连分数的渐近分数分析

永远

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永远 发表于 2023-5-3 23:48

二楼没有这个连分数转化成级数的分析过程？

elim

设正整数 \(n\) 不是完全平方数, 取\(k=\lfloor\sqrt{n}\rfloor\)有 \(k^2< n < (k+1)^2\)
令 \(c=\gcd(n-k^2,2k), u=\gcd({\large\frac{n-k^2}{c}},c),\, w={\large\frac{2k}{c}},\,v={\large\frac{c}{u}},\)
\(b{\scriptsize=\dfrac{n-k^2}{cu}}, x=\sqrt{n},\,z\scriptsize=\dfrac{x-k}{c},\) 则 \(\scriptsize z =\dfrac{n-k^2}{c(2k+cz)}
=\dfrac{cub}{c(cw+cz)}=\dfrac{b}{vw+vz}.\)
于是 \(\scriptsize z=\dfrac{b}{vw+vz}=\dfrac{b}{vw+\dfrac{vb}{vw+vz}}=\dfrac{b}{vw+\dfrac{b}{w+z}}=\dfrac{b}{vw+\dfrac{b}{v+\dfrac{b}{vw+\dfrac{b}{v+\cdots}}}}\)
据三楼结果,\(\frac{\sqrt{n}-k}{c}\) 的一般渐近分数由下式出:\(\big({\small a_n=wv^{\frac{1-(-1)^n}{2}}),\; b_n=b}\big)\)
\((1)\quad\;\;\small\dfrac{p_n}{q_n}=\dfrac{a_np_{n-1}+bp_{n-2}}{a_nq_{n-1}+bq_{n-2}},\;\;\begin{bmatrix}p_n& p_{n-1}\\q_n&q_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 1\\1&0\end{bmatrix}\displaystyle\prod_{k=1}^n\begin{bmatrix}a_k&1\\b&0\end{bmatrix}\)
\((2)\quad\small\;\;\dfrac{p_n}{q_n}-\dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}}=\dfrac{1}{q_nq_{n-1}}\det\begin{bmatrix}p_n&p_{n-1}\\q_n&q_{n-1}\end{bmatrix}=\dfrac{(-1)^{n-1}b^n}{q_nq_{n-1}}\)