已知 f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) ，f(2)=1 ，f(1)≠1 ，求证：f(x+2)=f(x)

ccmmjj

elim 发表于 2023-4-6 01:47
ccmmjj 兄这道题目很妙！

试证 \(\small (f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),\;f(2)=1,\,f(1)\ne 1)\implies f(x) ...

经过我思考，这题的答案可能是 f(x)=cos[(2n-1）πx],其中n是一个整数。单单假定目标 f(x)=cos[πx]是难以推算的，而且这个函数还可能由不同的n所得函数拼接而成，所以从连续性或可导性怕也是不能得到具体答案。

cgl_74

ccmmjj 发表于 2023-4-6 17:50
经过我思考，这题的答案可能是 f(x)=cos[(2n-1）πx],其中n是一个整数。单单假定目标 f(x)=cos[πx]是 ...

一般来说，函数关系只是简单的，有限次的加减乘除构成，很难从逻辑上必然推导出它就只是一个cos性质的函数。某个cos函数满足它，很难说它就是只是一个cos函数。
函数映射方法千变万化，根本也不局限这种简单初等函数。
有兴趣的，说不定可以自己构造一个满足上面指定关系的映射。

cgl_74

波斯猫猫 发表于 2023-4-6 10:32
故k=f(a+2)-f(a)=f(2)-f(0)=1-1=0。即f(a+2)=f(a)，或f(x+2)=f(x)。
点评
cgl_74

你犯了一个常量变量混淆的常见错误。k值是与a值相关的变量，需要证明k是常量。

cgl_74

cgl_74 发表于 2023-4-6 18:15
一般来说，函数关系只是简单的，有限次的加减乘除构成，很难从逻辑上必然推导出它就只是一个cos性质的函 ...

这个回复是讨论贴，不是给结论或最终解答的结论贴。
构造出一个这种函数，可能还是需要一些时间与技巧。请论坛中感兴趣的尝试下。一般来说，如果构造不出来，就可以证明它。
如果你肯有偿寻求解答，论坛中肯定有不少人愿意试。我也可以去尝试下。

波斯猫猫

cgl_74 发表于 2023-4-6 18:21
你犯了一个常量变量混淆的常见错误。k值是与a值相关的变量，需要证明k是常量。

在f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 中取b=2，有f(a+2)+f(a-2)=2f(a)，

或f(a+2)-f(a)=f(a)-f(a-2)=k (易验证f(x)是偶函数)。

在f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 中取a=2，b=0，有2f(2)=2f(2)f(0)，即f(0)=1。

故k=f(a+2)-f(a)=f(2)-f(0)=1-1=0。即f(a+2)=f(a)，或f(x+2)=f(x)。

k=0，k=0，k=0。常量。常量。
f(x)不仅是偶函数，而且它还是一个周期函数，T=2就是它的一个周期。

波斯猫猫

对抽象函数，有时可以找到一个或多个符合条件的具体的函数，这就说明了它的存在性。
如果谁能从一个抽象函数的条件出发，证明到它是某个具体的函数。那数学可能将
书写新篇章！？

cgl_74

波斯猫猫 发表于 2023-4-6 19:45
在f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 中取b=2，有f(a+2)+f(a-2)=2f(a)，

或f(a+2)-f(a)=f(a)-f(a-2)=k (易验证f ...

要不你再想想？
或者再晚点，我用纸笔详细圈出备注问题所在。

ccmmjj

忽然想起来，自已在20多年前做过类似的题目，做法还是有缺陷的。

elim

ccmmjj 发表于 2023-4-10 07:43
忽然想起来，自已在20多年前做过类似的题目，做法还是有缺陷的。

如果假定函数连续，那么据Fourier级数理论，这个函数等于三角级数
\(f(x)=\small\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n\cos(n\pi x)\)
因为它是周期为2的偶函数.

故必有某 \(n>0,\;a_n\ne 0\) 使得 \(f(x) = a_n\cos(n\pi x) +h(x)\)
如果利用 \(f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)\;(\forall a,\,b)\) 能推出 \(h\equiv 0\),
那么 ccmmjj 兄的猜想就成立了。

cgl_74

昨天看了下函数方程相关的东西，学习到这类问题的基本处理技巧，特别是连续的条件下，可以从整数开始，简化为递归方程；再拓展到有理数域；最后利用连续的特性，拓展到整个实数域。
这个题目，确实是可以求出具体函数解析式的。看上去有些神奇，从函数方程的加减乘除法构造出一个cos函数形式；一般cos函数要展开为加减乘除法的无穷级数表示。之所以这样结果，还是因为连续的条件！这也说明，正常情况下，连续的函数种类非常之少！更别说初等函数了。