间隙素数 拉马努金素数

ysr

回复您的点评：“3461是一个4倍间隙素数，3461的下一个素数是3463， 3461*3=13844， 3463*4=13852， 13844至13852之间没有素数，复核正确！”

谢谢鼓励和指导！

yangchuanju

拉马努金素数
素数现已被研究的相当透彻，素数个数，素数分布，素数判断等等，大量的文献比比皆是。

然而拉马努金素数是什么？很少有人介绍。
今就简单的谈一谈有关拉马努金素数的问题。
在互联网上找不到拉马努金素数的明确定义，特别是没有中文定义。
A104272——一个专门介绍拉马努金素数的网页，如此说：
Ramanujan primes R_n: a(n) is the smallest number such that if x >= a(n), then pi(x) - pi(x/2) >= n,
where pi(x) is the number of primes <= x.
英译汉：Ramanujan 素数 R_n：a(n) 是最小数，如果 x >= a(n)，则 pi(x) - pi(x/2) >= n，其中 pi(x) 是素数 < = x。
上述英文定义和英译汉都非常2蹩脚，令人费解。

yangchuanju

经对照其它有关网页，大致明白了什么是拉马努金素数：
首先，拉马努金素数是一种与pi(x)-pi(x/2)有关的素数；
这里pi(x)表示正整数x（含x）以内的素数个数，pi(x/2)表示x/2（可能是分数）以内的素数个数；
pi(x)-pi(x/2)就是x/2与x之间的素数个数。

然而A104272给出的并不是x/2与x之间的素数个数，而是那些素数之中的最大素数；
x/2与x之间的素数个数另由A056171给出（10万个）。
那么A104272给出的是什么呢？
在网页A056171给出的10万个素数个数列表中，素数个数由0波动式的增大（至无穷），如x=1,2,3……30时，素数个数分别为
1 0        6 1        11 2        16 2        21 4        21 4
2 1        7 2        12 2        17 3        22 3        22 3
3 2        8 2        13 3        18 3        23 4        23 4
4 1        9 2        14 2        19 4        24 4        24 4
5 2        10 1        15 2        20 4        25 4        25 4
有素数个数0的x是1；有素数个数1的x是2,4,6,10，其中2是素数；
有素数个数2的x有3,5,7,8,9,11,12,14,15,16，其中3,5,7,11是素数；
有素数个数3的x有13,17,18,22，其中13,17是素数：……
网页A104272给出的是素数个数依次为1,2,3……时的x数中的最大素数2,11,17……
网页A080359另行给出素数个数依次为1,2,3……时的x数中的最小素数2,3,13……
如此看来，拉马努金素数是：素数个数依次为1,2,3……时的x数中的最大素数2,11,17……
素数个数依次为1,2,3……时的x数中的最小素数2,3,13……也是一种拉马努金素数。

