最大素因子

yangchuanju

太阳先生自己确定的521，已经确定了一个最大素因子不大于2^521-1，如果另一个最大素因子也是不大于的话，那么太阳先生就自己彻底否定自己了！

太阳

已知:\(2^k-1＞m\)，\(\frac{4^{3k}-1}{\left( 2^{3k}-1\right)\times\left( 2^k+1\right)}\)的最大质因数是\(m\)
\(\frac{4^{3k}-1}{\left( 2^{3k}+1\right)\times\left( 2^k-1\right)}\)的最大质因数是\(t\)，素数\(k＞0\)
求证:\(t＞2^k-1\)
已知:\(2^k-1＞t\)，\(\frac{4^{3k}-1}{\left( 2^{3k}-1\right)\times\left( 2^k+1\right)}\)的最大质因数是\(m\)
\(\frac{4^{3k}-1}{\left( 2^{3k}+1\right)\times\left( 2^k-1\right)}\)的最大质因数是\(t\)，素数\(k＞0\)
求证:\(m＞2^k-1\)
否定这个命题，证明:\(\left( 4^{3k}-1\right)\)的最大质因数小于\(2^k-1\)，基本上可以否定本命题是错误
已知:\(2^k-1＝u\)，\(\frac{4^{3k}-1}{\left( 2^{3k}-1\right)\times\left( 2^k+1\right)}\)的最大质因数是\(m\)，素数\(k＞0\)，\(u＞0\)
求证:\(m＞2^k-1\)
已知:\(\frac{2^k+1}{3}＝y\)，\(\frac{4^{3k}-1}{\left( 2^{3k}-1\right)\times\left( 2^k+1\right)}\)的最大质因数是\(t\)，素数\(k＞0\)，\(y＞0\)
求证:\(t＞2^k-1\)
寻找1亿位大素数，借助第51个梅森素数\(2^{82589933}-1\)
必定有\(4^{247756799}-1的最大质因数＞2^{82589933}-1\)
已知:梅森素数\(2^{82589933}-1\)，\(\frac{4^{3k}-1}{\left( 2^{3k}-1\right)\times\left( 2^k+1\right)}\)的最大质因数是\(m\)，素数\(k＝82589933\)
求证:\(m＞2^k-1\)

太阳

yangchuanju 发表于 2023-4-30 05:34
2^521-1=6864797660...51素数
2^1563-1=
7*67939363836931489207*116824145827723574519813228479*37 ...

否定这个命题，证明此命题是错误的，那是相当困难，难度相当大
证明\(\left( 4^{3k}-1\right)的最大质因数小于\left( 2^k-1\right)\)，基本上可以否定此命题

