完美立方体不存在

yangchuanju

在网页A096907-A096710给出的10000组毕达哥拉斯四元数组
a^2+b^2+c^2=d^2, 0<a<=b<=c<=d, gcd(a,b,c,d)=1之中
有270多组一条面对角线的整数的数组，但没有两条面对角线都是整数的。

太阳

完美长方体被别人找到吧

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-2-13 11:41
完美立方体可能不存在，因为在10^10以内没有找到3边+3面对角线+1体对角线都是整数的立方体，但也无人给 ...

ysr曾在他的《几个VB小程序》中给出多组几乎是完美立方体的数值，每组7数，分别对于于3边abc，3面对角线def，1体对角线g；               
现择其一组（108楼）进行分析：               
a        599964       
b        2999640000       
c        3999520000       
d        2999640060       
e        4999400000       
f        3999520045       
g        4999400036       
经计算知：               
项目        数值        开平方
a^2+b^2        8997840489556801296        2999640059.9999996
b^2+c^2        24994000360000000000        4999400000
a^2+c^2        15996160590356801296        3999520044.99999991
a^2+b^2+c^2        24994000719956801296        4999400036
其中的第1、第3个数不是整数，不等于d和f。               
粗算defg都是整数，细算内有两条面对角线不是整数，尽管它们非常接近整数，               
本例为缺两条面对角线的非完美立方体的数据。               

yangchuanju

105楼给出的另一组缺一条面对角线的数据其实是缺3条面对角线的数值：               
a        7758126551        60188527581331155601
b        22128600000        489674937960000000000
c=b        22128600000        489674937960000000000
d        23449167694       
e        31294566236       
f        23449167694       
g        32241873449       
经计算知：               
项目        数值        开平方
a^2+b^2        549863465541331155601        23449167693.99995475
b^2+c^2        979349875920000000000        31294566236.32927105
a^2+c^2        549863465541331155601        23449167693.99995475
a^2+b^2+c^2        1039538403501331155601        32241873449

yangchuanju

立方体体对角线g^2=a^2+b^2+c^2=d^2+c^2，其中d^2=a^2+b^2；
类似地，g^2=e^2+b^2,  g^2=f^2+a^2,
3g^2=d^2+e^2+f^2+a^2+b^2+c^2
2g^2=d^2+e^2+f^2
此乃立方体体对角线与面对角线之间的函数关系式。

联解丢番图方程
2g^2=d^2+e^2+f^2
d^2=a^2+b^2
e^2=a^2+c^2
方程中b^2+c^2是否是平方数不计较；
即得缺一条边的非完美立方体数据。

联解丢番图方程
2g^2=d^2+e^2+f^2
d^2=a^2+b^2
e^2=a^2+c^2
方程中f^2是否等于a^2+b^2不计较，
即得缺一条面对角线的非完美立方体数据。

yangchuanju

欧拉砖数据的转换
欧拉砖即为3条边、3条面对角线都是整数的立方体，距完美立方体只差1条体对角线。
现令欧拉砖的最大面a*b为底面，最小边c为高；
再令欧拉砖的最长面对角线为体对角线，从底面翘起，同时高c向里跟进，仍保持高c与底面垂直；
假定a边、b边的方向不变，由于c边向内移动，ab边同时缩小，一般不再是整数；此时3面对角线也都变小，不再是整数；
欧拉砖变成只有1条边c和1条体对角线是整数的立方体了。

如若以缩小后的底面对角线为直径画圆，让a与b的交点始终在圆周上，且保持边a或边b的长度不变，则转换后（a垂直于b）仍为立方体，
且其中的两个边长度未变，一条面对角线未变，转换后欧拉砖变成有2条边和1条面对角线、1条体对角线是整数的立方体了。

Treenewbee

\[a=18720, b=\sqrt{211773121}, c=7800,d_{ab}=23711, d_{ac}=20280, d_{bc}=16511,  d_{abc}=24961\]

Treenewbee

这个是欧拉发现的：

\[ a=672, b=153, c=104,d_{ab}=3\sqrt{52777}, d_{ac}=680, d_{bc}=185, d_{abc}=697\]

Treenewbee

可以试着构造只有1条非整数棱或者1条非整数面对角线或者1条非整数体对角线的abc，并使这个非整数尽可能的接近某个整数

Treenewbee

利用已有数据分析其规律，或许可以找到通解公式