函数型丢番图不定方程解结构探讨

费尔马1

移项得，U^(4n+3)+Y^(2n+2)+Z^(2n+3)=X^(2n+1)
或U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)=y^(2n+2)
老师可以解这两个不定方程，采用鲁氏解法（即取底数法），取底数为3，试试是否有函数解？

费尔马1

U^(4n+3)+Y^(2n+2)+Z^(2n+3)=X^(2n+1)
其中一个答案是：
u=3^[(8n^3+24n^2+22n+6)k+4n^3+10n^2+6n]
y=3^[(16n^3+44n^2+36n+9)k+8n^3+18n^2+9n]
z=3^[(16n^3+36n^2+26n+6)k+8n^3+14n^2+6n]
x=3^[(16n^3+52n^2+54n+18)k+8n^3+22n^2+16n+1]
其中，n为正整数，k为0或正整数。

费尔马1

请老师们检验，谢谢！
估计U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)=y^(2n+2)也有解，待解？

费尔马1

杨老师您好：
您以前发的帖子，一个5次幂等于8个5次幂的函数恒等式，还有3次幂的恒等式，我找不到了，请顶帖子。谢谢！

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-29 17:10
杨老师您好：
您以前发的帖子，一个5次幂等于8个5次幂的函数恒等式，还有3次幂的恒等式，我找不到了，请顶 ...

请看一下鲁思顺的《又，突然发现》和我的《有解就凉出来》，看一看里面有没有老师所要的内容。

关于解四元丢番图不定方程的问题，说真的，我无意解它们。对于此类方程，我只会最小公倍数法，辗转相除法不会、整体换元法也没有探讨。

只是看到您的三元带三个系数的6底数通解式，3个底数分别高2次（为一组勾股数），三个底数分别低1次；受此启发想推广到四元丢番图不定方程，用一组四元毕达哥拉斯数组作底数；若部分项或全部项又带有整系数，再用低1次幂数表示，最多形成8个幂数的连乘积。
不想对于那个方程的4个指数不全互素，故只算出6个指数。

朱明君

\(设x为大于等于2的正整数，n为任意正整数，x又为公式中的前项个数，\)
\(则x^n+x^n+\cdots+x^n=x^{(n+1)}){,}\ \ \ \ \ \ \ 简化公式：x(x^n)=x^{(n+1)}\)
\(x=2，\ \ \ 2^n+2^n=2^{(n+1)，}，\)
\(x=3，\ \ \ 3^n+3^n+3^n=3^{(n+1)}，\)
\(x=4，\ \ \ 4^n+4^n+4^n+4^n=4^{(n+1)，}，\)
\(\cdots\cdots。\)

朱明君

，，，，，，，，，，，，，，，，，

朱明君

，，，，，，，

费尔马1

U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)=y^(2n+2)
可以引出无穷多个函数不定方程：
由(2n+3)与(2n+2)互质，则(4n+5)与(2n+3)、(2n+2)互质
所以U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)+v^(4n+5)=y^(2n+2)
由(4n+5)与(2n+2)互质，则(6n+7)与(4n+5)、(2n+2)互质
所以U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)+v^(4n+5)+q^(6n+7)=y^(2n+2)
…………………………………………………………………………
猜想这些不定方程是有函数解的。

费尔马1

解函数不定方程U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)=y^(2n+2)
解：(4n+3)(2n+1)(2n+3)x+1=(2n+2)y
即（16n^3+44n^2+36n+9）x+1=(2n+2)y
解得：x=(2n+2)k+2n+1
y=（16n^3+44n^2+36n+9）k+16n^3+36n^2+22n+5
继续解下去即可