已知方程 x^8+ax^4+1=0 有四个实根，且四个实根成等差数列，求 a

uk702

cgl_74 发表于 2023-3-27 12:15
3楼的问题我看了，觉得有点意思。如果不考虑重根，命题1正确，命题2错误。如果考虑重根，则1，2都是错误的 ...

多谢 cgl_74！

继续请教，问题2 改成“不算重根，x 在 (0,1] 之间最多有一个解" ，那这个问题是否正确？

还有，对于问题2，这时还有“重根”这个概念么？

cgl_74

问题2中，是否有重根的概念，我也不知道。因为一般重根是整幂次方多项式用到，应用于基本代数定理，n次方多项式有n个根。我们就强调不同的根即可。

问题2 改成“不算重根，x 在 (0,1] 之间最多有一个解" ，那这个问题是否正确？
这个问题仍然不正确。因为在函数分析中没有发现这之间有紧密联系；而且从中可以找到反例。
反例如下：

cgl_74

顺便补充一下问题1的证明：

uk702

cgl_74 发表于 2023-3-27 17:08
问题2中，是否有重根的概念，我也不知道。因为一般重根是整幂次方多项式用到，应用于基本代数定理，n次方多 ...

我也找到一个解法了，以本题为例。

令 \( x=k y \)，代入 \( x^8 + a x^4+1=0 \)，得 \( k^8 y^8 + a k^4 y^4 + 1 = 0 \)，

当 k 足够大时，故必存在实数 q 和 r ，使得 \( y^8 + q y^4 + r = 0 \) 有 4 个实数解，且此 4 个解均不为 0，并位于 (-1, 1) 之中。

易知，同样的结论对 m -> 8, n -> 4 也成立。

所以，这时 (0, 1) 之中必有 2 个解。

并且根据 #13 的证明，可以得出，满足 x>0 的解不超过 2 个。

uk702

波斯猫猫 发表于 2023-3-26 19:56
少写了一步，本是设四个实根为e-3d，e-d，e+d，e+3d (d＞0)，则四个虚根为e-3di，e-di，e+di，e+3di（这 ...

我觉得可能还是推不出四个虚根为 e-3di，e-di，e+di，e+3di 。

实际上，现已知 -3d，-d,  d, 3d 是其 4 个实数根（d ≠ 0），由于 i^4 = 1，故立知 -3di, -di, di, 3di 是它的另外 4 个根。

波斯猫猫

题：已知方程 x^8+ax^4+1=0 有四个实根，且四个实根成等差数列，求 a 。

思路：显然y=x^8+ax^4+1是偶函数，故四个实根必关于x轴对称。又四个实根成等差数列，

故可设四个实根为-3d，-d，d，3d (d＞0)。把d和3d分别代入 x^8+ax^4+1=0中得，

d^8+ad^4+1=0 和(3d)^8+a(3d)^4+1=0，消去a，解得d^4=1/9。把此代入前式

得，1/81+a/9+1=0，解得a=-82/9。

uk702

长见识了，悠闲数学论坛给出了一般性的结论：

实根数目可以由笛卡尔符号法则界定，有一个一般的结果是说，多项式实根(互不相同)数目不超过 2X项数－2.

kuing.infinityfreeapp.com/forum.php?mod=viewthread&tid=10560

cgl_74

uk702 发表于 2023-3-28 17:39
长见识了，悠闲数学论坛给出了一般性的结论：

实根数目可以由笛卡尔符号法则界定，有一个一般的结果是说 ...

那个结论的描述不准确，很容易给出反例。
准确的结论是：不同根的数量不超过2*(项数)-1. 可以通过数学归纳法，以及取导数降幂的方法（类似13楼的证明）进行证明。
比如x=0；1项1根；x^3-x=0; 2项3根。

nasaliu2012

2C8EA3D0-DC89-4F25-94A3-2E4DE4 ...

luyuanhong

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