332470553340293497131093462246828725395806508781111111111——10个1

yangchuanju · 发表于 2022-12-2 10:58

继续探讨光棍数出现规律

前面曾说若3,7,9,11,13,17,19,21,23,27次方都有末2位是11的数字存在，则它们是71,31,91,11；71,31,91,11；71,31，……循环出现。
视11的1次方（原数）是末2位是11的一个数字，则上述的表述应改为：
若1,3,7,9；11,13,17,19；21,23,27,29；……次方都有末2位是11的数字存在，则它们是11,71,31,91；11,71,31,91；11,71,31,91；……循环出现。
例如：11^1=11；71^3=357911；31^7=27512614111；91^9=427929800129788411；11^11=285311670611；……
（31的7次方末尾虽有3个1，也可看着含有2个1。）

yangchuanju · 发表于 2022-12-2 11:00

已经求知，471的3次方末尾含有3个1，391的9次方末尾含有3个1，511的11次方末尾含有3个1，……
末尾要有3个1的幂数一般是3位数，上面的31可以看成是031；
在11,31,71,91的前面分别加上0,1,2，……9可组成40个三位数；
在100以内应有40个特定幂次与它们一一对应，这40个幂次分别是：1,3,7,9；11,13,17,19；21,23,27,29；……91,93,97,99次。
下面就找一找究竟它们的对应关系如何。

根据二项式定理，(10a+1)^n的后3位等于n*(n-1)/2*a^2*100+n*a*10+1的末尾3位数值；
其中10a+1分别取11,13,17,19；111,131,171,191；211,231,271,291；……；911,931,971,991；n分别取1,3,7,9；11,13,17,19；21,23,27,29；……91,93,97,99。

yangchuanju · 发表于 2022-12-2 11:10

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-2 11:24 编辑

幂次\n 111结尾底数n 11 31 71 91
1 111 11 31 71 91——底数111的1次方末3位数是111
3 471 331 791 911 571——底数471的3次方末3位数是111
7 31 171 111 391 731——底数31的7次方末3位数是111
9 391 691 671 31 411——底数391的9次方末3位数是111
11 511 611 831 271 491
13 71 931 591 111 971
17 631 771 911 591 131
19 791 291 471 231 811
21 911 211 631 471 891
23 671 531 391 311 371
27 231 371 711 791 531
29 191 891 271 431 211
31 311 811 431 671 291
33 271 131 191 511 771
37 831 971 511 991 931
39 591 491 71 631 611
41 711 411 231 871 691
43 871 731 991 711 171
47 431 571 311 191 331
49 991 91 871 831 11
51 111 11 31 71 91
53 471 331 791 911 571
57 31 171 111 391 731
59 391 691 671 31 411
61 511 611 831 271 491
63 71 931 591 111 971
67 631 771 911 591 131
69 791 291 471 231 811
71 911 211 631 471 891
73 671 531 391 311 371
77 231 371 711 791 531
79 191 891 271 431 211
81 311 811 431 671 291
83 271 131 191 511 771
87 831 971 511 991 931
89 591 491 71 631 611
91 711 411 231 871 691
93 871 731 991 711 171
97 431 571 311 191 331
99 991 91 871 831 11
末2位是 11的个数 2 0 0 2
末3位是111的个数 0 2 2 0

第3列及以后各列数字中末3位不够3位的前面应补0.

yangchuanju · 发表于 2022-12-2 11:26

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-2 11:29 编辑

怪事又出现了，它们并不是一一对应，而是一对二和一对零：
n 幂次 n 幂次 n 幂次 n 幂次
31 7 271 33 511 11 791 19
31 57 271 83 511 61 791 69
71 13 311 31 591 39 831 37
71 63 311 81 591 89 831 87
111 1 391 9 631 17 871 43
111 51 391 59 631 67 871 93
191 29 431 47 671 23 911 21
191 79 431 97 671 73 911 71
231 27 471 3 711 41 991 49
231 77 471 53 711 91 991 99
仅出现一半底数n在不同的幂数中以111结尾，且幂次数相差50；
这一半底数是31,71,111,191；231,271,311,391；431,471,511,591；631,671,711,791；831,871,911,991；
另一半底数的任何次幂数的结尾都不是111，它们是：
11,91,131,171；211,291,331,371；411,491,531,571；611,691,731,771,；811,891,931,971。
在第一半的20个数字中除了各有2个以111结尾的幂数外，还各有8个以11结尾的，其余为1结尾数；
在第二半的20个数字中各有10个以11 结尾的，其余为1结尾数。
截至目前，已将“小光棍数”的名字赋予471，“老光棍数”的名字赋予391；不过为了与下面将要继续探讨的光棍数有所区别，就称它们为3光棍数吧！
第一半的20个数字中的其余18个光棍数就不再赋予特定名字了！

yangchuanju · 发表于 2022-12-2 11:31

下面将幂次扩大到999，去掉5的倍数还有400个奇幂数；将底数扩大到4位数，不计末2位是51的还有400奇底数；——寻找4（位）光棍数！
经计算，在400*400个数据中，共有400个以1111结尾的幂数；每个幂次中有1个且仅有1个以1111结尾的幂数；
每个底数的400个不同幂次中，只有1/4的底数以1111结尾的幂数，各4个。
例71（底数）的13，263,513,763次幂都以1111结尾，幂次数递增250；31的7,57,107,157……次幂以111结尾，但没有以1111结尾的。

71的1次幂末尾含有1个1，3次幂末尾含有2个1，13次幂末尾含有3个1（实有4个1），13次幂末尾含有4个1，1513次幂末尾含有5个1，……
A229029说是，可以证明 71^k 可以以任意数量的 1结尾；71是10进制中最小的（各次幂数）能以任意个连续1结尾的底数。

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小光棍数

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