yangchuanju

p        2^p-1        (2^3p-1)/(2^p-1)        备注
3        7=7            =73       
5        31=31          =7×151       
7        127=127          =7^2×337       
11        2047=23×89          =7×599479       
13        8191=8191          =7×79×121369       
17        131071=131071          =7×103×2143×11119       
——最大素因子小于2^p-1
19        524287=524287        =7×323771212847       
23        8388607=47×178481        =7×10052678938039<14>       
29        536870911=233×1103×2089        =7×4177×9857737155463<13>       
31        2147483647<10>=2147483647<10>        =7×658812288653553079<18>       
37        137438953471<12>=223×616318177        =7×321679×26295457×319020217       
——最大素因子小于2^p-1
41        2199023255551<13>=13367×164511353        =7×3887047×177722253954175633<18>       
43        8796093022207<13>=431×9719×2099863        =7×11053036065049294753459639<26>       
47        140737488355327<15>=2351×4513×13264529        =7×2351×4513×13264529×4375578271<10>×646675035253258729<18>       
53        9007199254740991<16>=6361×69431×20394401        =7×6679×13960201×540701761×229890275929<12>       
59        576460752303423487<18>=179951×3203431780337<13>        =7×184081×27989941729<11>×9213624084535989031<19>       
61        2305843009213693951<19>=2305843009213693951<19>        =7×367×55633×37201708625305146303973352041<29>       
67        147573952589676412927<21>=193707721×761838257287<12>        =7×1609×22111×87449423397425857942678833145441<32>       
71        2361183241434822606847<22>=228479×48544121×212885833        =7×66457×2849881972114740679<19>×4205268574191396793<19>       
73        9444732965739290427391<22>=439×2298041×9361973132609<13>        =7×3943×671165898617413417<18>×4815314615204347717321<22>       
79        604462909807314587353087<24>=2687×202029703×1113491139767<13>        =7×1423×49297×23728823512345609279<20>×31357373417090093431<20>       
83        9671406556917033397649407<25>=167×57912614113275649087721<23>        =7×1621324657<10>×8241594690167137359552274418432855740327<40>       
89        618970019642690137449562111<27>=618970019642690137449562111<27>        =7×78903841×28753302853087<14>×24124332437713924084267316537353<32>       
97        158456325028528675187087900671<30>=11447×13842607235828485645766393<26>        =7×272959×2065304407<10>×5434876633<10>×1170711644777651877659556633665719<34>       
101        2535301200456458802993406410751<31>=7432339208719<13>×341117531003194129<18>        =7×607×1512768222...93<58>       
103        10141204801825835211973625643007<32>=2550183799<10>×3976656429941438590393<22>        =7×1953272766780718501831<22>×7521737478732572053581227840017636545169<40>       
107        162259276829213363391578010288127<33>=162259276829213363391578010288127<33>        =7×17866285599391<14>×2105168000...49<51>       
109        649037107316853453566312041152511<33>=745988807×870035986098720987332873<24>        =7×20597276734348736647<20>×33157029794959983067039<23>×88116165754061081804047<23>       
——最大素因子小于2^p-1
113        10384593717069655257060992658440191<35>=3391×23279×65993×1868569×1066818132868207<16>        =7×10113049×320021624768405574452943847<27>×4760137992283599860814226997712217<34>       
127        170141183460469231731687303715884105727<39>=170141183460469231731687303715884105727<39>        =7×2287×15241×349759×3392128785...03<63>       

(2^3p-1)/(2^p-1)=2^2p+2^p+1的最大素因子与2^p-1没有因果关系，
虽然有许多(2^3p-1)/(2^p-1)的最大素因子大于2^p-1，
但也有不少(2^3p-1)/(2^p-1)的最大素因子小于2^p-1的，如p=17,37,109等，太阳的猜想不成立！

太阳

命题是错误，反例，k＝239，4^717-1

yangchuanju

2^59-1=
576460752303423487<18>=179951×3203431780337<13>
2^177-1<54>=
7×179951×184081×27989941729<11>×3203431780337<13>×9213624084535989031<19>
2^118+2^59+1=(2^177-1)/(2^59-1)=
7×184081×27989941729<11>×9213624084535989031<19>，
最大素因子19位大于18位的2^59-1

4^177-1＝
3^2× 7× 2833× 13099× 37171× 179951× 184081× 1824726041<10>× 27989941729<11>× 3203431780337<13>× 4453762543897<13>× 1898685496465999273<19>× 9213624084535989031<19>

2^59+1=
576460752303423489<18>=3×2833×37171×1824726041<10>
2^177+1＝
3^2×2833× 13099× 37171× 1824726041<10>× 4453762543897<13>× 1898685496465999273<19>
2^118-2^59+1=
3^2× 13099× 4453762543897<13>× 1898685496465999273<19>，
最大素因子19位大于18位的2^59-1

两个最大素因子都大于^59-1。


2^61-1=
2305843009213693951<19>=2305843009213693951<19>
2^183-1<56>=
7×367×55633×2305843009213693951<19>×37201708625305146303973352041<29>
2^122+2^61+1=(2^183-1)/(2^61-1)=
7×367×55633×37201708625305146303973352041<29>，
最大素因子29位大于19位的2^61-1

