Primitive Pythagorean triples（本源勾股数）

yangchuanju

股与弦相差8的勾股数：                              
序        勾        股        弦        gcd
1        12        5        13        1
2        16        12        20        4
3        20        21        29        1
4        24        32        40        8
5        28        45        53        1
6        32        60        68        4
7        36        77        85        1
8        40        96        104        8
9        44        117        125        1
10        48        140        148        4
11        52        165        173        1
12        56        192        200        8
13        60        221        229        1
14        64        252        260        4
15        68        285        293        1
16        72        320        328        8
17        76        357        365        1
18        80        396        404        4
19        84        437        445        1
20        88        480        488        8
21        92        525        533        1
22        96        572        580        4
23        100        621        629        1
24        104        672        680        8
25        108        725        733        1
26        112        780        788        4
27        116        837        845        1
28        120        896        904        8
29        124        957        965        1
……

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股与弦相差9的勾股数：                              
序        勾        股        弦        gcd
1        15        8        17        1
2        21        20        29        1
3        27        36        45        9
4        33        56        65        1
5        39        80        89        1
6        45        108        117        9
7        51        140        149        1
8        57        176        185        1
9        63        216        225        9
10        69        260        269        1
11        75        308        317        1
12        81        360        369        9
13        87        416        425        1
14        93        476        485        1
15        99        540        549        9
16        105        608        617        1
17        111        680        689        1
18        117        756        765        9
19        123        836        845        1
20        129        920        929        1
……

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网页A096033给出10099个原始毕达哥拉斯三角形（本源勾股数）的斜边与两腿（弦数与勾股数）的差值：
Difference between leg and hypotenuse in primitive Pythagorean triangles.
本源勾股数勾股与弦之差
1, 2, 8, 9, 18, 25, 32, 49, 50, 72, 81, 98, 121, 128, 162, 169, 200, 225, 242, 288, 289, 338, 361, 392, 441, 450, 512, 529, 578, 625, 648, 722, 729, 800, 841, 882, 961, 968, 1058, 1089, 1152, 1225, 1250, 1352, 1369, 1458, 1521, 1568, 1681, 1682, 1800, 1849，……

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网页A118962给出10000个原始毕达哥拉斯三角形（本源勾股数）的斜边与短腿（弦数与勾数）的差值：
Difference between short leg and hypotenuse in primitive Pythagorean triangles
原始毕达哥拉斯三角形中短边和斜边的差
2, 8, 9, 18, 9, 25, 32, 25, 50, 32, 49, 25, 49, 72, 50, 32, 81, 49, 98, 81, 49, 121, 128, 98, 72, 50, 121, 162, 81, 128, 98, 169, 72, 121, 81, 200, 169, 128, 121, 225, 169, 242, 200, 162, 121, 128, 225, 98, 169, 288, 242, 121, 289, 162, 169, 128, 289, 338, 121, 225, 242，……

网页A118961给出10000个原始毕达哥拉斯三角形（本源勾股数）的斜边与长腿（弦数与股数）的差值：
Difference between long leg and hypotenuse in primitive Pythagorean triangles
原始毕达哥拉斯三角形中短边和斜边的差
1, 1, 2, 1, 8, 2, 1, 8, 1, 9, 2, 18, 8, 1, 9, 25, 2, 18, 1, 8, 32, 2, 1, 9, 25, 49, 8, 1, 32, 9, 25, 2, 49, 18, 50, 1, 8, 25, 32, 2, 18, 1, 9, 25, 50, 49, 8, 81, 32, 1, 9, 72, 2, 49, 50, 81, 8, 1, 98, 32, 25, 49, 72, 2, 18, 1, 121, 9, 25, 49, 8, 98, 32, 81, 121, 1, 9, 2, 25, 18, 128, 49, 50，……

yangchuanju

从上表可以看到，在本源勾股数中，弦数与股数的差只能是1,2,8,9,18,25,32,49,50,72,81,98,121,128……
2=2^1, 8=2^3, 32=2^5, 9=3^2, 18=2*3^2, 25=5^2, 32=2^5, 49=7^2, 50=2*5^2, 72=2^3*3^2, 81=3^4, 98=2*7^2, 121=11^2, 128=2^7, ……
即斜边减长腿是2的奇次方，3,5,7,11……的偶次方，或2的奇次方乘以3,5,7,11……的偶次方时才能给出原始毕达哥拉斯三角形（本源勾股数）。