数论新篇，一字排成“继往开来”

yangchuanju

解费尔马函数不定方程：
（1）A^(2n)+B^(2n+1)+C^(2n+2)=D^(2n+3)
底数是3
循环周期
A：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n)*k
B：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n+1)*k
C：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n+2)*k
D：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n+3)*k
式中lcm是最小公倍数，k——0或正整数
非循环部分
求乘数m：[(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m+1]/(2n+3)是整数
A：(2n+1)*(2n+2）*m
B：(2n)*(2n+2)*m
C：(2n)*(2n+1)*m
D：[(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m+1]/(2n+3)

解费尔马函数不定方程：
（2）A^2020+B^2021+C^2022=D^2023
底数是3
循环周期
A：lcm(2020,2021,2022,2023)/2020*k
B：lcm(2020,2021,2022,2023)/2021*k
C：lcm(2020,2021,2022,2023)/202)*k
D：lcm(2020,2021,2022,2023)/2023*k
式中lcm是最小公倍数，k——0或正整数
非循环部分
求乘数m：(2020*2021*2022*m+1)/2023是整数
A：2021*2022*m
B：2020*2022*m
C：2020*2021*m
D：[2020*2021*2022*m+1]/2023

方程（2）的通解：
乘数m：[2020*2021*2022*m+1]/2023是整数，m=1686
A=3^(4133456313k+6889774932)
B=3^(4131411060k+6886365840)
C=3^(4129367830k+6882960120)
D=3^(4127326620k+6879557767)

A^2020=3^(8349581752260k+13917345362640)
B^2021=3^(8349581752260k+13917345362640)
C^2022=3^(8349581752260k+13917345362640)
D^2023=3^(8349581752260k+13917345362641)
A^2020+B^2021+C^2022=D^2023正确！

公式中的错误已修改！

yangchuanju

解费尔马函数不定方程：
（3）A^(2n)+B^(2n+1)+C^(2n+2)=4D^(2n+3)
将方程改为4D^(2n+3)-A^(2n)-C^(2n+2)=B^(2n+1)
4*2^m-2^m-2^m=2*2^m=2^(m+1)
底数是2
循环周期
A：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n)*k
B：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n+1)*k
C：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n+2)*k
D：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n+3)*k
式中lcm是最小公倍数，k——0或正整数
非循环部分
求乘数m：[(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m+1]/(2n+1)是整数
A：(2n+2)*(2n+3)*m
C：(2n)*(2n+3)*m
D：(2n)*(2n+1)*m
B：[(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m+1]/(2n+1)


解费尔马函数不定方程：
(4)A^2020+B^2021+C^2022=4D^2023
将方程改为4D^2023-A^2020-C^2022=B^2021
将A、C项放到右端都不行（不互素）
4*2^m-2^m-2^m=2*2^m=2^(m+1)
底数是2
循环周期
A：lcm(2020,2021,2022,2023)/(2020)*k
B：lcm(2020,2021,2022,2023)/(2021)*k
C：lcm(2020,2021,2022,2023)/(2022)*k
D：lcm(2020,2021,2022,2023)/(2023)*k
式中lcm是最小公倍数，k——0或正整数
非循环部分
求乘数m：(2020*2022*2023*m+1)/2021是整数
A：2021*2023*m
C：2020*2023*m
D：2020*2021*m
B：[2020*2022*2023*m+1]/2021

公式中的错误已再次修改！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-25 08:27
解费尔马1的世界级函数不定方程：
变换一下费尔马1方程的通解条件，不考虑循环周期，将uv汇入底数2中：
A ...

杨老师真是数学剑客！奇才，而且干劲冲天！学生佩服。
估计老师是采用“逐项配方法”，采用勾股数公式a^2+b^2=c^2做开始的参数恒等式，再进行各项配方来解的？其中a=u^2-v^2   b=2uv   c =u^2+v^2   

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-25 09:13
解费尔马函数不定方程：
（3）A^(2n)+B^(2n+1)+C^(2n+2)=4D^(2n+3)
将方程改为4D^(2n+3)-A^(2n)-B^(2n+1) ...

