程氏函数不定方程之aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)

lusishun

lusishun 发表于 2022-12-16 02:57
取a=3，b=2，c=1，n=2时，方程是
3X^5+2Y^6=Z^11.

3·（5^24）^5+2·（5^20）^6=（5^11）^11，
所以，
X=5^24，Y=5^20，Z=5^11.

lusishun

lusishun 发表于 2022-12-16 03:19
3·（5^24）^5+2·（5^20）^6=（5^11）^11，
所以，
X=5^24，Y=5^20，Z=5^11.

由此可见得到一组通解。

费尔马1

，，，，

费尔马1

lusishun 发表于 2022-12-16 11:20
由此可见得到一组通解。

鲁老师是采用了鲁氏解法，非常棒！

lusishun

lusishun 发表于 2022-12-16 02:44
（2^16）^3+（2^12）^4=（2^7）^7，
所以，
     X=2^16，Y=2^12，Z=2^7.

杨老师，咱想一起了，我散歩回来打开正想做这事，您先一步想到了，
由您的变形式子，
可得到：X=（a^63-1）^21，Y=（a^63-1）^16，Z=【a（a^63-1）】^9一组解。

费尔马1

lusishun 发表于 2022-12-16 10:44
（2^16）^3+（2^12）^4=（2^7）^7，
所以，
     X=2^16，Y=2^12，Z=2^7.

a^63+b^64=c^63
其中一个答案为：
a=vm^(64k+1)
b=m^(63k+1)
c=um^(64k+1)
m=u^63-v^63,
u、v为正整数，u＞v，k为0或正整数。

lusishun

lusishun 发表于 2022-12-16 02:44
（2^16）^3+（2^12）^4=（2^7）^7，
所以，
     X=2^16，Y=2^12，Z=2^7.

另一解集：
由（a^19）^3+（a^14）^4=（a^8）^7，
易得：X=（a^56-1）^19，Y=（a^56-1）^14，Z=【a（a^56-1）】^8.

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-12-16 19:04
另一解集：
由（a^19）^3+（a^14）^4=（a^8）^7，
易得：X=（a^56-1）^19，Y=（a^56-1）^14，Z=【a（ ...

鲁思顺2n^2+2n+19也是一条重要的素数链，给定n=0,1,2,3……，前18项都是素数。
第19项703=19*37=19*(2*19+1）不再是素数，再向后链条中亦含有多个素数。

类似素数链还有2n^2+2n+3,  2n^2+2n+7，链长分别是2和6，在p=11-97的素数中没有再找到相似的素数链。

2n^2+2n+p与2n^2-2n+p的区别：
2(n+1)^2-2(n+1)+p=2n^2+4n+2-2n-2+p=2n^2+2n+p
两种表达式中的参变量相差1。
同样n^2+n+p与n^2-n+p相比也相差1：
(n+1)^2-(n+1)+p=n^2+2n+1-n-1+p=n^2+n+p

n        2n^2+2n+19       
0        19        素数
1        23        素数
2        31        素数
3        43        素数
4        59        素数
5        79        素数
6        103        素数
7        131        素数
8        163        素数
9        199        素数
10        239        素数
11        283        素数
12        331        素数
13        383        素数
14        439        素数
15        499        素数
16        563        素数
17        631        素数
18        703        =19*37
19        779        =19*41
20        859        素数
21        943        =23*41
22        1031        素数
23        1123        素数
24        1219        =23*53
25        1319        素数

费尔马1

lusishun 发表于 2022-12-16 18:54
杨老师，咱想一起了，我散歩回来打开正想做这事，您先一步想到了，
由您的变形式子，
可得到：X=（a^ ...

杨老师出题：不定方程(a^21)^3+(b^16)^4=(c^9)^7即 a^63+b^64=c^63
A^63+B^64=C^63
其中一个答案为：
A=vm^(64k+1)
B=m^(63k+1)
C=um^(64k+1)
m=u^63-v^63,
u、v为正整数，u＞v，k为0或正整数。
当u=a,v=1,k=0时，m=a^63-1
可得到：A=（a^63-1），B=（a^63-1），C=a（a^63-1）一组解。

费尔马1

请问老师们，函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)的通解公式是否符合数学理论的要求？是否有意义？是否是创新？