每次投篮命中率为 2/3，连续三次投中则通过，连续两次投不中则不通过，求通过的概率

王守恩

题目:投篮测试考核,若连续三次投篮成功,则通过测试,若连续两次投篮失败,则未通过测试,已知若干同学每次投篮的成功概率分别为\(...\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},...\),则通过测试的概率分别为多少？

cgl_74

王守恩 发表于 2023-4-22 08:31
题目:投篮测试考核,若连续三次投篮成功,则通过测试,若连续两次投篮失败,则未通过测试,已知若干同学每次投篮 ...

采用6楼一样的思路。
设每次投篮进球概率为p，则通过概率为: \(p^3*(2-p)/(1-p+p^3)\)

luyuanhong

ccmmjj

这大概就是加强的贝叶斯公式吧？我就知道陆老师别有深意。
很好，这个帖子的解答已经很完备了，谢谢大家。

cgl_74

感谢陆老师对自己的解法做出解释！
我仔细看了，也想了。我不喜欢不懂装懂，所以我还是得承认我没有看懂，无论是概率的计算，还是整个推导逻辑。
1、讲到概率，无论哪种体系，无论是贝叶斯推断还是经典概率，无论是概率加法，乘法，无论在出现在哪个因子节点上，都不会出现概率大于1的情况。这是概率定义决定的。除非大家谈论的概率都不是一个东西。
2、整个逻辑推导思路我也没看懂。我标注出来。

总结：
1、如果陆老师的这套做法，有具体的理论支撑，告我我一下相关定理，我自己去学习下。
2、我觉得另外的可能性是：这个问题是极限处理的，即是求步骤n为无穷大时的概率。这种情况下导致了陆老师解法结果的正确性，从而屏蔽了一些错误。如果是指定n值，陆老师是否能用这个方法求出概率的表达式？

王守恩

题目:投篮测试考核,若连续3次投篮命中,则测试成功,若连续2次投篮失败,则测试失败

\(投篮命中率=\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{10},...\)
\(测试成功率=\frac{3}{10},\frac{5}{57},\frac{7}{196},\frac{9}{505},\frac{11}{1086},\frac{13}{2065},\frac{15}{3592},\frac{17}{5841},\frac{19}{9010},...\)
\(通项公式:\frac{2n+1}{n^4+3n^3+3n^2+2n+1}\)

\(投篮命中率=\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\frac{6}{7},\frac{7}{8},\frac{8}{9},\frac{9}{10},...\)
\(测试成功率=\frac{3}{10},\frac{32}{51},\frac{135}{172},\frac{384}{445},\frac{875}{966},\frac{1728}{1855},\frac{3087}{3256},\frac{5120}{5337},\frac{8019}{8290},...\)
\(通项公式:\frac{n^4+2n^3}{n^4+2n^3+3n^2+3n+1}\)

注意：测试成功率是可以大于投篮命中率的。

ccmmjj

cgl_74 发表于 2023-4-23 05:39
感谢陆老师对自己的解法做出解释！
我仔细看了，也想了。我不喜欢不懂装懂，所以我还是得承认我没有看懂， ...

这是我在网上找到的答案，只做了一点小修改，确实有取极限的步骤。仅供网友参考。

cgl_74

ccmmjj 发表于 2023-4-23 19:17
这是我在网上找到的答案，只做了一点小修改，确实有取极限的步骤。仅供网友参考。

这个解法是正确的。其对各种情况进行了清晰的分类，并且不重复不遗漏计算了各种情况下的概率，并进行加和。显然这样做，各种情况下概率也不会出现大于1的时候。
取极限是正常做法。我的意思是，在取极限时会掩盖一些错误做法，使得结果是对的，但其实方法是错的。

王守恩

投篮命中率=1/2, 要求连续1次投中, 可以有至多连续0,1,2,3,...次投不中,
P=1/2, 3/4, 13/16, 53/64, 213/256, 853/1024, 3413/4096, 13653/16384, 54613/65536,
极限=5/6

投篮命中率=1/2, 要求连续2次投中, 可以有至多连续0,1,2,3,...次投不中,
P=1/4,1/2,13/24,79/144,475/864,2851/5184,17107/31104,102643/186624,615859/1119744,
极限=11/20

投篮命中率=1/2, 要求连续3次投中, 可以有至多连续0,1,2,3,...次投不中,
P= 1/8, 3/10, 127/400, 1277/4000, 12777/40000, 127777/400000, 1277777/4000000,
极限=23/72

投篮命中率=1/2, 要求连续4次投中, 可以有至多连续0,1,2,3,...次投不中,
P=1/16, 1/6, 149/864, 2687/15552, 48371/279936, 870683/5038848, 15672299/90699264,  
极限=47/272

投篮命中率=1/2, 要求连续5次投中, 可以有至多连续0,1,2,3,...次投不中,
P=1/32, 3/34, 1663/18496, 56573/628864, 1923513/21381376, 65399473/726966784,  
极限=95/1056

投篮命中率=1/2, 要求连续6次投中, 可以有至多连续0,1,2,3,...次投不中,
P=1/64, 1/22, 711/15488, 46933/1022208, 3097585/67465728, 204440617/4452738048,
极限=191/4160

王守恩

投篮命中率=2/3, 要求连续1次投中, 可以有至多连续0,1,2,3,...次投不中,
P=2/3, 8/9, 76/81, 692/729, 6244/6561, 56228/59049, 506116/531441, 4555172/4782969,  
极限=20/21

投篮命中率=2/3, 要求连续2次投中, 可以有至多连续0,1,2,3,...次投不中,
P=4/9, 16/21, 1088/1323, 23168/27783, 487808/583443, 10249088/12252303, 215251328/
极限=128/153

投篮命中率=2/3, 要求连续3次投中, 可以有至多连续0,1,2,3,...次投不中,
P={8/27, 32/51, 15904/23409, 820832/1193859, 41940256/60886809, 2139575648/
极限=800/1161

投篮命中率=2/3, 要求连续4次投中, 可以有至多连续0,1,2,3,...次投不中,
P=16/81, 64/129, 239552/449307, 31168448/57960603, 4024989632/7476917787,
极限=4928/9153

投篮命中率=2/3, 要求连续5次投中, 可以有至多连续0,1,2,3,...次投不中,
P=32/243, 128/339, 3730816/9308601, 1271660672/3155615739, 431314217344/
极限=30080/74601

投篮命中率=2/3, 要求连续6次投中, 可以有至多连续0,1,2,3,...次投不中,
P=64/729, 256/921, 60017408/206122563, 55450358528/189838880523, 51080937052928/
极限=182528/624753