探索高精度计算素数对个数的弥合计算公式

愚工688

更大一些的偶数的素数对数量的计算：


G( 2222222222222 )= 2017812053；Sp( 2222222222222 *)≈  2017156549.1 , jdz ≈ 0.999675；
G( 2222222222224 )= 2046753131；Sp( 2222222222224 *)≈  2046001489.9 , jdz ≈ 0.999633；
G( 2222222222226 )= 3907465680；Sp( 2222222222226 *)≈  3906002844.4 , jdz ≈ 0.999626；
G( 2222222222228 )= 1953753962；Sp( 2222222222228 *)≈  1953049733.9 , jdz ≈ 0.999640；
G( 2222222222230 )= 2610332985；Sp( 2222222222230 *)≈  2609353772.0 , jdz ≈ 0.999625；
start time =17:08:40,end time=18:16:49 ,time use =

Sp( 2222222222222 *) = 1/(1+ .17175 )*( 2222222222222 /2 -2)*p(m) ≈ 2017156549.1 , k(m)= 1.03285
Sp( 2222222222224 *) = 1/(1+ .17175 )*( 2222222222224 /2 -2)*p(m) ≈ 2046001489.9 , k(m)= 1.047619
Sp( 2222222222226 *) = 1/(1+ .17175 )*( 2222222222226 /2 -2)*p(m) ≈ 3906002844.4 , k(m)= 2
Sp( 2222222222228 *) = 1/(1+ .17175 )*( 2222222222228 /2 -2)*p(m) ≈ 1953049733.9 , k(m)= 1.000025
Sp( 2222222222230 *) = 1/(1+ .17175 )*( 2222222222230 /2 -2)*p(m) ≈ 2609353772 , k(m)= 1.336074

vfbpgyfk

用我的方法计算一下愚工给出真值的45个偶数，就算是向愚工汇报吧。不计算真实素数对个数，用时很短，计算这些只是秒级时间。
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我的这种动态系数计算精度有这么一种规律；在一个数量级内（相同位数），小一点偶数计算出来的素数对个数偏 小一点，然后，随着偶数的增大，逐步地向偏大方向趋 近，当误差略显大一点时，就该换数量级了（增加一个位数），由此，又开始按照前面所讲的规律循环开来了。

大傻8888888

vfbpgyfk认为从极限角度审视动态系数[1-1/(p-1)(p-1)]→0（其中p＞2）是不对的，实际上[1-1/(p-1)(p-1)]=0.6601618........（其中p＞2    p→∞）是一个常量，也就是有名的孪生素数常量。在计算偶数N的素数对时，动态系数[1-1/(p-1)(p-1)]只需要到2＜p＜√N即可。
哈李公式计算素数对个数，当偶数大于40 亿亿时，计算值与实际值之比大于0.95，当偶数趋近无限大时，计算值与实际值之比趋近1。对于比较小的偶数想要高精度计算素数对个数，可以设偶数N以内素数个数为M，根据哈李公式得出偶数N以内素数对个数的值为：
2CΠ[(p-1)/(p-2)]M^2/N     （ ∏[(p-1)/(p-2)]里p|N    2＜p≤√N）
根据上面的公式得出的值比哈李公式精确度要好得多。

vfbpgyfk

大傻8888888 发表于 2023-3-7 13:53
vfbpgyfk认为从极限角度审视动态系数[1-1/(p-1)(p-1)]→0（其中p＞2）是不对的，实际上[1-1/(p-1)(p-1)]=0. ...

都是些小于1的小数连乘积，若是从无穷角度讲，偶数无穷，开平方根也是无穷，只是无穷阶的差异。所以，当有无穷个小于1的小数连乘积，乘积只能越来越小，根据什么能够极限于某个固定值？
若是这种乘积固定于某个值，就等于说素数到了穷尽地步。
至于哈-李公式计算精度问题，你说的40亿亿偶数，你计算过吗？根据哈-李公式计算精度趋势来看，计算出来的素数对个数似乎呈趋近于真值，也就是这种趋势，可以判断，当趋近于真值后，就将向计算值大于真值方向发展，最终将是趋向于无穷大负误差方向发展。
所以，固定动态系数，是条死亡之路，必须随着偶数的增大而调整动态系数，总的趋势是逐步地减小动态系数。但，又要永远不能等于0，也就是说，动态系数计算式的极限要>0。
需要强调和提醒的是：当从无穷角度考虑问题时，就要配套地统筹地考虑。也就是说，偶数无穷、开平方也要无穷、小数的位数还要有无穷多位等。只要有一个方面失去了无穷待遇，就会产生误区或误解。

愚工688

连乘式的计算值是针对偶数M的√M外的素数对数量的，从筛选的含义中并不包含【√M内的素数对数量】。
例：偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分成两个素数对A±x的变量x的取值区间[0，A-3]中含有的整数为( 908/2- 2)个，
因此，其构成素对的x值的计算式是：
Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15

