先看费马大定理的3次幂

lusishun

先理解了程先生的解法，再理解证明.

费尔马1

lusishun 发表于 2023-1-14 19:40
先理解了程先生的解法，再理解证明.

鲁老师看透了学生的整体换元法了，谢谢！

lusishun

X^3+Y^3=Z^k（k不是3的倍数）
就有正整数解。若k是3的倍数，就没有正整数解。
程先生，解这类方程，有套方法 。

程先生又用这套方法，去求k是3的倍数时，方程的解，求不出来（凑不出达到要求的指数），所以判断，无解。
（老鲁的理解）

lusishun

X^3+Y^3=Z^12.
就无解，
用解X^3+Y^3=Z^10
的方法，凑不来符合要求的指数，（也就是用辗转相除法，得不到那个“1”），判定无解。
（老鲁的理解）

yangchuanju

丢番图方程a^3+b^3=c^k的解：
对于丢番图方程a^3+b^3=c^k，若无特殊说明其解皆指正整数解。
当k=1时，方程有无穷多组解，因为随意给定一组a和b，总能得到一个整数。
引申——哪些正整数可表示成两个立方数之和；哪些正整数能表示成2对、3对、4对……立方数之和？
此乃华林问题，放到一边不提。
当k=3时，方程无正整数解，此乃费马早已证明的；类推，当k=6,9,12……时方程都无解。

当k=2时，a^3+b^3=c^2是有解的，其正整数解只有有限组！
最小的一组是1^3+2^3=3^2，即a=1、b=2、c=3。
a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2)
a^3+b^3若是一个平方数，则必须有a^2-ab+b^2=a+b，
a^2-(b+1)a+(b^2-b)=0
a={(b+1)±[(b+1)^2-4*(b^2-b)]^0.5}/2=(b+1)/2±(6b-3b^2+1)^0.5/2
令b=2，则a=3/2±1/2=2或1；
验：2^3+2^3=16=4^2，1^3+2^3=9=3^2。
令b≥3，平方根下的6b-3b^2+1小于0，方程a^3+b^3=c^2不再有正整数解，
据此方程a^3+b^3=c^2有二组正整数解（1,2,3）、（2,2,4）。

当k=4时，已经知道它有一组正整数解（2,2,2）了；
当k=5时，已经搜索到它有3组正整数解（6,3,3）、（3,6,3）、（8,8,4）。

无限——有限——无，这就是不同指数的规律。

lusishun

yangchuanju 发表于 2023-1-15 00:39
丢番图方程a^3+b^3=c^k的解：
对于丢番图方程a^3+b^3=c^k，若无特殊说明其解皆指正整数解。
当k=1时，方 ...

X^3+Y^3=Z^2
应该有无穷多组解吧

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-15 00:48
X^3+Y^3=Z^2
应该有无穷多组解吧

解：设m=a^3+b^3，
两边同乘以m^3，
得m^4=m^3·a^3+m^3·b^3，
所以X=a·（a^3+b^3），
       Y=b·（a^3+b^3），
        Z=（a^2+b^2）^2.
（任给a，b一组值，就可以求出一组不定方程的解）

yangchuanju

lusishun 发表于 2023-1-15 08:58
解：设m=a^3+b^3，
两边同乘以m^3，
得m^4=m^3·a^3+m^3·b^3，

妙！
令a=3,b=5
a^3+b^5=27+125=152
x=3*152=456
y=5*152=760
z=(152)^2=23104
Z=（a^3+b^3）^2，非Z=（a^2+b^2）^2也！

x^3=        94818816
y^3=        438976000
z^2=        533794816
x^3+y^3-z^2=        0

yangchuanju

lusishun 发表于 2023-1-15 08:58
解：设m=a^3+b^3，
两边同乘以m^3，
得m^4=m^3·a^3+m^3·b^3，

设m=a^3+b^3，
两边同乘以m^3，
得m^4=m^3·a^3+m^3·b^3，
所以X=a·（a^3+b^3），
Y=b·（a^3+b^3），
Z=（a^3+b^3）
就是X^3+Y^3=Z^4的解喽！
（任给a，b一组值，就可以求出一组不定方程的解）

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-15 10:18
设m=a^3+b^3，
两边同乘以m^3，
得m^4=m^3·a^3+m^3·b^3，

老师解的对，这样的小指数用观察法就能解，当指数大时，可采用辗转相除法。
A^4999+B^4999=C^2999
由于4999、2999都是素数，所以此方程有正整数解。
令a^4999+b^4999=m
则有不定方程4999x+1=2999y
用辗转相除法解这个二元一次不定方程。
求出x、y即可。