D 在 BC 上，A,D,E 共线，ΔADC 外接圆与 AB 相切，BE⊥AD，CA=CD，AE=CE。求 ∠BCA

波斯猫猫

题：D 在 BC 上，A,D,E 共线，ΔADC 外接圆与 AB 相切，BE⊥AD，CA=CD，AE=CE。求 ∠BCA。

设∠BCA=2θ，则∠BAE=∠AEC=2θ＜90°，∠EAC=π/2-θ，∠EBC=θ。令AE=1，AC=b，BD=e，BA=r,

则有，b/sin2θ=1/sin(π/2-θ)(正弦定理)，即b=2sinθ；r=1/cos2θ；e=tan2θ/cosθ(锐角三角函数定义)。

把上述结论代入e(e+b)=r.r(切割线定理)中，得(tan2θ/cosθ)(tan2θ/cosθ+2sinθ)=(1/cos2θ)(1/cos2θ)，

解得sin2θ=√2/2，即∠BCA=45°.

注：本法思路和计算简单，不需作任何辅助线。

shuxuestar

这个题，无论怎样算都有一个解高次方程，没有方程解答有问题的。

ccmmjj

波斯猫猫 发表于 2023-3-16 07:31
题：D 在 BC 上，A,D,E 共线，ΔADC 外接圆与 AB 相切，BE⊥AD，CA=CD，AE=CE。求 ∠BCA。

设∠BCA=2θ ...

请问一下，r=1/cos2θ 这一步是怎么得到的？

王守恩

时空伴随者 发表于 2023-3-16 14:22

\(谢谢时空伴随者! 10楼的图,∠DBE=a,AE=1,分析可知,ABEC是梯形,S_{△DBE}=S_{△ACD}\)

\((\frac{\sin(2a)}{\cos(2a)})*(\frac{\sin(2a)\sin(a)}{\cos(2a)\cos(a)})*\sin(90)=(\frac{\sin(2a)}{\cos(a)})*(\frac{\sin(2a)}{\cos(a)})*\sin(2a)\)

时空伴随者

最简单的式子，\(\frac{BE}{AE}=\frac{BE}{CE},即tan2α=\frac{sin(90°-3α)}{sinα}\)
用和差化积公式，解得2α=45°（见10#图示）

时空伴随者

王守恩 发表于 2023-3-17 09:39
\(谢谢时空伴随者! 10楼的图,∠DBE=a,AE=1,分析可知,ABEC是梯形,S_{△DBE}=S_{△ACD}\)

\((\frac{\sin ...

不行，我以为可以有几何算式。

王守恩

\(根据 S_{△ABE}=S_{△ABC},可以有\sin(2a)*\cos(2a)*\sin(90)=1*(\frac{\cos(3a)}{\sin(2a)}*\cos(a)\)

波斯猫猫

题：D 在 BC 上，A,D,E 共线，ΔADC 外接圆与 AB 相切，BE⊥AD，CA=CD，AE=CE。求 ∠BCA。

纯几何法思路：易证∠BCA=∠BAE=∠AEC。令AE=1，CD=b，BD=e，BA=r，AD=a,则易得ED=1-a。

由上，有ΔADB∽ΔEDC，r=a/(1-a)=e/b，故1-a=1/(r+1)，b=e/r。

据切割线定理有，r^2=e(e+b)，即r^2=e(e+e/r)，或e^2=r^3/(r+1)。

又e^2=(1-a)^2+r^2-1，故r^3/(r+1)=1/(r+1)^2+r^2-1。易解得r^2=2。

故1=BE=AE，即ΔABE是等腰RtΔ。从而∠BCA=∠BAE=45°.

ccmmjj

很好的解答。

王守恩

时空伴随者 发表于 2023-3-17 11:18
不行，我以为可以有几何算式。

\(谢谢时空伴随者! 10楼的图,∠DBE=a,AE=1,分析可知,ABEC是梯形,S_{△DBE}=S_{△DAC}\)

\(可以有\frac{DA}{DE}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{4\sin^2(a)}{\frac{\sin(2a)\sin(a)}{\cos(2a)\cos(a)}}\)

又：ABC3点共圆，圆心角90对应的圆周角是45。