具体到每一步的含义：
1/2——[0，A-3]中满足除以2的余数不等于j2的数的发生概率；
( 1/ 3)—— [0，A-3]中满足除以3的余数不等于j3与（3-j3）的数的发生概率；
( 3/ 5)—— [0，A-3]中满足除以5的余数不等于j5与（5-j5）的数的发生概率；
( 5/ 7)—— [0，A-3]中满足除以7的余数不等于j7与（7-j7）的数的发生概率；
……
这里的j2,j3,…,jn,…，jr系偶数半值A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。

因此依据概率的独立事件的乘法定理：
在自然数[0，A-3]区域中除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r-jr)的x值的分布概率P(m)，
有P(m)=P(2·3·5·…·n·…·r))
      =P(2)P(3)…P(n)…P(r).
即有
Sp( 908)=( 908/2- 2)*P(m)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15
A= 454 ，
x= : 33 , 45 , 87 , 117 , 123 , 147 , 177 , 255 , 273 , 297 , 303 , 315 , 357 , 375 , 423 ,
M= 908 S(m)= 15 S1(m)= 15 Sp(m)≈ 15 δ(m)≈ 0 K(m)= 1 r= 29

从小偶数的具体计算数据中也可以看出，连乘式计算值Sp(m)与【√M外的素数对数量】密切关联：
Sp(m)：素数连乘式四舍五入后取整。
s1(m)——即是不含小于√M的素数的素对数量。
δ1(m)—— 即为Sp(m)对s1(m)的相对误差。
δ(m)—— 即为Sp(m)对全部素对S(m)的相对误差。

M= 6          ,S(m)= 1      ( s1= 1 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 8          ,S(m)= 1      ( s1= 1 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 10         ,S(m)= 2      ( s1= 2 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈-.5
M= 12         ,S(m)= 1      ( s1= 1 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 14         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 16         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 18         ,S(m)= 2      ( s1= 2 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈ .5     ,δ1(m)≈ .5
M= 20         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 22         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 24         ,S(m)= 3      ( s1= 3 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 26         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.667   ,δ1(m)≈-.5
M= 28         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 30         ,S(m)= 3      ( s1= 3 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ .333   ,δ1(m)≈ .333
M= 32         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 34         ,S(m)= 4      ( s1= 2 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 36         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈ 0
M= 38         ,S(m)= 2      ( s1= 2 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 40         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 42         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .333
M= 44         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 46         ,S(m)= 4      ( s1= 2 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 48         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 50         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈-.333
M= 52         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 54         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 56         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 58         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈-.333
M= 60         ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ 0
M= 62         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 64         ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.6     ,δ1(m)≈-.333
M= 66         ,S(m)= 6      ( s1= 4 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ .25
M= 68         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 1
M= 70         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 72         ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ 0
M= 74         ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈ 0
M= 76         ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈ 0
M= 78         ,S(m)= 7      ( s1= 5 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.286   ,δ1(m)≈ 0
M= 80         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .333
M= 82         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈-.25
M= 84         ,S(m)= 8      ( s1= 7 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 7      ,δ(m)≈-.125   ,δ1(m)≈ 0
M= 86         ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈ 0
M= 88         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈ 0
M= 90         ,S(m)= 9      ( s1= 8 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 8      ,δ(m)≈-.111   ,δ1(m)≈ 0
M= 92         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈ 0
M= 94         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈-.25
M= 96         ,S(m)= 7      ( s1= 6 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 7      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .167
M= 98         ,S(m)= 3      ( s1= 3 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ .333   ,δ1(m)≈ .333
M= 100        ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ 0
M= 102        ,S(m)= 8      ( s1= 7 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 7      ,δ(m)≈-.125   ,δ1(m)≈ 0
M= 104        ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ .333
M= 106        ,S(m)= 6      ( s1= 4 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 108        ,S(m)= 8      ( s1= 6 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 7      ,δ(m)≈-.125   ,δ1(m)≈ .167
M= 110        ,S(m)= 6      ( s1= 4 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ .25
M= 112        ,S(m)= 7      ( s1= 5 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.286   ,δ1(m)≈ 0
M= 114        ,S(m)= 10     ( s1= 8 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 8      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 116        ,S(m)= 6      ( s1= 4 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 118        ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈-.2
M= 120        ,S(m)= 12     ( s1= 11 ,s2= 1 ),  Sp(m)≈ 11     ,δ(m)≈-.083   ,δ1(m)≈ 0

愚工688

13位数的偶数，我的对数计算式用时太长，没有心思计算。只能采用那宝吉先生的分解因子的数据，计算其中几个波动系数简单的偶数（方便手工输入程序中），从中可以看出计算式Xi(M)对万亿级偶数素数对的计算精度：