4^183-1<111>=
3^2×7×367×55633×768614336404564651<18>×2305843009213693951<19>×37201708625305146303973352041<29>×1772303994379887829769795077302561451<37>

2^61+1=
2305843009213693953<19>=3×768614336404564651<18>
2^183+1=
3^2×768614336404564651<18>×1772303994379887829769795077302561451<37>
2^118-2^59+1=
3^2×1772303994379887829769795077302561451<37>，
最大素因子37位大于19位的2^61-1

两个最大素因子都大于^61-1。

(2^3p-1)/(2^p-1)=2^2p+2^p+1的最大素因子与2^p-1没有因果关系，
虽然有许多(2^3p-1)/(2^p-1)的最大素因子大于2^p-1，
但也有不少(2^3p-1)/(2^p-1)的最大素因子小于2^p-1的，如p=17,37,109等，太阳的猜想不成立！

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-4-30 12:08
p        2^p-1        (2^3p-1)/(2^p-1)        备注
3        7=7            =73       
5        31=31          =7×151       

p        2^p+1        (2^3p+1)/(2^p+1)
3        (3)^2=(3)^2        =3×19
5        33=3×11        =3×331
7        129=3×43        =3×5419
11        2049=3×683        =3×67×20857
13        8193=3×2731        =3×22366891
17        131073=3×43691        =3×307×2857×6529
——最大素因子小于2^p-1
19        524289=3×174763        =3×571×160465489
23        8388609=3×2796203        =3×139×168749965921<12>
29        536870913=3×59×3033169        =3×96076791871613611<17>
31        2147483649<10>=3×715827883        =3×529510939××2903110321<10>
37        137438953473<12>=3×1777×25781083        =3×3331×17539×107775231312019<15>
41        2199023255553<13>=3×83×8831418697<10>        =3×739×165313×13194317913029593<17>
43        8796093022209<13>=3×2932031007403<13>        =3×1033×1591582393<10>×15686603697451<14>
47        140737488355329<15>=3×283×165768537521<12>        =3×1681003×35273039401<11>×111349165273<12>
——最大素因子小于2^p-1
53        9007199254740993<16>=3×107×28059810762433<14>        =3×6043×4475130366518102084427698737<28>
59        576460752303423489<18>=3×2833×37171×1824726041<10>        =3×13099×4453762543897<13>×1898685496465999273<19>
61        2305843009213693953<19>=3×768614336404564651<18>        =3×1772303994379887829769795077302561451<37>
67        147573952589676412929<21>=3×7327657×6713103182899<13>        =3×2011×9649×6324667×59151549118532676874448563<26>
71        2361183241434822606849<22>=3×56409643×13952598148481<14>        =3×5113×17467×102241×203525545766301306933226271929<30>
73        9444732965739290427393<22>=3×1753×1795918038741070627<19>        =3×9070197542196643<16>×3278244690156222434135906137<28>
79        604462909807314587353089<24>=3×201487636602438195784363<24>        =3×647011×13664473×13775694692898492184744709216599873<35>
83        9671406556917033397649409<25>=3×499×1163×2657×155377×13455809771<11>        =3×9202419446683<13>×3388098290567587377052016525627948593<37>
89        618970019642690137449562113<27>=3×179×62020897×18584774046020617<17>        =3×3739×4273×7993364465170792998716337691033251350895453313<46>
97        158456325028528675187087900673<30>=3×971×1553×31817×1100876018364883721<19>        =3×25609×5636963037465601<16>×581546606903256979<18>×99695503427255026561<20>
101        2535301200456458802993406410753<31>=3×845100400152152934331135470251<30>        =3×112102729×1911268421...19<53>
103        10141204801825835211973625643009<32>=3×415141630193<12>×8142767081771726171<19>        =3×619×2473×15451×2400744384937<13>×98277023988499<14>×68545852036177507<17>
——最大素因子小于2^p-1
107        162259276829213363391578010288129<33>=3×643×84115747449047881488635567801<29>        =3×154723×20636399209<11>×480625710015394052365153<24>×5718761969788697451457489<25>
——最大素因子小于2^p-1
109        649037107316853453566312041152513<33>=3×104124649×2077756847362348863128179<25>        =3×666427×6927735019<10>×30414028470765822165976581508161866432602988327347<50>
113        10384593717069655257060992658440193<35>=3×227×48817×636190001×491003369344660409<18>        =3×156619×28448881×8067670082...69<55>
127        170141183460469231731687303715884105729<39>=3×56713727820156410577229101238628035243<38>        =3×3049×38257184231365987<17>×8272317928...13<56>