解费尔马函数不定方程：
(4)A^2020+B^2021+C^2022=4D^2023
将方程改为4D^2023-A^2020-C^2022=B^2021
因为2020=2*2*5*101
2021=47*43
2022=2*3*337
2023=7*17*17
即2023、2020、2022这三个数与2021互质，
故，可以将方程改为4D^2023-A^2020-C^2022=B^2021
取底数为2即可。
有不定方程2*2023*1010*1011x+1=2021y
继续解即可

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-25 09:13
解费尔马函数不定方程：
（3）A^(2n)+B^(2n+1)+C^(2n+2)=4D^(2n+3)
将方程改为4D^(2n+3)-A^(2n)-B^(2n+1) ...

解费尔马函数不定方程：
(4)A^2020+B^2021+C^2022=4D^2023
将方程改为4D^2023-A^2020-B^2021=C^2022
4*2^m-2^m-2^m=2*2^m=2^(m+1)
底数是2
注：老师的这种变形可能是无解的？

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-25 13:19
解费尔马函数不定方程：
(4)A^2020+B^2021+C^2022=4D^2023
将方程改为4D^2023-A^2020-C^2022=B^2021

解费尔马函数不定方程：
(4)A^2020+B^2021+C^2022=4D^2023
将方程改为4D^2023-A^2020-C^2022=B^2021
4*2^t-2^t-2^t=2*2^t=2^(t+1)
底数是2，乘数m：[2020*2022*2023*m+1]/2021是整数，m=1011
A=2^(4133456313k+4135501566)
B=2^(4131411060k+4133455301)
C=2^(4129367830k+4131411060)
D=2^(4127326620k+4129368840)

A^2020=2^(8349581752260k+8353713163320)
B^2021=2^(8349581752260k+8353713163321)=2*2^(8349581752260k+8353713163320)
C^2022=2^(8349581752260k+8353713163320)
D^2023=2^(8349581752260k+8353713163320)
A^2020+B^2021+C^2022=4*2^(8349581752260k+8353713163320)=4D^2023
正确！

错数已改正！

yangchuanju

采用一种新的配方法解费尔马函数不定方程：
（1）A^(2n)+B^(2n+1)+C^(2n+2)=D^(2n+3)
令解由4个底数组成，分别是2mp，2np，p^2-m^2-n^2，p^2+m^2+n^2
4个底数的循环周期都相同，分别是
A：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n)*k
B：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n+1)*k
C：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n+2)*k
D：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n+3)*k
式中lcm是最小公倍数，k——0或正整数

4个底数的非循环周期不相同，其中第1-4底数的乘数分别是
A的第1因子乘数m1：[(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)*m1+2]/(2n)是整数
B的第2因子乘数m2：[(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m2+2]/(2n+1)是整数
C的第3因子乘数m3：[(2n)*(2n+1)*(2n+3)*m3+2]/(2n+2)是整数
D的第4因子乘数m4：[(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m4+2]/(2n+3)是整数
第1-4底数的指数分别是
A的第1因子指数：[(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)*m1+2]/(2n)
A的第2因子指数：(2n+2)*(2n+3)*m2
A的第3因子指数：(2n+1)*(2n+3)*m3
A的第4因子指数：(2n+1)*(2n+2)*m4
B的第1因子指数：(2n+2)*(2n+3)*m1
B的第2因子指数：[(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m2+2]/(2n+1)
B的第3因子指数：(2n)*(2n+3)*m3
B的第4因子指数：(2n)*(2n+2)*m4
C的第1因子指数：(2n+1)*(2n+3)*m1
C的第2因子指数：(2n)*(2n+3)*m2
C的第3因子指数：[(2n)*(2n+1)*(2n+3)*m3+2]/(2n+2)
C的第4因子指数：(2n)*(2n+1)*m4
D的第1因子指数：(2n+1)*(2n+2)*m1
D的第2因子指数：(2n)*(2n+2)*m2
D的第3因子指数：(2n)*(2n+1)*m3
D的第4因子指数：[(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m4+2]/(2n+3)