G( 1111111111118 ) = 1028290769  ;Xi( 1111111111118 ) ≈  1019645543.5 ； jd(M)≈0.99159；
G( 1111111111122 ) = 2056565991  ;Xi( 1111111111122 ) ≈  2039291087   ； jd(M)≈0.99160；
G( 1111111111138 ) = 1233959247  ;Xi( 1111111111138 ) ≈  1223574652.2 ； jd(M)≈0.99158；
G( 1111111111150 ) = 1371022749  ;Xi( 1111111111150 ) ≈  1359527388   ； jd(M)≈0.99162；
G( 1111111111166 ) = 1233927323  ;Xi( 1111111111166 ) ≈  1223574652.3 ； jd(M)≈0.99161；
G( 1111111111168 ) = 1028261009  ;Xi( 1111111111168 ) ≈  1019645543.6 ； jd(M)≈0.99162；

愚工688

vfbpgyfk 发表于 2023-3-7 11:29
用我的方法计算一下愚工给出真值的45个偶数，就算是向愚工汇报吧。不计算真实素数对个数，用时很短，计算这 ...

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我的这种动态系数计算精度有这么一种规律；在一个数量级内（相同位数），小一点偶数计算出来的素数对个数偏 小一点，然后，随着偶数的增大，逐步地向偏大方向趋 近，当误差略显大一点时，就该换数量级了（增加一个位数），由此，又开始按照前面所讲的规律循环开来了。

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这与我使用连乘式计算时的相对误差修正系数的情况是类似的，换逐渐变化的参数。
而我的对数计算式 Xi(M)中的t2修正系数，也是按照此思路在t2的表达式中，体现渐进的变化。

yangchuanju

已经被人们推导出，当素数p趋近于无穷大时，哈李常数（孪生素数常数）
c=0.6601618158468695739278121100145557784326233602847334133194484233354056423...
不是趋近于0！
那老师1楼文中的公式取作0.66015偏小了一点，至少应取0.66016。
那老师认为π[1-1/(p-1)^2]连乘积数当p趋近于无穷大时趋近于0是不对的。

笔者取尽70万个素数，逐个累乘结果如下，前8位与c值相同0.66016181；
第9位偏大一点，再继续乘下去，相同位数会更多。
π[1-1/(p-1)^2]               
素数号        素数        连乘积
50000        611953        0.660161891427242
100000        1299709        0.660161849655960
150000        2015177        0.660161837028754
200000        2750159        0.660161831066768
250000        3497861        0.660161827632348
300000        4256233        0.660161825414359
350000        5023307        0.660161823870342
400000        5800079        0.660161822737007
450000        6581963        0.660161821872152
500000        7368787        0.660161821191463
550000        8163047        0.660161820642782
600000        8960453        0.660161820191127
650000        9763393        0.660161819813769
700000        10570841        0.660161819494655
无穷大        0.6601618158468695739278121100145557784326233602847334133194484233354056423...

重生888@

愚工688 发表于 2023-3-8 11:23
13位数的偶数，我的对数计算式用时太长，没有心思计算。只能采用那宝吉先生的分解因子的数据，计算其中几个 ...

愚工先生好！我的计算公式简单适用，您是否研究过？
G（1111111111118）=1028290769
D（1111111111118）=1011445194          D/G=0.983617
我敢将计算值逼向真值：1011445194/0.99=1021661512
1021661812/1028290769=0.993553...      这个精度比你们都高！
你们都是电脑高手，我手工，但我想提高精度易于反掌。，可见我的公式正确性！
希望您好好了解我的公式，谢谢！

vfbpgyfk

从你的所谓无穷大来看，这应该，是某人验算到的连乘积值 0.660161815846869573927812，你验算到700000，得到的是：0.660161819494655，我的计算机小数位只能保留到15位，下表是1-1/(P-1)^2的小数位已经是小数点后16个9很长时间了，再向下就是1了。
从这三个数据来看，你的700000的素数连乘积是：0.660161819494655，与我的素数连乘到44738009乘积0.6601618166385900相差0.000000002856065，我的连乘积所谓极限0.660161815846870之差0.000000000791720 来看，这个 连乘积是呈递减态势的。而且，从表中的数据来看，也是递减的，只是递减速率不那么快。
试想一下，当你所讲的那个连乘积固定下来后，后面是否还有素数？只要有素数，就有新的小于1的小数与那个所谓的固定乘积乘出新的数值，这个数值必定小于那个所谓的固定值(即使很缓慢，但趋势是必定的，只要小数位数足够多，就能体现出来)。以此思路继续向下想，会是什么结果？除非到 了某个乘积后，没有素数了(这不符合素数定律)。所以能够肯定地说，这个素数的连乘积是趋向于0的。能够有此思维，要从无穷概念上去想，不是相不相信谁的问题，要相信自己的逻辑思维和数理逻辑。
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回复：
我认为，当偶数足够大以后，动态系数会小于0.66015，或是0.6601。
WS是偶数位数的代表符号。至于计算，那就看你用什么平台计算了。
如果是哈-李公式中的常数，就没有必要如此地专设题目来发表了。
计算分类系数时需要用到素数。如果有素数表的话，计算起来能省些时间。计算动态系数，不需要素数。