基于同样的原因，(2^3p+1)/(2^p+1)=2^2p-2^p+1的最大素因子也不一定大于2^p-1,
虽然有许多(2^3p+1)/(2^p+1)的最大素因子大于2^p-1，
但也有不少(2^3p+1)/(2^p+1)的最大素因子小于2^p-1的，如p=17,47,103,107等，太阳的猜想还是不成立！

太阳

寻找大素数确实难度大

yangchuanju

4^3p-1=(2^3p+1)*(2^3p-1)=(2^p+1)*(2^2p-2^p+1)*(2^p-1)*(2^2p+2^p+1)，
其中2^p+1都含有小素因子3，2^2p-2^p+1都含有小素因子3^2=9，2^2p+2^p+1都含有小素因子7；
将各个代数式中的指数p换成k，就是太阳的表达式，不管是用p作指数还是用k作指数，都是素数。

代数式2^2p-2^p+1=(2^3p+1)/(2^p+1)=(4^3p-1)/[(2^3p-1)*(2^p+1)]，其中的最大素因子太阳先生定义为t；
代数式2^2p+2^p+1=(2^3p-1)/(2^p-1)=(4^3p-1)/[(2^3p+1)*(2^p-1)]，其中的最大素因子太阳先生定义为m；
t可以大于2^p-1，也可以小于2^p-1；同样m可以大于2^p-1，也可以小于2^p-1；
t和m可以同时大于2^p-1，如p=3,5,7,11,13,19,23，……；
可以t大于2^p-1,m小于2^p-1，如p=47,103,107等；
可以t小于2^p-1,m大于2^p-1，如p=37,109等；
也可以同时小于2^p-1，如p=17等。
总之，t,m与2^p-1在数值上没有直接因果关系。

yangchuanju

太阳先生又猜想，如果2^p-1是素数，同时(2^p-1)/3也是素数，则如何如何……
可以肯定地说，加上上述条件限制，t,m与2^p-1在数值上仍然没有直接因果关系。
p        2^p-1        (2^p+1)/3        t        m        备注
3        P        P        大        大        双素双大
5        P        P        大        大        双素双大
7        P        P        大        大        双素双大
11        C        P        大        大        单素也双大
13        P        P        大        大        双素双大
17        P        P        小        小        双素反而双小
19        P        P        大        大        双素双大
23        C        P        大        大        单素也双大
29        C        C        大        大        双合也双大
31        P        P        大        大        双素双大
37        C        C        大        小        双合一大一小
41        C        C        大        大        双合也双大
43        C        P        大        大        单素也双大
47        C        C        小        大        双合一大一小
53        C        C        大        小       
59        C        C        大        大       
61        P        P        大        大       
67        C        C        大        大       
71        C        C        大        小       
73        C        C        大        小       
79        C        P        大        小       
83        C        C        大        大       
89        P        C        大        大       
97        C        C        大        大       
101        C        P        大        大       
103        C        C        小        大       
107        P        C        小        大       
109        C        C        大        小       
113        C        C        大        小       
127        P        P        大        大