数论新年题

费尔马1

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费尔马1

还是没有人解啊！

lusishun

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费尔马1

迎新年好题连连。

ysr

朋友，我发个重要启示：本版块谁发的一个文章，内容是关于某类整数拆分成的勾股数个数最多的，标题也忘记了，我也参与了，编程验证的结果是楼主的猜想是对的，程序代码我也发上去了，文章重要，我找不到了。麻烦知道的朋友请顶起来！（当时我验证的数据已经很大了，这样的整数有价值可能是，就是可能用来做完美长方体的体对角线）

费尔马1

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费尔马1

就是无人解？

费尔马1

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yangchuanju

费尔马世界级难题——函数不定方程分析
费尔马世界级难题出炉之函数不定方程是
A^（2147483648n+1）+B^（2147483648n+32769）=C^（2147483648n+65537）
其中2147483648=2^31,  32769=2^15+1,  65537=2^16+1
令A指2147483648n+1=2^31n+1=a,
费尔马给出的通解ABC分别由5个因子、3个因子、3个因子组成，含两个参变量u和v，
BC解的三个因子都是幂结构，三底数分别是2，(u^a-v^a)和(u^a+v^a);
A解的五个因子中有3个是幂结构，三底数分别是2，(u^a-v^a)和(u^a+v^a)，再加一个双因子u*v;
解ABC的2的指数中各只有一个非周期部分t1*n^2+t2*n+t3；
(u^a-v^a)和(u^a+v^B指)的指数各由两部分组成：(s1*n^2+s2*n+s3)*k和t1*n^2+t2*n+t3。
ABC分别乘以方程的指数后形成4u^a*v^a*K、(u^a-v^a)^2*K和(u^a+v^a)^2*K之结构形式，K因子前的三个数字是一组勾股数，
其中K各含三个大幂因子，三幂因子的指数分别相等。
文中涉及到的字母A、B、C、a、u、v、K都是大于1的正整数，u>v；n、k、si、ti、mi为非负整数。

解ABC的2的指数中各只有一个非周期部分：
A的2的指数等于（B指*C指*m1+2）/A指；
B的2的指数等于C指*m1；C的2的指数等于B指*m1；
对于本例乘数m1=2。

解ABC的u^a±v^a的2级指数中的周期数分别是：
B指*C指=(4611686018427387904n^2+211110527500288n+2147581953)k
A指*C指=(4611686018427387904n^2+140741783322624n+65537)k
A指*B指=(4611686018427387904n^2+70373039144960n+32769)k

解ABC的u^a-v^a的2级指数中的非周期数分别是：
A的2级指数等于C指*m2；
B的2级指数等于（A指*C指*m2+2）/B指；
C的2级指数等于A指*m2；
对于本例乘数m2=131068n+2。

解ABC的u^a+v^a的2级指数中的非周期数分别是：
A的2级指数等于B指*m3；
B的2级指数等于A指*m3；
C的2级指数等于（A指*B指*m3+2）/C指；
对于本例乘数m3=2147352578n+65533。

三组非周期的具体数据从略，详见费尔马1的通解。
（上面的三个m数值是学生根据老师所给通解反求的，
然而m2等，必须先根据整除式“（A指*C指*m2+2）/B指”求出m2，才能再求AC的2级指数。）
通解中的三个乘数m1、m2、m3如何求得，学生不知，希望老师告知。

yangchuanju

第3题，直接采用费尔马1的上述解法即可，不过三个m不易求得；
第1、第2不含n，要好解许多，且三个m也好求得多。