yangchuanju

A104272-10000        A080359-10000
拉马努金最大素数        最小素数
1 2        1 2
2 11        2 3
3 17        3 13
4 29        4 19
5 41        5 31
6 47        6 43
7 59        7 53
8 67        8 61
9 71        9 71
10 97        10 73
11 101        11 101
12 107        12 103
13 127        13 109
14 149        14 113
15 151        15 139
16 167        16 157
17 179        17 173
18 181        18 181
19 227        19 191
20 229        20 193
21 233        21 199
22 239        22 239
23 241        23 241
24 263        24 251
25 269        25 269
26 281        26 271
27 307        27 283
28 311        28 293
29 347        29 313
30 349        30 349
31 367        31 353
32 373        32 373
33 401        33 379
34 409        34 409
35 419        35 419
36 431        36 421
37 433        37 433
38 439        38 439
39 461        39 443
40 487        40 463
41 491        41 491
42 503        42 499
43 569        43 509
44 571        44 523
45 587        45 577
46 593        46 593
47 599        47 599
48 601        48 601
49 607        49 607
50 641        50 613
51 643        51 619
52 647        52 647
53 653        53 653
54 659        54 659
55 677        55 661
56 719        56 683
57 727        57 691
58 739        58 733
59 751        59 743
60 769        60 757
61 809        61 773
62 821        62 811
63 823        63 823
64 827        64 827
65 853        65 829
66 857        66 857
67 881        67 859
68 937        68 883
69 941        69 911
70 947        70 947
71 967        71 953
72 983        72 971
73 1009        73 991
74 1019        74 997
75 1021        75 1021
76 1031        76 1031
77 1049        77 1033
78 1051        78 1039
79 1061        79 1061
80 1063        80 1063
81 1087        81 1069
82 1091        82 1091
83 1097        83 1093
84 1103        84 1103
85 1151        85 1109
86 1163        86 1123
87 1187        87 1171
88 1217        88 1193
89 1229        89 1223
90 1249        90 1231
91 1277        91 1259
92 1289        92 1279
93 1297        93 1291
94 1301        94 1301
95 1367        95 1303
96 1373        96 1321
97 1423        97 1381
98 1427        98 1427
99 1429        99 1429
100 1439        100 1433

yangchuanju

网页A164554给出A104272之最大素数等于A080359之最小素数的素数，亦即素数个数为特定n时，只有一个是素数的x；                                       
1 2        6 241        11 419        16 599        21 659        26 1021
2 71        7 269        12 433        17 601        22 823        27 1031
3 101        8 349        13 439        18 607        23 827        28 1061
4 181        9 373        14 491        19 647        24 857        29 1063
5 239        10 409        15 593        20 653        25 947        30 1091
                                       
网页A182391另行给出A104272之最大素数等于A080359之最小素数的拉马努金素数序号：                                       
1 1        6 23        11 35        16 47        21 54        26 75
2 9        7 25        12 37        17 48        22 63        27 76
3 11        8 30        13 38        18 49        23 64        28 79
4 18        9 32        14 41        19 52        24 66        29 80
5 22        10 34        15 46        20 53        25 70        30 82

yangchuanju

A164554-49        A182391-59
两拉马素数中的相等素数        相等之序号n
1 2        1 1
2 71        2 9
3 101        3 11
4 181        4 18
5 239        5 22
6 241        6 23
7 269        7 25
8 349        8 30
9 373        9 32
10 409        10 34
11 419        11 35
12 433        12 37
13 439        13 38
14 491        14 41
15 593        15 46
16 599        16 47
17 601        17 48
18 607        18 49
19 647        19 52
20 653        20 53
21 659        21 54
22 823        22 63
23 827        23 64
24 857        24 66
25 947        25 70
26 1021        26 75
27 1031        27 76
28 1061        28 79
29 1063        29 80
30 1091        30 82
31 1103        31 84
32 1301        32 94
33 1427        33 98
34 1429        34 99
35 1447        35 101
36 1451        36 102
37 1489        37 105
38 1553        38 108
39 1559        39 109
40 1567        40 110
41 1601        41 113
42 1607        42 114
43 1609        43 115
44 1789        44 124
45 1867        45 127
46 1871        46 128
47 1913        47 131
48 1999        48 135
49 2003        49 136
————        50 139
————        51 140
————        52 148
————        53 149
————        54 150
————        55 151
————        56 154
————        57 156
————        58 158
————        59 160

