极其美妙的题目

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-24 08:40
3楼说：要找到几组A^3+B^3=Z^3不算太难，但又要求其中的A和B都是23次方数就难了，再要求A是23^n次方、B是 ...

即解函数丢番图方程：
X^3*X^(23^n)+Y^3*Y^(23^n)=Z^3
回复杨老师，您提的这个函数不定方程一定有解，因为3与23互质，那么3也与23^n互质，则3也与3+23^n互质。
这个题可采用整体换元法解之，若采用取底数法解的话，X=Y，这样不美观。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-24 12:27
即解函数丢番图方程：
X^3*X^(23^n)+Y^3*Y^(23^n)=Z^3
回复杨老师，您提的这个函数不定方程一定有解， ...

费马定理说A^3+B^3=C^3无正整数解，那么(A^23N)^3+(B^23N)^3=C^3也是无解的；
然而A^3*A^23N=A^(3+23N)≠(A^23N)^3，X^3*X^(23^n)+Y^3*Y^(23^n)=Z^3不是费马三次方程。

yangchuanju

丢番图——丢番图——不是丢帆就是丢图——错，错，错！

3楼和7楼说：“要找到几组A^3+B^3=C^3并不算难，但又要求其中的A和B都是23次方数就难了”，
其实谁也找不到丢番图方程A^3+B^3=C^3（费马三次方程）的正整数解！

对于A^23+B^23=C^3吗，就不能轻易说它无解了！
——2^23+2^23=2^24=(2^8)^3

lusishun

n=1时，
X^26+Y^49=Z^3，
是吗？

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-24 08:02
n=1时，
X^26+Y^49=Z^3，
是吗？

杨先生做的是一种解法，并且还可以得到部分通解。
程先生有一种整体换元法，很巧妙

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-24 09:43
杨先生做的是一种解法，并且还可以得到部分通解。
程先生有一种整体换元法，很巧妙

设a^26+b^49=m ，
两边同乘以m^1274，
得：（am^49）^26+（bm^26）^49=（m^425）^3，
易得：X=am^49，
            Y=bm^26，
             Z=m^425.

（m=a^26+b^49，a，b为大于0的整数）



程先生审查为准