\(\large\color{red}{\star}\textbf{说说集合的基数序数, 及门外汉等'问题专家'}\)

elim

希尔伯特为了解释无穷与有穷的不同，使用了无穷旅馆的比喻：
假定一旅馆有可数多个客房，每个客房都住有一房客。现在来了一个新客人要入住怎么办？老板让原第\(n\)号房间的房客搬到第\(n+1\)房间\((n=1,2,3,\ldots)\)，腾出了一号房间让新客人入住。这样就解决了住满客人的无穷旅馆容纳新客人的问题。

不难看出要是再来一万新人，老板叫\(n\)号房间的客人搬到\(n+10000\)号房间\((n=1,2,3\ldots)\)即可腾出一万个房间容纳新客人。

如果新客人有可数无穷多，那么只要做\(n\)号房间客人搬到\(2n\)号房间的全体腾房，就可将奇数号房间全部腾出，容纳可数无穷多新客人入住.

人们把上述比喻叫作希尔伯特旅馆。它说明对无穷集合而言，元素个数(某自然数)的概念必须扩充。我们把反映集合\(S\)元素多少的量叫作基数\(|S|\). 规定有限集的基数就是其元素个数. 这样自然就会有如下的基数比较准则：
\(|A|\le |B|\iff \exists 单射 f: A\to B\) 即\(A\)的基数不大于\(B\)的基数的充要条件是存在\(A\)到\(B\)的单射(不同的萝卜对应不同的坑).

聪明的朋友一定会问, 是否有这种情况：不存在A到B的单射，也不存在B到A的单射，这样上述比较准则不就破产了吗？

这个问题通过良序原则可以轻易解决，而良序原则等价于选择公理，所以在 ZFC 中如下命题成立：
任给二集合 A,B，如果不存在A到B的单射，则必存在B到A的单射。具体的证明，请读集合论教科书.
如果 \(|A|\le |B| \wedge |B| \not\le |A|\), 则称 \(|A|<|B|\).  若存在\(A, B\) 之间的1-1对应(双射：既单又满的映射)，则称\(|A|=|B|\).
Cantor-Bernstein-Schroder 定理指出 \((|A|\le |B|)\wedge(|B|\le|A|)\implies (|A|=|B|)\)
至此我们知道，基数大小是集合之间的全序关系，满足三分率. 注意我们讨论得到的所有结果都建立在 ZFC 的公理之上。

(用这种观点回看希尔伯特旅馆，知道希尔伯特无非是说，所有可数无穷集合的基数都相等, 可数无穷多人与可数无穷多间房之间总可以建立一一对应), 无穷集必与其某些真子集基数相等。

现在来看看形形色色的反对者的观点。
jzkyllcjl 说，不存在无穷集，只存在有限集合的递增序列。而整体大于部分是天经地义等等。他的不存在无穷集的说法是建立在任何数学元素最起码要写出来才算存在，但有限的时间写不完无限个对象，所以无穷集永远完不成。他这么认为并不触犯中华人民共和国法律，但也没有推翻基数理论。不承认选择公理，无穷公理是推翻不了ZFC的，只有指出ZFC不自洽才行。另外，为什么写了才算存在？方程的解的存在性可以通过介值定理等等证明，不论这个解的十进小数值只有有限位，能写到底与否不是吗？整体大于部分的'大于'二字是指什么？把整体叫作1(整块)， 部分(碎片)有多少算(块)多少，整体还大于部分吗？你可以说整体大于部分指体积，或重量, 在这种意义上整体大于部分，没人反对这点，但在基数而言，整体不小于部分，但未必不可以等于某些部分。有什么问题？jzkyllcjl 提出过无穷集合的个数比计算方案，但这只可用于集合及其子集的比较，而且不是一一对应下的不变量，没有自洽性。另外，根据并公理，有限集的任意并是集合，jzkyllcjl 不是推翻ZFC而是在兜售他的不能自圆其说的另类集论。他还不知道集合论到底有啥用，更找不见他的集论有啥用。

门外汉差不多是搞定向爆破的。他试图揭示，尽管客房集和客人集的基数相同，但若对应的方式有一些追加的限制，两者之间的对应就建立不了. 他想让旅馆坍塌的想法可以理解，但他忘记了，希尔伯特没有承诺他总能找到满足任意追加规则的一一对应, 旅馆老板也没有。不过值得一提的是，他的爆破方案引进了一个重要的集合论概念：序数。我们不可能展开这个话题，稍微提一下基本概念：
考考虑整数序列 \(\ldots,-n,-(n-1),\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots,n,\ldots\) 及自然数序列 \(0,1,2,\ldots\). 不难看出前者没有最小元，后者有，两者都没有最大元等等。一般地，我们说若存在全序集 A,B 之间的一一对应 \(f:A\to B\) 使得 \(f(a) < f(b)\iff a < b\), 则称 \(f\) 是\(A,B\)间的保序同构, 称\(A,B\) 有相同的序型。门外汉对希尔伯特的挑战是：让希老师在不同的序型的集合间建立保序同构. 他的自相矛盾的要求被数学家看作是正当责难还是无理取闹或者离题万里，不重要。啰哩啰索告诉数学家他们早已知道的事情(不同序型的序集间不存在保序同构),想炸坏希尔伯特旅馆还是太天真烂漫．

门外汉与jzkyllcjl 还有一个共同点，他们常常对数学引进物理时间，如一分钟之内，永远，等等，但数学里没有时间只有顺序。我的一个极限 jzkyllcjl 7年没算出来，时间不是序列的属性，一个收敛序列被提出，极限作为它的属性已经存在了，跟谁算得出来与否，算对算错没有关系。

APB先生会说，以上多次谈及，可数无穷，但是这世上根本就没有不可数无穷！不过他的可数概念是另类的，因为他的自然数概念与人类数学就不同。他引进的无穷大整数和无穷小分数等等都不满足阿基米德公理，也没有起码的算术自洽性。我们只能说，他是经商之人固然会推销其主张．但愿数学不是他的滑铁卢。

关于hxl268, 由于他语无伦次, 不知所云，想想都没趣，多次求助门外汉，jzkyllcjl, 也没见他们看好这5000年一出的耗子，就此打住。

elim

顶一下这个帖子