A^(2n)的第1因子指数：(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)*m1+2
A^(2n)的第2因子指数：(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m2
A^(2n)的第3因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+3)*m3
A^(2n)的第4因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+2))*m4
B^(2n+1)的第1因子指数：(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)*m1
B^(2n+1)的第2因子指数：(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m2+2
B^(2n+1)的第3因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+3)*m3
B^(2n+1)的第4因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m4
C^(2n+2)的第1因子指数：(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)*m1
C^(2n+2)的第2因子指数：(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m2
C^(2n+2)的第3因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+3)*m3+2
C^(2n+2)的第4因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m4
D^(2n+3)的第1因子指数：(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)*m1
D^(2n+3)的第2因子指数：(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m2
D^(2n+3)的第3因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m3
D^(2n+3)的第4因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m4+2

去掉各项相同的因子，四项分别剩余(2pm)^2,  (2pn)^2,  (p^2-m^2-n^2)^2,  (p^2+m^2+n^2)^2

(2pm)^2+(2pn)^2+(p^2-m^2-n^2)^2
=4p^2*m^2+4p^2*n^2+p^4+m^4+n^4+2m^2*n^2-2p^2*m^2-2p^2*n^2
=p^4+m^4+n^4+2m^2*n^2+2p^2*m^2+2p^2*n^2

(p^2+m^2+n^2)^2=p^4+m^4+n^4+2m^2*n^2+2p^2*m^2+2p^2*n^2

(2pm)^2+(2pn)^2+(p^2-m^2-n^2)^2=(p^2+m^2+n^2)^2
剩余四项是四元毕达哥拉斯数。

3,4,12,13是一组四元毕达哥拉斯数，分别令
p^2-m^2-n^2,2pm,2pn,p^2+m^2+n^2等于3,4,12,13即得费尔马方程1的一组通解，
在这里不用管p，m，n究竟等于多少。

令n=1，且不考虑循环周期（即k=0），四项的指数分别是2,3,4,5；
4个乘数分别是m1=1，m2=1，m3=1，m4=2；
A的第1-4因子指数分别是31，20，15，24；
A^2的第1-4因子指数分别是62，40，30，48；
B的第1-4因子指数分别是20，14，10，16；
B^3的第1-4因子指数分别是60，42，30，48；
C的第1-4因子指数分别是15，10，8，12；
C^4的第1-4因子指数分别是60，40，32，48；
D的第1-4因子指数分别是12，8，6，10；
D^5的第1-4因子指数分别是60，40，30，50。

ABCD四项的第1,2,3,4因子分别高2次，
3^2+4^2+12^2=13^2，正确！

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-25 09:53
杨老师真是数学剑客！奇才，而且干劲冲天！学生佩服。
估计老师是采用“逐项配方法”，采用勾股数公式a^ ...

四元毕达哥拉斯数组通式
a^2+b^2+c^2=d^2
a=2mp
b=2np
c=p^2-(m^2+n^2)
d=p^2+(m^2+n^2)
a^2=4m^2*p^2
b^2=4n^2*p^2
c^2=p^4+(m^4+2m^2*n^2+n^4)-2p^2*(m^2+n^2)=p^4+m^4+n^4+2m^2*n^2-2p^2*m^2-2p^2*n^2
d^2=p^4+(m^4+2m^2*n^2+n^4)+2p^2*(m^2+n^2)=p^4+m^4+n^4+2m^2*n^2+2p^2*m^2+2p^2*n^2
a^2+b^2+c^2=p^4+m^4+n^4+2m^2*n^2+2p^2*m^2+2p^2*n^2=d^2

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-25 15:31
解费尔马函数不定方程：
(4)A^2020+B^2021+C^2022=4D^2023
将方程改为4D^2023-A^2020-C^2022=B^2021

B=2^(4131411060k+4131411060)
则B^2021=2^(8349581752260k+8349581752260）
老师的是B^2021=2^(8349581752260k+8353713163321)
这还不是唯一的错误，可能是整体上的方法不对吧？
这个题的答案不行啊。

费尔马1

解费尔马函数不定方程：
A^2020+B^2021+C^2022=4D^2023
将方程改为4D^2023-A^2020-C^2022=B^2021
其中一个答案为：
A=2^(4133456313k+2045253)
B=2^(4131411060k+2044241)
C=2^(4129367830k+2043230)
D=2^(4127326620k+2042220)
其中k为0或正整数