yangchuanju

A056171-10万        A000720-10万
pi(n) - pi(n/2)        pi(n)
1 0        1 0
2 1        2 1
3 2        3 2
4 1        4 2
5 2        5 3
6 1        6 3
7 2        7 4
8 2        8 4
9 2        9 4
10 1        10 4
11 2        11 5
12 2        12 5
13 3        13 6
14 2        14 6
15 2        15 6
16 2        16 6
17 3        17 7
18 3        18 7
19 4        19 8
20 4        20 8
21 4        21 8
22 3        22 8
23 4        23 9
24 4        24 9
25 4        25 9
21 4        26 9
22 3        27 9
23 4        28 9
24 4        29 10
25 4        30 10
31 5        31 11
32 5        32 11
33 5        33 11
34 4        34 11
35 4        35 11
36 4        36 11
37 5        37 12
38 4        38 12
39 4        39 12
40 4        40 12
41 5        41 13
42 5        42 13
43 6        43 14
44 6        44 14
45 6        45 14
46 5        46 14
47 6        47 15
48 6        48 15
49 6        49 15
50 6        50 15
51 6        51 15
52 6        52 15
53 7        53 16
54 7        54 16
55 7        55 16
56 7        56 16
57 7        57 16
58 6        58 16
59 7        59 17
60 7        60 17
61 8        61 18
62 7        62 18
63 7        63 18
64 7        64 18
65 7        65 18
66 7        66 18
67 8        67 19
68 8        68 19
69 8        69 19
70 8        70 19
71 9        71 20
72 9        72 20
73 10        73 21
74 9        74 21
75 9        75 21
76 9        76 21
77 9        77 21
78 9        78 21
79 10        79 22
80 10        80 22
81 10        81 22
82 9        82 22
83 10        83 23
84 10        84 23
85 10        85 23
86 9        86 23
87 9        87 23
88 9        88 23
89 10        89 24
90 10        90 24
91 10        91 24
92 10        92 24
93 10        93 24
94 9        94 24
95 9        95 24
96 9        96 24
97 10        97 25
98 10        98 25
99 10        99 25
100 10        100 25

yangchuanju

拉马努金是印度的原文天才数学界，他短短的一生（33岁去世）广泛研究了数论中的多个课题，
给出了几千个数学公式，拉马努金素数只是其中的课题之一，
拉马努金素数在研究素数定理、孪生素数常数方面起了极大作用。
孪生素数常数，亦称“拉曼扭杨系数”，实际上拉曼纽扬是拉马努金名字的另一种翻译方式，
是同一位数学家名字的不同译名。

yangchuanju

拉马努金素数与孪生素数息息相关，拉马努金素数中有相当多的素数是孪生素数：               
A007508-18        A181678-11        A173081-11
10^n以内        10^n以内        10^n以内至少1个是
孪生素数        拉马努金孪生素数        拉马努金孪生素数
1 2        1 0        1 0
2 8        2 0        2 6
3 35        3 10        3 28
4 205        4 73        4 167
5 1224        5 508        5 964
6 8169        6 3468        6 6305
7 58980        7 25629        7 45082
8 440312        8 194614        8 335919
9 3424506        9 1537504        9 2605867
10 27412679        10 12447679        10 20841010
11 224376048        11 102834428        11 170395131
12 1870585220               
13 15834664872               
14 135780321665               
15 1177209242304               
16 10304195697298               
17 90948839353159               
18 808675888577436               

yangchuanju

网页《Ramanujan prime》给出了拉马努金素数的正规定义，
网址：https://planetmath.org/ramanujanprime

The n-th p is the smallest prime such that there are at least n primes between  x and 2x  for any x such that 2x>p.
So, given the prime counting function π(x), then for the n-th Ramanujan prime p it is always the case that π(2x)-π(x)≥n when 2x>p.
These primes arise from Srinivasa Ramanujan’s proof of Bertrand’s postulate. The first few are 2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, listed in A104272 of Sloane’s OEIS.

For example, the third Ramanujan prime is 17. We can verify that there are three primes between 8.5005 and 17.001 (namely 11, 13, 17), that there are also three primes between 9 and 18 (the same as before), more than three primes between 10 and 20 (namely the prime quadruplet 11, 13, 17. 19), etc. Furthermore, we can verify that no prime smaller than 17 satisfies this condition by finding a single counterexample for the smaller primes, specifically setting x=7 we have 2x=14, which is greater than 2, 3, 5, 7, 11 and 13, and we verify that there are only two primes between 7 and 14 (namely 11 and 13).

译文错误多多，不再录发。