二百五方程

yangchuanju

解不定方程：X^n+Y^(n+1)=Z^n。

解：
假设：X=Y，
公提：X^n*(1+X）
配底，令X=a^n-1，则1+X=a^n.
所以，X^n+Y^(n+1)=（a^n-1）^n+(a^n-1)^(n+1)=(a^n-1)^n*a^n=｛ (a^n-1）*a｝^n.
令｛ （a^n-1）*a｝^n=Z^n
则Z=a*（a^n-1），
     X=Y=a^n- 1，

yangchuanju

解不定方程：n*X^n+Y^(n+1)=Z^n。

解：
假设：X=Y，
公提：X^n*(n+X）
配底，令X=a^n-n，则n+X=a^n.
所以，n*X^n+Y^(n+1)=n*(a^n-n）^n+(a^n-n)^(n+1)=(a^n-n)^n*a^n=｛ (a^n-n）*a｝^n.
令｛ （a^n-n）*a｝^n=Z^n
则Z=a*（a^n-n），
     X=Y=a^n- n，

yangchuanju

令a=250,  n=250,  鲁不定方程变成：X^250+Y^251=Z^250
正整数解是X=Y=250^250-1，Z=250*(250^250-1）

令a=250,  n=250,  鲁不定方程变成：250*X^250+Y^251=Z^250
正整数解是X=Y=250^250-250，Z=250*(250^250-250）

yangchuanju

请解朱明君不定方程：x^2+y^n=z^2的正整数解。

lusishun

yangchuanju 发表于 2022-12-14 02:07
请解朱明君不定方程：x^2+y^n=z^2的正整数解。

解：
Y^n=Z^2-X^2=（Z+X）（Z-X），
……

lusishun

程先生，休息时，抽空研究一下，
方程
X^2+Y^3=Z^2
除了
X=Y=a^2-1，Z=a（a^2-1以外，
还有其它解吗？

lusishun

X^3+Y^4=Z^3
解法一：
X=Y=2^3-1=7，
Z=2（2^3-1）=14.
检验：7^3+7^4=14^3

lusishun

lusishun 发表于 2022-12-14 03:46
程先生，休息时，抽空研究一下，
方程
X^2+Y^3=Z^2

取a=时，X=Y=3，Z=6，
检验：3^2+3^3=6^2=36，
按程先生的公式有：
X=13
Y=3，
Z=14
检验：13^2+3^3=14^2=196

lusishun

lusishun 发表于 2022-12-14 07:58
X^3+Y^4=Z^3
解法一：
X=Y=2^3-1=7，

这个解法二，需程先生做了，我还没有学会

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-12-14 11:28
解：
Y^n=Z^2-X^2=（Z+X）（Z-X），
……

朱明君不定方程（11），求不定方程x^2+y^n=z^2的正整数解
设[y^ (n-1)-y]/2=x，[y^ (n-1)+y]/2=z，
其中y为大于等于2的正整数，n为大于等于4的正整数，
则x^2+y^n=z^2，

解朱明君方程：Z^2=[Y^(2n-2)+2*Y^n+Y^2]/4,  X^2=[Y^(2n-2)-2*Y^n+Y^2]/4
Z^2-X^2=2*Y^n/4+2*Y^n/4=Y^n
朱明君没有解到底。
Z-X=[Y^(n-1)+Y]/2-[Y^(n-1)-Y]/2=Y
Z+X=[Y^(n-1)+Y]/2+[Y^(n-1)-Y]/2=Y^(n-1)
两个方程解不出三个未知量。

程中战：不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=(a^n -b^n)/2，Y=ab， Z=(a^n +b^n)/2
其中，a、b为互质的奇数，a＞b

按程中战解法，对于朱明君方程，设Y=ab，
则Z-X=ab,  Z+X=a^(n-1)*b^(n-1)
2Z= a^(n-1)*b^(n-1)=ab,  2X=a^(n-1)*b^(n-1)-ab
X=[a^(n-1)*b^(n-1)-ab]/2,  Y=ab,  Z=[a^(n-1)*b^(n-1)+ab]/2

令n=3,  X=[a^2*b^2-ab]/2,  Y=ab,  Z=[a^2*b^2+ab]/2
X^2+y^n=[a^4*b^4-2*a^3*b^3+a^3*b^3]/4+4a^3*b^3/4=[a^4*b^4+3*a^3*b^3]/4
Z^2=[a^4*b^4+2*a^3*b^3+a^3*b^3]/4=[a^4*b^4+3*a^3*b^3]/4
X^2+y^n=Z^2