数学中国

标题: 征解： [打印本页]

作者: lusishun 时间: 2023-1-13 09:55
标题: 征解：
求：X^5+Y^7=Z^5的一组正整数解

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-13 10:59
求：X^5+Y^7=Z^5的一组正整数解
x=b(a^5-b^5)^4
y=(a^5-b^5)^3
z=a(a^5-b^5)^4
其中，a、b为正整数，a＞b

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-13 11:14
莫要小瞧了这个题，这个题别看指数小，关键是5、5同次，这就有难度，不过学生经过努力探索，终于发现一种巧妙方法，移项，把指数5、5放在等号一边，指数7放在另一边，然后整体换元，令a^5-b^5=m，直接对这个等式进行配方，两边同乘以m^(5X),由此等号右边必须满足5X+1=7Y,这个不定方程的最小解是，X=4,Y=3
即两边同×m^(5*4)……下面解法就简单了，老师们自己写出吧。

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-13 11:37
5X+1=7Y,这个不定方程的最小解是，X=4,Y=3
通解是X=7k+4 Y=5k+3
二元一次不定方程都是这种解法，数字小的时候可以采用人工计算，较大时可以采用电子表格计算，再大时采用辗转相除法求解。当然，还是直接用辗转相除法，这是通法，函数不定方程也要采用此法。

作者: lusishun 时间: 2023-1-13 12:22
我想可以把凑指数的过程，公布，不影响你的解法吧。

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-13 13:18

lusishun 发表于 2023-1-13 12:22
我想可以把凑指数的过程，公布，不影响你的解法吧。

老师啊，您就把您的解法发布，让学生我学习学习吧。谢谢！

作者: lusishun 时间: 2023-1-13 13:59
产生过程：大家知道
（12·15）^2+（12·20）^2=（15·20）^2
两边可以同除以15^2，得12^2+16^2=20^2，两边同除以4^2，得3^2+4^2=5^2.
即可以同除以，反过来，可以同乘以

作者: lusishun 时间: 2023-1-13 13:59

lusishun 发表于 2023-1-13 05:59
产生过程：大家知道
（12·15）^2+（12·20）^2=（15·20）^2
两边可以同除以15^2，得12^2+16^2=20^2，两 ...

在这个地方受启发

作者: lusishun 时间: 2023-1-13 14:35

lusishun 发表于 2023-1-13 05:59
在这个地方受启发

以X^2+Y^6=Z^10为例，
解：因为指数中都含有2公约数，所以属于勾股数范围。
（也就是你说的大勾股数，但不是X，Y，Z。）
因为有，a^2+b^2=c^2，
则，a^2·b^4+b^6=c^2·b^4，
再则，两边同乘以（c·b^2）^48，
（48的取得较麻烦，用到辗转相除法，还要兼顾左边两项的指数）
得：【a·b^2·（c·b^2）^24】^2+【b·（c·b^2）^8】^6=【（c·b^2）^5】^10.
整理得：（a·b^50·c^24）^2+（b^17·c^8）^6=（b^10·c^5）^10.
取a=3，b=4，c=5，（a=m^2-n^2，b=2mn，c=m^2+n^2就是通解）
得：X=3·4^50·5^24，
Y=4^17·5^8，
Z=4^10·5^5.
（未来得及检查验算。）

作者: lusishun 时间: 2023-1-13 14:40

lusishun 发表于 2023-1-13 06:35
以X^2+Y^6=Z^10为例，
解：因为指数中都含有2公约数，所以属于勾股数范围。
（也就是你说的大勾股数， ...

验算正确，没有错，这里取X的指数为2，还省了很多事，因为Z的指数是10，所有解的数值是很大大的。

作者: lusishun 时间: 2023-1-13 15:01

lusishun 发表于 2023-1-13 06:35
以X^2+Y^6=Z^10为例，
解：因为指数中都含有2公约数，所以属于勾股数范围。
（也就是你说的大勾股数， ...

实际上，凑底，与凑指数是交替，同时进行，没有界线

作者: lusishun 时间: 2023-1-13 20:06
我的解就复杂了，
有，a^20+b^21=Z^20.，
a=b=a^20-1，c^=a（a^20-1），
易得：X=（a^20-1）^4，
Y=（a^20-1）^3，
Z=【a（a^20-1）】^4.
a为大于1的整数，

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-14 10:04
鲁老师好！

作者: lusishun 时间: 2023-1-14 12:39
征解新题：
X^10+Y^10=Z^3，
老鲁的解法是：a^20+b^20=C^21，
所以，取X=2^2，
Y=2^2
Z=2^7，

作者: lusishun 时间: 2023-1-14 13:30

lusishun 发表于 2023-1-14 04:39
征解新题：
X^10+Y^10=Z^3，
老鲁的解法是：a^20+b^20=C^21，

用程方法解：X^10+Y^10=Z^3.
设a^10+b^10=m，
两边同乘以m^20，
得，【am^2】^10+（bm^2）=（m^7）^3，
所以，X=a（a^10+b^10），
Y=b（a^10+b^10），
Z=a^10+b^10.

程先生审阅对错与否？

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-14 13:48
本帖最后由费尔马1 于 2023-1-14 14:34 编辑

用程方法解：X^10+Y^10=Z^3.
设a^10+b^10=m，
两边同乘以m^20，
得，【am^2】^10+（bm^2）^10=（m^7）^3，
所以，X=a（a^10+b^10）^2，
Y=b（a^10+b^10）^2，
Z=(a^10+b^10.)^7
注：上面有不定方程10x+1=3y
x小=2，y小=7
x=3k+2 y=10k+7
两边同×m^10x 即同×m^[10（3k+2）]
继续解，得到更通解。

作者: lusishun 时间: 2023-1-18 05:49
凑底法，凑指数法，应该放在一起称作：
凑指凑底法。
回忆，求解，X^4+Y^3=Z^5是，就由
2^24+2^24=2^25
知：X=2^6，Y=2^8，Z=2^5，
就进行了凑指又凑底。

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-18 09:55
鲁老师您好！

作者: ysr 时间: 2023-1-19 10:06
朋友，我发个重要启示：本版块谁发的一个文章，内容是关于某类整数拆分成的勾股数个数最多的，标题也忘记了，我也参与了，编程验证的结果是楼主的猜想是对的，程序代码我也发上去了，文章重要，我找不到了。麻烦知道的朋友请顶起来！（当时我验证的数据已经很大了，这样的整数有价值可能是，就是可能用来做完美长方体的体对角线）

作者: wangyangke 时间: 2025-2-10 14:41
哥猜分坛的鲁思顺是个三愚蠢四无知的老牌二百五
窥熊一兵王若仲赞评鲁思顺哥猜证明之一斑而知熊王诸多猜想证明之全豹是垃圾
论坛上没有称得上靠得住的哥猜证明，却有些靠得住的二百五；鲁思顺是二百五中的突出代表，，，
鲁思顺、熊一兵、王若仲，一群傻瓜蛋

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