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发表于 2023-4-8 09:16
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春风晚霞：文献[3]“§ 1.2 自然数的序数理论”使用皮亚诺（G..Peano）提出的自然数继数公理建立自然数序列的做法是应当的，但他们这一节对这个序列的叙述还应用了ZFC形式语言集合论的“无穷集合N存在公理”，对于这个公理，需要研究“无穷集合N 如何才能存在的问题及其元素个数的问题”。具体讲来，对于现行教科书称N=｛0，1，2，3，……｝为自然数无穷集合的论述，需要根据恩格斯在《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节的，48页讲到：“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”的说法，提出无限来源于有穷集合的本质及其性质。首先，根据自然数的十进计数法可以提出如下的三个以有穷集合为项的无穷序列 ：
{0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},…… （1）
或{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
或{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
然后使用广义极限的方法，得到这三个无穷序列的趋向性极限都是想象性的元素个数为+∞的无穷集合。式中符号+∞是华东师大《数学分析》上册1980年版80 页无穷大量研究中讲的“非正常（或称广义）极限[4] 性质的“非正常实数”。序列（1）中各个集合的元素个数为无穷数列{n+1}，序列（2）中各个集合的元素个数为无穷数列{10n}，序列（3）中各个集合的元素个数为无穷数列 ，虽然这三元素个数序列的广义极限都是+∞，但根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式, 与 的定值法则，都需要使用∞与0的取极限之前的变数计算其不定式的极限值，因此上述三个+∞ 表示的多少是不相同的：（2）式表示的比（1）式表示的元素个数多，（3）式表示的元素个数比（1）（2）式都多。这说明：文献[5]（张锦文编著. 《集合论与连续统假设浅说》）34-38页提出了“把N记作ω”，“ω是一个序数，而且是一个最小序数”，“把ω记作ω0”，然后把ω0 记作 ，并称它为第一个无穷基数。与前述自然数集合的三个构造过程来看，康托尔把无穷集合元素个数看做定数，提出上述无穷序数、无穷基数，自然数集合元素个数为 的做法是违背事实的。为此，需要提出如下的自然数集合的以实践事实为根据的定义。
定义2：元素个数为有限理想自然数的正常集合叫做有穷自然数集合；以元素个数无限增多的有穷自然数集合为项的无穷序列的元素个数序列的趋向于+∞：包含所有自然数的元素个数为非正常实数+∞的自然数集合叫做：元素个数为非正常实数+∞的含有所有自然数的，不可构造完毕的想象性质的、无穷性质的、非正常自然数集合；依照惯例，可以记作：N=｛0，1，2，3，……｝。
关于笔者这个定义中的“不可构造完毕的想象性质”是有人反对的，他们认为：这个性质不成立，但笔者认为“这个性质是无穷集合元素个数可以无限增多的必然结果，因为无限增多是永远无法完成的做作，所以必然有无穷集合不能构造完毕的性质”；有人认为：“在笔者这个形之下，无穷集合只有有限个元素”，对此笔者认为：“无限与有限之间具有相互对立、相互依存的对立统一关心”。“” |
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发表于 2023-4-5 15:10
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