一道最适合用解析法证明的几何题

kanyikan

该问题的普遍情况如下：

denglongshan

P是外接圆上任意点，P垂直于三边交外接圆于DpPePf，Pf，Hp是它们构成三角形的垂心，Q是西莫松直线与欧拉直线的交点。
证明对于图中位置关系，
OHp=OH，2*∠EQ 外心+∠H外心BC=180.00°
用复斜率容易得多，如果学生问，为什么不加入课本，如何解释

denglongshan

天山草 发表于 2023-3-1 22:00
答复 6# 楼：
我认为复斜率的概念虽然很好，但是不宜纳入中学课本中去。因为离开计算软件就没办法应用，也 ...

对于上楼的问题，手工计算可以应用，且比解析几何容易得多，十多年前，人民教育出版社高中数学论坛有帖子介绍过Mathematica。
李邦河院士指出，数学最重要的是概念，不是技巧，软件只是工具，中学已经在开设计算机课程，建议增加符号计算软件内容，当然我俩说话不算数。

dodonaomikiki

几何的话，
也许我们郭嘉可以在延伸出一个领域：美学几何，也就是
具有美感的，享受的，图形不“杂乱”，解题过程不过于繁琐的一种几何



另外，几何也有一个领域，具有强大传统实力就是工科生这一部分！
工科生木有必要，
对数学包根温蒂，毕竟就是用得好，就行！
反例便是于敏！
他本来读的也是工程专业，
但喜欢包根温蒂，不懂得数学问题去问老师，接连碰壁，
只好改行！

当时我觉得，那些工科老师应该加强数学功底！
但如今细想，实在木有必要，
一方面要牵涉太多精力，另一面也影响工作。
工科老师知道数学太多，不现实，同时也是一个过于苛刻的要求，实在木有必要

denglongshan

kanyikan 发表于 2023-3-2 10:10
该问题的普遍情况如下：

\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = a = 0;
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = b = 1;
FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)

\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
c1 = FourPoint[a, b, c, p];
\!\(\*OverscriptBox["c1", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a, b, c, p];
b1 = FourPoint[a, c, b, p];
\!\(\*OverscriptBox["b1", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a, c, b, p];
a1 = FourPoint[c, b, a, p];
\!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[c, b, a, p];
q = c1 + (c1 - c) t;
\!\(\*OverscriptBox["q", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["c1", "_"]\) + (
\!\(\*OverscriptBox["c1", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\)) t;(*t是实数，Q在C1C直线上*)
d = FourPoint[a, q, c1, a1];
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a, q, c1, a1];
Simplify[{a1, b1, c1, q, d}]
Simplify[{1, FourPoint[a, b, q, b1], 2, FourPoint[a, b, c, d], 3,
  FourPoint[d, c, q, b1]}]
Factor[{10, FourPoint[a, b, q, b1], 20, FourPoint[a, b, c, d]}]
Simplify[{FourPoint[a, b, q, b1] - FourPoint[a, b, c, d], ,
  FourPoint[a, b, c, d] - FourPoint[d, c, q, b1]}]

denglongshan

怎么代码会有问题呢

天山草

用 mathematica 写的计算程序：



程序运行结果：



说明： 由于各点坐标的表达式比较复杂，因而程序中没有写出打印各点坐标的语句。

天山草

1. Clear["Global`*"];  
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 1/a; \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = 1/b; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = 1/c; p = u + I v; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = u - I v; k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));(*复斜率定义*)
   
3. (*过A1点、复斜率等于k1的直线，与过A2点、复斜率等于k2的直线的交点*)
   
4. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
   
5. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));a1 = Simplify@Jd[k[a, p], a, k[b, c], b];
   
6. \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[a, p], a, k[b, c], b];
   
7. b1 = Simplify@Jd[k[b, p], b, k[a, c], a]; \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[b, p], b, k[a, c], a];
   
8. c1 = Simplify@Jd[k[c, p], c, k[a, b], a]; \!\(\*OverscriptBox[\(c1\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[c, p], c, k[a, b], a];
   
9. q = \[Lambda] c1 + (1 - \[Lambda]) c; \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = \[Lambda] \!\(\*OverscriptBox[\(c1\), \(_\)]\) + (1 - \[Lambda]) \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\);
   
10. d = Simplify@Jd[k[a, q], a, k[c1, a1], c1]; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[a, q], a, k[c1, a1], c1];
    
11. z1 = Simplify@Jd[k[a, b], a, k[b1, q], b1]; \!\(\*OverscriptBox[\(z1\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[a, b], a, k[b1, q], b1];
    
12. z2 = Simplify@Jd[k[c, d], c, k[b1, q], b1]; \!\(\*OverscriptBox[\(z2\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[c, d], c, k[b1, q], b1];
    
13. z3 = Simplify@Jd[k[c, d], c, k[a, b], a];
    
14. \!\(\*OverscriptBox[\(z3\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[c, d], c, k[a, b], a];
    
15. Print["AB、B1Q、CD 三条直线两两交于 Z1、Z2、Z3 点。下面测试这三个交点是否重合："]
    
16. Simplify[z1 == z2 == z3]
    
17. Print["由于 Z1、Z2、Z3 三点坐标完全相同，所以它们交于一点，故 AB、B1Q、CD 三线共点。"]
    

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